高中数学圆锥曲线系统讲解第29讲《非对称韦达定理》练习及答案.pdf

1 第第 29 讲讲 非对称韦达定理非对称韦达定理 知识与方法知识与方法 将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去 y，得到关键方程（设方程的两根为1x和2x），在某些问题中，可能会涉及到需计算两根系数不相同的代数式.例如，运算过程中出现了122xx、1223xx+等结构，且无法直接通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，此时一般的处理技巧是抓住12xx+和12x x的关系将两根积向两根和转化，通过局部计算、整体约分的方法解决问题.请同学们通过本节的一些考题来感悟这种运算技巧.典型例题典型例题 1.（）如下图所示，椭圆有两个顶点()1,0A，()1,0B，过其焦点()0,1F的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点，并与 x 轴交于点 P，直线 AC 与 BD 交于点 Q.（1）当3 22CD=时，求直线 l 的方程；（2）当 P 点异于 A、B 两点时，证明:OP OQ为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b=，半焦距1c=，故长半轴长2a=，所以椭圆的方程为2212yx+=，当3 22CD=时，易得直线 l 不与 x 轴垂直，故可设 l 的方程为1ykx=+()0,1kk，设()11,C x y，()22,D x y，联立22112ykxyx=+=消去 y 整理得：()222210kxkx+=判别式()2810k=+，由韦达定理，1221222212kxxkx xk+=+=+2 故()222122813 21122kCDkxxkk+=+=+=+，解得：2k=，所以直线 l 的方程为21yx=+.（2）解法 1：直线 AC 的斜率为111ACykx=+，其方程为()1111yyxx=+，直线 BD 的斜率为221BDykx=，其方程为()2211yyxx=，用式除以式整理得：()()21121111yxxxyx+=，即()()21121111xyxxyx+=而()()()()()()212112211212121211111111yxkxxkx xkxxyxkxxkx xkxx+=+，所以122112121111xkx xkxxxkx xkxx+=+，由知12222kxxk=+，故()()()()()()22222222222212211112222121111222kkkkkxxkxxkkkkkkkkxkkxxkxkkk+=+，解得：Qxk=，易得1,0Pk，故()11PQOP OQx xkk=，即OP OQ为定值 1.解法 2：直线 AC 的斜率为111ACykx=+，其方程为()1111yyxx=+直线 BD 的斜率为221BDykx=，其方程为()2211yyxx=，用式除以式整理得：()()21121111yxxxyx+=，即()()21121111xyxxyx+=所以()()()()()()()()()()()()22222222212121121222221212121212221212 1111111122121111112 11122kxxxyxxxx xxxkkkkxxxx xxxkyxxxkk+=+因为()12,1,1x x ，所以12101xx+，结合可得11xx+与21yy异号，又()()()2222121212122222221111222kkky ykxkxk x xk xxkkk=+=+=+=+3 ()()()2222 112 11221kkkkkkk+=+所以12y y与11kk+异号，即21yy与11kk+异号，从而11xx+与11kk+同号，所以1111xkxk+=+，解得：Qxk=，易得1,0Pk，故()11PQOP OQx xkk=，即OP OQ为定值 1.【反思】本题的解法 1 是两根结构不对称时的常规处理方法，局部计算，整体约分；解法 2则通过平方，转化为对称结构计算，技巧性较强.2.（）已知椭圆22:33C xy+=，过点()1,0D且不过点()2,1E的直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，直线 AE 与直线3x=交于点 M.（1）求椭圆 C 的离心率；（2）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；（3）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由.【解析】（1）椭圆 C 的方程可化为2213xy+=，故其长半轴长3a=，短半轴长1b=半焦距222cab=，所以椭圆 C 的离心率63cea=（2）解法 1：若 AB 垂直于 x 轴，如图 1，直线 AB 的方程为1x=，联立22133xxy=+=，可解得：63y=，若61,3A，则61,3B，设()03,My，因为 A、E、M 三点共线，所以AEEMkk=，故061131232y=，解得：0623y=，所以直线BM的斜率06313 1BMyk+=若61,3A，则61,3B，因为 A、E、M 三点共线，所以AEEMkk=，故061131232y=，解得：0623y=+，所以直线 BM 的斜率06313 1BMyk=综上所述，直线 BM 的斜率为 1.解法 2：因为 AB 过点()1,0D且垂直于 x 轴，所以可设()11,Ay，()11,By 直线 AE 的方程为()()112yyx=，令3x=得：12yy=，所以()3,2My，4 故直线 BM 的斜率11213 1BMyyk+=.解法 3：因为 AB 过点()1,0D且垂直于 x 轴，故其方程为1x=，如图 1，设直线2x=交 x 轴于点 G，直线3x=交 x 轴于点 H，则 1AEDGEMGH=_ 所以 E 为 AM 中点，由对称性，显然 D 为 AB 中点，所以DEBM 而直线 DE 的斜率10121DEk=，所以直线 BM 的斜率为 1.（3）解法 1：当ABx轴时，由（2）可得直线 BM 的斜率为 1，等于直线 DE 的斜率，所以DEBM，当AB不与x轴垂直时，设其方程为()()11yk xk=，设()11,A x y，()22,B x y，则直线 AE 的方程为()111122yyxx=，令3x=解得：11112yyx+=+，所以1113,12yMx+，从而直线 BM 的斜率()()()()()()()121121211121222121113112123233232BMyyxx k xk xk xxxx yyykxxxxx+=()()()112121121211221121232332336262xkxxx xkxkx xk xxkxx xxxxxx x+=+联立()22133yk xxy=+=消去 y 整理得：()2222136330kxk xk+=，易得判别式0，所以2122613kxxk+=+，21223313kx xk=+，故()222121222212339323131313kkkxxx xkkk+=+代入式得：11333163BMxkkkx+=+，即直线 BM 与直线 DE 斜率相等，所以DEBM 综上所述，直线 BM 与直线 DE 平行.解法 2：当ABy轴时，若 A 为左顶点，如图 2，则23AEEM=+，()132331ADBD=+，所以AEADEMBD=，同理可得当 A 为右顶点时，23AEADEMBD=，也有DEBM 当 AB 不与 y 轴垂直时，如图 3，设其方程为()11xmym=+，设()11,A x y，()22,B x y 则111221 1AExmymyEM=，1122ADyyBDyy=，所以111212211AEADyymy ymyEMBDyy=+=+5 联立22133xmyxy=+=消去 x 整理得：()323220mymy+=，易得判别式0，由韦达定理，12223myym+=+，12223y ym=+，故1212my yyy=+代入式可得()11211222110AEADyyyymy yEMBDyy+=+=+=所以AEADEMBD，从而DEBM 综上所述，直线 BM 与直线 DE 平行.强化训练强化训练 3.（）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=过点()2,2P，且离心率为22.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设椭圆 C 的上、下顶点分别为 A、B，过点()0,4P斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于 M、N 两点.求证：直线 BM 与 AN 的交点 G 在定直线上.【解析】（1）由题意，222242122ababa+=，解得：2 22ab=，故椭圆 C 的方程为22184xy+=（2）由题意，直线 MN 的方程为4ykx=+，()0,2A，()0,2B，设()11,M x y，()22,N xy，联立224184ykxxy=+=消去 y 整理得：()221216240kxkx+=，判别式()()22164 12240kk=+，所以62k 或62k，由韦达定理，12212216122412kxxkx xk+=+=+6 直线 BM 的方程为1122yyxx+=，直线 AN 的方程为2222yyxx=，联立11222222yyxxyyxx+=消去 x 可得：()()12212222yxyyyx+=从而()()()()1212122212112126262222GGyxkxxykx xxyyxkxxkx xx+=+接下来给出以下两种计算非对称结构12212162kx xxkx xx+的方法：法 1：由知()121232kx xxx=+，代入式得：()()122121221211211233966222331322222xxxxxkx xxkx xxxxxxx+=+从而232GGyy+=，解得：1Gy=，所以点 G 在定直线1y=上.法 2：由知1221612kxxk=+，代入式得：22221221212222224246661212382416222121212kkxxkx xxkkkkkkx xxxxkkk+=+从而232GGyy+=，解得：1Gy=，所以点 G 在定直线1y=上.4.（）已知 F 为椭圆22143xy+=的右焦点，A、B 分别为其左、右顶点，过 F 作直线 l 交椭圆于不与 A、B 重合的 M、N 两点.（1）当 l 斜率为 1 时，求四边形AMBN的面积 S；7 （2）设直线 AM、BN 的斜率分别为1k和2k，求证：12kk为定值.【解析】（1）由题意，()2,0A，()2,0B，()1,0F，当 l 斜率为 1 时，其方程为1yx=设()11,M x y，()22,N xy 联立221143yxxy=+=，消去 x 整理得：27690yy+=，判别式()264792880=所以四边形AMBN的面积121128824 242277SAByy=（2）显然直线 l 不与 y 轴垂直，故可设其方程为1xmy=+，联立221143xmyxy=+=消去 x 整理得：()2234690mymy+=，易得判别式10，由韦达定理122122634934myymy ym+=+=+，()()()()121211212121212221233yxy mykmy yykxymyymy yy=+，接下来给出两种方法求非对称结构1211223my yymy yy+的值 法 l：由知()121232my yyy=+，代入式得：()()121121212212313122233933222yyyyykkyyyyy+=+，即12kk为定值13.法 2：由知122634myym=+，代入式得：222221222229631343434993333434mmmyykmmmmmkyymm+=+即12kk为定值13.5.（）点,A B是椭圆22:143xy+=E的左右顶点若直线:(1)l yk x=与椭圆E交于 M，N 两点，8 求证：直线 AM 与直线BN的交点在一条定直线上【解析】由题意得，()2,0A，()2,0B，设()()1122,M x yN xy，联立22143(1)xyyk x+=，化简得(222234)84120kxk xk+=，所以2122834kxxk+=+，212241234kx xk=+，直线A。