杆件的内力与内力图讲义.docx

教    学    内    容第四章  杆件的内力与内力图第一节  概  述一、内力的概念由于外力的作用而引起的杆内质点分子间相互作用力的改变量，称为内力内力是由外力引起的，且随着外力的增大而增大，当内力达到或超过杆件的承载能力时，杆件就会丧失工作能力或被破坏内力是与变形同时产生的，但它又有力图抵抗变形、保持物体杆件形状的特性二、杆件横截面上内力的名称当杆件受到不同外力作用时，杆件中的内力也是各不相同的若外力一定，内力也随之可定如图a受空间一般力系作用时，杆件中任意截面上的分布内力也处于任意分布状态，其k-k横截面上的内力分布如图b所示若将横截面上的这些分布内力按空间一般力系的合成方法进行合成，则可以得到如图c所示沿坐标轴方向的三个内力分量FN、FQy、    FQz和绕坐标轴旋转的三个内力矩分量T、My、Mz其中：FN ：表示横截面上的法向(杆件轴线方向)内力，称为轴力；T：表示作用面与横截面重合的内力偶矩，称为扭矩；FQ：表示(即FQy、FQz)是横截面上的切向(垂直于杆轴线方向)内力，称为剪力；M ：即My、Mz)表示绕横截面形心主轴( y轴和z轴)转动的内力偶矩称为弯矩三、杆件横截面内力的计算方法    杆件横截面上内力的计算方法有两种：一种是截面法，二是简捷法。

1．截面法  所谓截面法，即用一个假想的平面，沿垂直于杆轴线方向将杆件一分为二，取其中一部分为脱离体，并作出这部分的受力图，再由静力平衡条件求出截面上未知内力的方法即：“取”、“画”、“平”例如求图a所示受平面平衡力系作用的杆件中n-n截面的内力，我们将杆件切分成Ⅰ、Ⅱ两部分，选取第Ⅰ部分(或者第Ⅱ部分)为研究对象，并作出此部分的受力图如图b所示列平衡方程 ∑Fx = 0,  FN– F = 0，得到FN = F如果以第Ⅱ为研究对象，显然可以得到=F，这说明Ⅰ、Ⅱ杆段在n-n截面上作用的内力FN、是作用与反作用关系由此例可知，用截面法计算截面上的内力时，其脱离体受力图中，截面上未知内力的类型与此受力图上所作用的外力密切相关，且脱离体受力图中截面上的未知内力，与此受力图上所作用的外力构成平衡力系此力系中的未知力(内力)的大小和实际方向由该力系的平衡条件决定的2．简捷法所谓简捷法，就是直接根据外力作用情况来计算指定截面(或控制截面)内力值及建立内力方程的方法3．杆件横截面位置的表示方法常见的表示截面位置的方法有三种：第一种是直接在杆件上画出截面位置并给以相应的名称如图中的截面1-1、2-2。

第二种是当计算梁上某点A(一般为集中荷载作用点)的左侧截面或右侧截面上的内力时，通常可将B点左侧的截面叫做B左，B点右侧截面称为B右在图中1-1叫做B左，2-2称为B右并且1-1与B点及2-2截面与B点之间的距离D是一个微量，即→0计算中将1-1、2-2两截面间的距离D 视为0第三种是以截面在杆段中的相对位置来定义截面名称的例如图1-1、2-2截面可分别表示为BA、BC即以两个脚标表示截面所在的杆段，其中第一个脚标表示截面在杆段上的相对位置图4-3 截面位置表示方法四、杆件的内力方程与内力图截面上的内力是截面位置变量x的函数将表示截面内力与截面位置变量x间函数关系的表达式，即内力函数关系式，称为内力方程平面力系作用下杆件横截面内力方程的基本形式为轴力方程      扭矩方程       剪力方程        弯矩方程FN =F N(x)      T = T(x)        FQ = FQ(x)        M = M(x)其中F N(x)、T(x)、FQ(x)、M(x)分别代表任意横截面的位置坐标x所在截面相应的轴力函数、扭矩函数、剪力函数和弯矩函数这种被称为内力方程的内力函数表达式，可以用截面法得到，也可以简捷法来建立。

杆件的内力图是表示整个杆件(或结构)各截面内力变化规律的图形不同基本变形杆件中有不同的内力，当然内力图的种类也会不同内力图绘制的基本方法是函数法，此外还有叠加法和由内力与外力之间的微分关系来作图的简捷法上述四种内力之内力图坐标系规定如图所示：以杆件轴线为基线(长度与杆长相同)，建立以杆件左端点为坐标原点，以x为横坐标(向右为正方向)，内力为纵坐标(FN、FQ、T向上为正方向，M向下为正方向)教    学    内    容第二节 轴向拉压杆的内力与内力图一、轴向拉压杆的外力与变形特征轴向拉压杆是指只受轴向拉力或轴向压力作用的直杆轴向拉压杆的纵向变形是沿轴线方向的伸长或缩短，而横向只会产生收缩或膨胀例如下图所示   轴向拉压杆的变形特征二、轴向拉压杆横截面上的内力如图a所示分别在截面A、B、C处分别受到轴向外力F1、F2、F3作用并处于平衡状态的等截面直杆为了揭示和计算杆段AB各横截面上的内力，在AB段取任意截面1-1，并取截面1-1左侧的杆件部分为脱离体，作受力图如图b所示由于截面1-1以左的杆段上只有与杆轴线重合的外力F1，故该截面上与此外力构成平衡力系的内力必然是与横截面法线重合的轴向力FN1，由受力图中力系(属于共线力系)的平衡条件计算FN1的大小：由                       得到                                FN1 = F1并且，不管截面1-1取自AB段内的何处，其轴力值均不会改变。

此结果表明AB段杆各横截面上的轴力的大小都等于F1同理，我们也可以求得如图c所示2-2截面上的轴力FN2的大小，且FN2 = F1+F2由此可知，轴向拉压杆件各横截面上的内力是与杆轴线重合的轴力，用“FN”表示，且轴力FN以拉力为正，压力为负任意截面k的轴力与k截面左侧(或者右侧)杆段上外力之间具有如下关系：任意截面K的轴力，等于K左侧(或者右侧)杆件上所有外力的代数和即                           (4-1)且k左侧向左的F取正号(k右侧向右的F取正号)，反之取负号由式(4-1)直接确定轴力的方法，即为轴力计算的简捷法三、轴力方程与轴力图表示杆件任意截面轴力与截面位置x之间函数关系的表达式称为轴力方程，即FN= FN (x)式中，轴力函数FN(x)可由简捷法直接得到(也可由截面法得到)例如下图所示杆件任意截面x (它们到A截面的距离分别为x)的轴力函数式为FN (x)=F1 +F2任意截面位置的表示方法表示整个杆件(或结构)各截面轴力变化规律的图形，称为轴力图作图步骤为：(1)列出杆件中各杆段任意截面的轴力方程；(2)建立轴力图坐标系，根据轴力方程所确定的轴力与截面位置间函数关系，在轴力图坐标系中绘制出轴力图。

在轴力图中必须注明各杆段轴力的值、单位、正负号例4-1图【例4-1】用函数法计算图a所示杆件的轴力并作出它的轴力图〖解〗 (1)用简捷法分段建立各杆段任意截面轴力的函数关系式(即轴力方程式)，并求出各控制截面的轴力值：AB段                   FN (x1) = 10kN                     (0＜x1＜4m)BC段                FN (x2) = 10 +10 = 20kN                (4m＜x2＜8m)CD段            FN (x3) = 10 +10-40 = -20kN(压力)         (8m＜x3＜11m) (2)建立坐标系并按作内力图规定作轴力图如上图b所示例4-2】 用函数法作下图a所示阶梯柱在考虑自重时的内力图阶梯柱在考虑自重时的受力图如下图b所示，已知F1 = 50kN，F2 = 30kN，q1 = 1.5kN/m，q2 = 3.6kN/m〖解〗 (1)分别建立立柱上、下段任意截面轴力的函数关系式(轴力方程式)，并求出控制截面A、B、C的轴力值：AB段                           (0＜x＜3)  (a)BC段      (3＜x＜7)  (b)    由式(a)、(b)可知，AB段和BC段的轴力都是截面位置x的线性函数。

2)由(a)、(b)二作阶梯立柱的轴力图如图c所示例4-2图教    学    内    容第三节 圆轴扭转时的内力与内力图一、圆轴扭转时的外力与变形特征圆轴扭转时的外力与变形特征圆轴扭转时的外力和变形特征：外力特征——作用于杆件上的外力都是作用面均与杆件横截面平行的力偶变形特征——各横截面均绕杆件的轴线产生相对转动二、圆轴扭转时横截面上的内力和内力图对于上图a，取如图b所示脱离体作为研究对象，作用于横截面上的内力是与外力偶等值、反向，且作用面与横截面重合的力偶，这个内力偶的力偶矩，称为扭矩，用“T”表示截面上的扭矩“T”以绕截面形心逆时针方向转动时为正对图b所示力系列平衡方程由                      得                               为了方便扭矩的计算，特将如图a所示扭转轴上的外力偶以力的形式表示：站在扭转轴的左端向右观察，若外力偶为逆时针转向，则代替它的力向上，反之向下,如图c所示此时为计算截面k的扭矩，其脱离体受力图如图d所示，通过列平衡方程可得由此可见，扭转圆轴任意截面k的扭矩，等于k截面左侧(或右侧)轴段上外力偶的代数和，即                                      (4-2)式中mi的正负号取法：k左侧向上(k以右向下)的mi取正，反之取负。

例4-2】用函数法计算下图a所示圆形截面扭转轴的扭矩，并作出扭矩图　　〖解〗 (1)对于下图a所示受力情况作如下图b所示的置换(熟练后可省去此过程)，则AB、BC、CD三轴段任意截面的扭矩表达式分别为：例4-2图AB段                          T(x) = -2kN·m, BC段                          T(x) = -2 + 4=2kN·mCD段                          T(x) = 1kN·m(2)由以上各段扭矩表达式可知，各轴段的扭矩均为常数扭矩图如图c所示教    学    内    容第四节 平面弯曲梁的内力与内力一、概述1．平面弯曲的概念平面弯曲概念解说图当作用于梁上的所有外力的作用线都位于该梁的纵向对称平面内时，梁所产生的弯曲变形，称为平面弯曲2．梁及其基本类型以弯曲变形为主要变形形式的杆件称为梁由一根杆件与支座连接所构成的弯曲变形杆件，称为单跨梁若此单跨梁的支座约束力不超过三个，则为静定单跨梁，若支座约束力超过三个则为超静定单跨梁静定单跨梁的基本形式3．梁横截面上的内力及其正负号规定平面弯曲梁任意横截面的内力有两种：一种是作用线垂直于梁轴线(作用于截面的切线方向)的集中力，称为剪力，用FQ表示；另一种是绕通过横截面形心的水平坐标轴z转动的内力偶矩，称为弯矩，用M表示。

在平面弯曲梁中，剪力FQ和弯矩M均在荷载作用平面内由于外力和内力共面，故上图c可表示为图d所示简化(计算简图)形式在土建类专业工程力学和与力学相关的课程中，梁横截面上的正剪力FQ和正弯矩M的方向规定是：在位于梁段左端的截面上，向上的FQ为正，顺时针转向的M为正在位于梁段右端的截面上，向下的FQ为正，逆时针转向的M为正或者，使所作用的梁段绕梁内任意点产生顺时针转向进的FQ。