高考数学一轮总复习专题33定积分练习理.docx

专题3.3 定积分考点分析定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；（2）了解微积分基本定理的含义．知识链接1、相关术语：对于定积分（1）称为积分上下限，其中（2）：称为被积函数（3）：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：中的被积函数为，而的被积函数为2、定积分的几何意义：表示函数与轴，围成的面积（轴上方部分为正，轴下方部分为负）和，所以只有当图像在完全位于轴上方时，才表示面积可表示数与轴，围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果是区间上的连续函数，并且，那么使用微积分基本定理，关键是能够找到以为导函数的原函数所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：，则判断属于幂函数类型，原函数应含，但，而，所以原函数为（为常数）② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数，例如，则，但在使用微积分基本定理时，会发现计算时会消去，所以求定积分时，不需加上常数。

2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分但要注意曲边梯形若位于轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数4、定积分的运算性质：假设存在（1）作用：求定积分时可将的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化的复杂程度（2）作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如（3），其中作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解5、若具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算（1）若为奇函数，则（2）若为偶函数，则6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：（1）通过作图确定所求面积的区域（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数（3）若时，始终有，则该处面积为7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示需分段通常有两种情况（1）构成曲面梯形的函数发生变化（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。

融会贯通题型一　定积分的计算典例1　(1)(2017·九江模拟)若ʃ(2x＋λ)dx＝2(λ∈R)，则λ等于(　　)A．0 B．1 C．2 D．－1(2)定积分ʃ|x2－2x|dx等于(　　)A．5 B．6 C．7 D．8【答案】　(1)B　(2)D【解题技巧与方法总结】运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．【变式训练】(1)若则实数a的值为(　　)A．－1 B．1 C．－ D.(2)设f(x)＝则ʃf(x)dx等于(　　)A. B. C. D.【答案】 (1)A　(2)C【解析】 ＝0－a－(－1－0)＝1－a＝2，∴a＝－1.(2)ʃf(x)dx＝ʃx2dx＋ʃ(2－x)dx＝x3|＋(2x－x2)|＝＋(4－×4)－(2－)＝.题型二　定积分的几何意义命题点1　利用定积分的几何意义计算定积分典例2　(1)计算：ʃ dx＝________.(2)若ʃ dx＝，则m＝________.【答案】　(1)π　(2)－1命题点2　求平面图形的面积典例3　(2017·青岛月考)由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为______．【答案】　4－ln 3【解析】　由xy＝1，y＝3可得交点坐标为(，3)．由xy＝1，y＝x可得交点坐标为(1,1)，由y＝x，y＝3得交点坐标为(3,3)，由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为＝(3－1－ln 3)＋(9－－3＋)＝4－ln 3.【解题技巧与方法总结】 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分；(2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．【变式训练】(1)定积分ʃdx的值为(　　)A．9π B．3πC.π D.π(2)由曲线y＝2x2，直线y＝－4x－2，直线x＝1围成的封闭图形的面积为________．【答案】　(1)C　(2)题型三　定积分在物理中的应用典例4　一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)A．1＋25ln 5 B．8＋25ln C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2【答案】　C【解析】　令v(t)＝0，得t＝4或t＝－(舍去)，∴汽车行驶距离s＝ʃ(7－3t＋)dt＝|＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.【解题技巧与方法总结】定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝ʃv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝ʃF(x)dx.【变式训练】一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)A. J B. J C. J D．2 J【答案】　C【知识链接】1．定积分的概念在ʃf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)；(2)ʃdx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a

14．【湖北省襄阳第四中学2017届高三下学期5月适应性考试数学（理）试题】已知函数（）的图象和直线围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是__________．【答案】【解析】由定积分的定义结合题意可得这个封闭图形的面积是.15．【吉林省实验中学2017届高三第九次模拟考试数学（理）试题】边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为_______【答案】16．【河北省2017届衡水中学押题卷理数 I】已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=__________．【答案】【解析】 17．【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题】如图所示，由直线，及轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即．类比之，若对，不等式恒成立，则实数等于__________．【答案】2【解析】因为，所以即18．【2017届天津市南开中学高三第五次月考数学（理工类）试卷】函数在点(1，2)处的切线与函数围成的图形的面积等于__________．【答案】【解析】因为，所以，，则函数在点(1，2)处的切线为，即，作出草图（如图所示），则所求阴影部分的面积为.内容总结（1）专题3.3 定积分考点分析定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积。