第六章非平衡态统计物理.doc

第六章 非平衡态统计物理非平衡态物理现象l 动力学驰豫过程例如，t＝0，体系处于高温态；t > 0, 体系淬火到低温态在这一过程，体系的性质和物理量显然与时间相关l 动力学输运过程体系处于稳态，但存在“流动”，如粒子流，电流和能量流等这样的系统需要动力学方程描述其他一些现象也纳入非平衡态物理研究范畴例如，体系不断受到外力打击，这些外力是宏观的，或者没法简单用Hamiltonian表达，等等平衡态的动力学涨落也可以属非平衡态物理研究范畴第一节 玻尔兹曼方程全同粒子，近独立体系，粒子数不变单粒子微观状态用（）描述，（）张开的空间称空间平衡态系统的微观状态可用分布函数描述 为单粒子能量——处于（）处的粒子数的密度分布思考题：与正则系综理论的关系，例如，如何写出配分函数非平衡态粒子数密度与时间t有关 关键：如何求f ？ 显然，如果t是微观时间，求解的难度和解微观运动方程差不多所以，t一般是某种介观时间或宏观时间· 先试图写下f的运动方程· 再讨论如何求解如果粒子不受外力，没有粒子间的碰撞，我们有粒子流守恒方程如何来的？对积分 左边： 中单位时间粒子数的增加右边： 单位时间流入的粒子数。

注意：的方向为向外的，至少在局部是常数，所以，是从dS流入的粒子数，因为 另一方法：没有外力，至少在局部是常数 时刻处于处的粒子 ＝t时刻处于的粒子因为在内粒子移动 如果粒子受外力，但互相不碰撞如果粒子相互碰撞 为由粒子碰撞引起的粒子数密度的变化这便是玻尔兹曼方程原则上可以求解近独立子系的所有非平衡态动力学行为假设· 只有两体碰撞· 边界条件不重要· 外力只对单粒子运动起作用，不影响碰撞· 不同相空间点的f没有关联· 时间标度远大于分子碰撞时间 空间标度远大于分子尺度二体碰撞 入射 出射 能量守恒 动量守恒 逆过程也类似 出射 入射 能量守恒 动量守恒 · 在处，t时刻由产生的概率为 在处增加的粒子数为 在t时刻，在处减小的粒子数为 注意：这里我们假设t是介观时间，已略去分子碰撞细节。

习题：假设 ，计算出中对的积分第二节 玻尔兹曼方程的简单例子1、平衡态“平衡” （这似乎是充分条件） 设 即为平衡态的解的形式, 还必须受到限制，如等思考题：为什么？（因为 ）2、没有碰撞，没有外力解为 为t＝0时粒子数分布例如：t＝0时，温度为T的气体凝聚于原点即 归一化常数思考题：为什么取这样的形式？注意：原点为宏观原点，微观粒子还在运动 是Boltzmann分布计算t时刻的粒子数分布 因为对粒子系统，单粒子积分限可取为 粒子随时间扩散，经t时间后，处粒子由t＝0时动量为的粒子而来第三节 单自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程Langevin方程 对固定 ~ 这里的 t 通常也是介观时间 如果没有随机力，平衡态为，即能量取极小值如果存在随机力，体系会被推离能量极小，处于某种能量较高的平衡态 例如：布朗运动 —— 花粉在液体中的运动 一维解 如 ，这便是随机行走由于随机力的存在，Langevin方程有他的复杂性，因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。

为了简单起见，我们对时间分立化 — 在数值模拟中应用 — 较直观，Z ~ =∴ Langevin方程令 ∴ 方程的解 是随机变量，在数值模拟中给定初始值还不确定，与随机力有关也就是说，在t时刻，x 遵从一个分布物理量的平均值 问题：的含义？答：必须对t之前的所有随机力做平均∵∴ ∵ 又 ∵ ∴ 这里做分步积分时，假设另一方面 Fokker-Planck方程∴ 显然 ~ 思考题：试讨论为平衡态的条件多自由度的Langevin方程是单自由度的直接推广Langevin方程的适用范围不是很清楚，一般只能求解动力学驰豫过程相关物理问题，以及平衡态问题第四节 Ising 模型的Monte Carlo模拟Langevin方程既适用于理论研究，也可以应用于数值模拟Langevin方程既模拟动力学行为，也提供平衡态的正则分布但是，在平衡态研究方面，Langevin方程有局限性例如，引起的误差难以控制；动力学变量必须是连续变量等Monte Carlo 算法给出另一种动力学一般认为，Monte Carlo动力学和Langevin动力学属于同一普适类，即两者的大范围长时间标度的动力学性质是一致的。

Monte Carlo 算法简单有效，但较难进行理论研究Ising model称之为哈密顿量，代表能量；置于格点上，例如正方格点为外磁场 对 随机状态 有序状态 极小当体系和大热源接触达到“平衡”时，遵从正则分布 物理量的平均值 ———— 归一化常数 配分函数对Monte Carlo模拟，必须给予概率分布的意义引入恰当随机过程，产生一系列自旋构形 当足够大时， 遵从分布 例 格点尺度关键：构造算法 · 各态历经 － 这是显然的 · 细致平衡－ 这是充分条件单自旋翻转法 ——每次只试图改变一个自旋的值，称迭代顺序扫描法 按规则依次迭代点阵上所有自旋Heat-bath algorithm 选定，取 注意：这一算法的跃迁概率与的值无关！ 的能量 的能量由于每次只迭代一个自旋，与无关的自旋的能量不必计算设 各态历经是显然的 细致平衡 练习：· 构造二自旋迭代的Heat-bath算法 Monte Carlo算法给出正则分布，同时，动力学也可以有物理意义，一般认为与Langevin动力学处于同一普适类。

在计算机上实现Heat-bath的算法 选定 计算 产生随机数 ，均匀分布如果 否则 0 1 概率 。