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[研究生入学考试题库]考研数学一分类模拟题44一、填空题问题:1. 答案:[解析] ，因为，所以，于是 问题:2. 设A=(α1，α2，α3，α4)为4阶方阵，且AX=0的通解为X=k(1，1，2，-3)T，则α2由α1，α3，α4表示的表达式为______．答案:α2=-α1-2α2+3α4[解析] 因为(1，1，2，-3)T为AX=0的解， 所以α1+α2+2α3-3α4=0，故α2=-α1-2α2+3α4． 问题:3. 设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1+aα2+4α3，2α1+α2-α3，α2+α3线性相关，则a=______．答案:5[解析] ， 因为α1，α2，α3线性无关，而α1+aα2+4α3，2α1+α2-α3，α2+α3线性相关，所以 ，解得a=5．问题:4. 设，且α，β，γ两两正交，则a=______，b=______．答案:-4 -13[解析] 因为α，β，γ正交，所以解得a=-4，b=-13．问题:5. 设为三维空间的两组基，则从基ε1，ε2，ε3到基e1，e2，e3的过渡矩阵为______．答案:[解析] 令过渡矩阵为Q，则(e1，e2，e3)=(ε1，ε2，ε3)Q， Q=(ε1，ε2，ε3)-1(e1，e2，e3)． 由 得过渡矩阵为． 二、选择题问题:1. 若α1，α2，α3线性相关，α3，α3，α4线性无关，则______．A.α1可由α2，α3线性表示B.α4可由α1，α2，α3线性表示C.α4可由α1，α3线性表示D.α4可由α1，α2线性表示答案:A[解析] 因为α2，α3，α4线性无关，所以α2，α3线性无关，又因为α1，α2，α3线性相关，所以α1可由α2，α3线性表示，选A．问题:2. 设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组______．A.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关B.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性无关C.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关D.α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性无关答案:C[解析] 因为-(α1+α2)+(α2+α3)-(α3+α4)+(α4+α1)=0， 所以α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性相关； 因为(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0， 所以α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1线性相关； 因为(α1+α2)-(α2+α3)+(α3-α4)+(α4-α1)=0， 所以α1+α2，α2+α3，α3-α4，α4-α1线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关，选C． 问题:3. 向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是 ．A.向量组α1，α2，…，αm，β线性无关B.存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0C.向量组α1，α2，…，αm的维数大于其个数D.向量组α1，α2，…，αm的任意一个部分向量组线性无关答案:D[解析] A不对，因为α1，α2，…，αm，β线性无关可以保证α1，α2，…，αm线性无关，但α1，α2，…，αm线性无关不能保证α1，α2，…，αm，β线性无关； B不对，因为α1，α2，…，αm线性无关可以保证对任意一组非零常数k1，k2，…，km，有k1α1+k2α2+…+kmαm≠0，但存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm≠0不能保证α1，α2，…，αm线性无关； C不对，向量组α1，α2，…，αm线性无关不能得到其维数大于其个数，如α1=，α2=线性无关，但其维数等于其个数，选D．问题:4. 设向量组α1，α2，…，αm线性无关，β1可由α1，α2，…，αm线性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，则______．A.α1，α2，…，αm-1，β1线性相关B.α1，α2，…，αm-1，β1，β2线性相关C.α1，α2，…，αm，β1+β2线性相关D.α1，α2，…，αm，β1+β2线性无关答案:D[解析] A不对，因为β1可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不一定能被α1，α2，…，αm-1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关； B不对，因为α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关，β2不一定可由α1，α2，…，αm-1，β1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1，β2不一定线性相关； C不对，因为β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，而β1可由α1，α2，…，αm线性表示，所以β1+β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，于是α1，α2，…，αm，β1+β2线性无关，选D． 问题:5. 设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是______．A.向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示B.向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示C.向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D.矩阵A=(α1，α2，…，αm)与矩阵B=(β1，β2，…，βm)等价答案:D[解析] 因为α1，α2，…，αm线性无关，所以向量组α1，α2，…，αm的秩为m，向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是其秩为m，所以选D．问题:6. 设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有______．A.α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关B.α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关C.α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关D.α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关答案:A[解析] 因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量组α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选A．问题:7. 设n阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，AB=(γ1，γ2，…，γn)，记向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量组(Ⅲ)线性相关，则______．A.(Ⅰ)，(Ⅱ)都线性相关B.(Ⅰ)线性相关C.(Ⅱ)线性相关D.(Ⅰ)，(Ⅱ)至少有一个线性相关答案:D[解析] 若α1，α2，…，αn线性无关，β1，β2，…，βn线性无关，则r(A)=n，r(B)=n，于是r(AB)=n．因为γ1，γ2，…，γn线性相关，所以r(AB)=r(γ1，γ2，…，γn)＜n，故α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn至少有一个线性相关，选D．问题:8. 设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩为r2，且向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示，则______．A.α1+β1，α2+β2，…，αs+βs的秩为r1+r2B.向量组α1-β1，α2-β2，…，αs-βs的秩为r1-r2C.向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1+r2D.向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1答案:D[解析] 因为向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，所以向量组α1，α2，…，αs与向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等价，选D．问题:9. 向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是______．A.α1，α2，…，αs都不是零向量B.α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例C.α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示D.α1，α2，…，αs中有一个部分向量组线性无关答案:C[解析] 若向量组α1，α2，…，αs线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示，则α1，α2，…，αs一定线性无关，因为若α1，α2，…，αs线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选C．问题:10. 设A为n阶矩阵，且|A|=0，则A______．A.必有一列元素全为零B.必有两行元素对应成比例C.必有一列是其余列向量的线性组合D.任一列都是其余列向量的线性组合答案:C[解析] 因|A|=0，所以r(A)＜n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选C．三、解答题问题:1. 设A，B为n阶矩阵，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B．证明：AB=O．答案:[证明] 由A2=A，B2=B及(A+B)2=A+B=A2+B2+AB+BA得AB+BA=O或AB=-BA，AB=-BA两边左乘A得AB=-ABA，再在AB=-BA两边右乘A得ABA=-BA，则AB=BA，于是AB=O．问题:2. 设，且Ax+|A|E=A*+X，求X．答案:解 由AX=|A|E=A*+X得 (A-E)X=A*-|A|E=A*-AA*=(E-A)A*， 因为|E-A|=-3≠0，所以E-A可逆，于是X=-A*， 由|A|=6得X=-6A-1， 由 得，于是．问题:3. 设四阶矩阵B满足，且，求矩阵B．答案:解 问题:4. 设A，B满足A*BA=2BA-8E，且，求B．答案:解 由A*BA=2BA-8E得AA*BA=2ABA-8A， 即-2BA=2ABA-8A，整理得(A+E)B=4E，所以 问题:5. 设AX=A+2X，其中，求X．答案:解 由AX=A+2X得(A-2E)X=A，其中， 因为|A-2E|=-1≠0，所以X=(A-2E)-1A， 由 得 问题:6. 设，求A-1．答案:解 令 则，从而 设n阶矩阵A满足A2+2A-3E=O．求：7. (A+2E)-1；答案:解 由A2+2A-3E=O得A(A+2E)=3E，，根据逆矩阵的定义，有．8. (A+4E)-1．答案:解 由A2+2A-3E=O得(A+4E)(A-2E)+5E=O，则．问题:9. 设A为n阶矩阵，且Ak=O，求(E-A)-1．答案:解 Ek-Ak=(E-A)(E+A+A2+…+Ak-1)，又Ek-Ak=E， 所以(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1． 设A，B为n阶矩阵，．10. 求P·Q；答案:解 11. 证明：当P可逆时，Q也可逆．答案:[证明] 因为|P|=|A||B|，所以当P可逆时，|A||B|≠0，而PQ=|A||B|E，即，于是Q可逆且．问题:12. 设A为n阶可逆矩阵，A2=|A|E．证明：A=A*．答案:[证明] 因为AA*=|A|E，又已知A2=|A|E，所以AA*=A2，而A可逆，故A=A*．问题:13. 设A为n阶矩阵，且A2-2A-8E=O．证明：r(4E-A)+r(2E+A)=n．答案:[证明] 由A2-2A-8E=O得(4E-A)(2E+A)。