(完整版)Sobolev空间的建立.doc

Sobolev 空间一、定义：( 一) 弱导数的定义：设 uL1loc ( ) ，对于给定的重指标，称为 u 的阶弱导数，如果存在函数v L1loc () ，使得对于C0（ ）成立vdx (1)| |uD dx .并记 v D u .( 二) Sobolev 空间的定义：对 p 1,m 是非负整数，定义 Sobolev 空间W m, p ( ) L p ( ) u | D u Lp ( ),| | mu | u Lp ( ), D u L p ( ), | | m .在 W m,p ( ) 中引入范数11(| Du |p dx) p(pD u ) p ,1 pu m , p ,| | mp ,| | mmax D u, p|| m,(| Du |p dx)下面证明 Wm, p() 按范数u m, p ,| | mmax D u, p|| m,是赋范空间 .(i )非负性：11(D upp) p ,1 p|| mp ,1当 1 p时，任意的 uW m, p () ，则 um, p(| D u |p dx) p0，| | m1且 u m,p0(|Du |p dx ) p0Du 0对任意 ||m 均成立u 0 ；| | m当 p时，任意的 u W m, p ( ) ，则 um, pmax D u0，| | m1且 u m,p0max D u 0D u 0 对任意 || m 均成立u 0 ；| | m(ii )齐次性：当 1p时，任意 uW m, p () ，K ，有1u(| D ( u) |pdx) p(| D u |p dx)1p u ；| | m | | m当 p 时，任意 u W m, p ( ) ， K ，有u max D ( u) max D u u ；| | m | | m(iii )三角不等式性：当 1p时，任意 uW m, p () ， vW m, p () ，有11u v(| D(uv) |pdx) p((| D u |p| D v |pdx) p| |m| | m11(| D u |p dx) p(| Dv |p dx) pu v ；|| m| |m当 p时，任意 uW m, p () ， vW m, p () ，有uvmax D(uv)max D uDvmax D umax D vu v .| | m| | m| | m| | m所以， Sobolev 空间 W m,p () 是一个赋范空间 .二、 Sobolev 空间的主要性质：（一）完备性： W m,p () 是 Banach空间 .证明 只要证明 W m ,p () 是完备的 .任取 W m,p ( ) 中的 Cauchy 序列 f j，则 fk f jm , p0(k, j) .而1f kf j(D ( fkf j )p) pm , pp| |mL1(D fkD f j )Lpp ) p| |mD f kD f j L p0(k, j) .2即 D f j (| | m) 是 Lp ( ) 中 的 Cauch 列 ， 由 L p ( ) 的 完备 性 知 ， 存 在gLp ( )(|| m) ，使得 Df jLpg , j.在弱收敛的意义下， D f jg，即对任意Lp ()(111) ，有pqDf jdxgdx( j) .特别对任意C0( )，有Df jdxgdx( j) .这是因为|Df jdxgdx || Df jg ||| dxDf jgLpLq0 (应用 Holder 不等式）令0 得f j dxg 0dxf dx .其中C0 () .在利用弱导数的定义得，对于任意C0( ),j时有Df jdx(1)f jDdx( 1)||f D dxD fdx .即当 j时， Df j 在 Lp () 内弱收敛于Df ，记成Df j弱收敛Df ( Lp ( ))由极限的唯一性，得 D fgLp () (||m) 且D f jD f ( Lp ( )) ( j) .这就说明，若f j是 W m ,p () 中的 Cauchy 序列，则必存在f W m,p ( ) ，使得f jf (W m ,p ( ))( j) .3即， W m,p () 是完备的 .从而 W m,p () 是 Banach空间 .（二）可分性：当 1p时， W m, p ( ) 是可分的 .证明 只要证明当 1p时， ( Lp ()) Q 是可分的，也就是说 ( Lp ())Q 中存在稠密的可列集 .事实上，对每个正整数 k，作kx | x , dist (x, ) 1 ,| x | k .k设 P 表示所有有理数多项式全体，Pkf | fP~Pk ，k， Pk 1~p( )中稠密. 事实上，对 fp()，任意的0 ，由 C0(p() 中则P在LL) 在 L稠密知，存在 gC0 () ，使得fg L p ().2另外容易看出， C0 ()C0 (k ) .k 1故 g 属于某个C0 (m )，利用 weierstrass定理知，Pm0m) 中稠密，也就是说，在 C (1存在 hPm ，使得 | gh | |m |p ， xm .2因为m 有界，故有1|| gh || p( )( | g h |p ) pL1(| g h |p ) p。