一维单原子链.ppt

03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质03_02 一维单原子链 1. 格波的研究—物理模型（简谐近似） 一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a —— 原子之间的作用力 —— 第n个原子离开平衡位置的位移—— 第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移第n个原子和第n＋1个原子间的距离03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移 后，相互作用势能—— 常数—— 平衡条件03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力—— 恢复力常数 等 效03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质2. 原子的运动方程—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力第n个原子的运动方程—— 每一个原子运动方程类似—— N个方程组成的方程组(方程的数目和原子数相同)，可有N 个解，而此时晶体的总自由度也为N——原子运动之间的耦合03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质3.解方程把晶体看作是连续媒质，即.03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质令v2= a2β/m ----波动方程03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质• 它是一个简谐波，q=2π/λ是波矢。

从物理上讲，视为“ 连续”，要求波长λ>>原子间距;波动方程的通解 ：•如果 λ～a，――不连续必须直接求解方程试探解：对应于连续情况下的解式，这里仅以na代替x，这也是 一个简谐行波，称它为一个格波可见，一个格波是晶 体中全体原子都参与的一种简单的集体运动形式寻求格波色 散关系！03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质4. 色散关系--振动频率与波矢的关系 得到----色散关系03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质连续介质中的机械波5. 格波的意义晶体中的格波波长—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动——连续介质波中x表示空间任意一点，而格波中只取 na格点格波—— 简谐近似下，格波是简谐平面波格波波矢03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质—— 格波的波形图—— 向上的箭头代表 原子沿X轴向右振动—— 向下的箭头代表 原子沿X轴向左振动—— 格波相速度—— 不同原子间相位差—— 相邻原子的相位差03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质6. 波矢的取值和布里渊区格波相邻原子相位差—— 原子的振动状态相同相邻原子相位差：格波1的波矢q1相邻原子的位相差—— 两种波矢q1和q2的格波中，原子的振动完全相同格波2的波矢q203_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质波矢的取值:—— 相邻原子的相位差取值波矢的取值范围，第一布里渊区—— 只研究清楚第一布里渊区 的晶格振动问题—— 其它区域不能提供新的物理内容q03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质7. 玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的每个原子的振动形式都一样—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述目标：求出q=?如何解决这一问题？玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件解决了这一 问题03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质—— N个原子头尾相接形成环链，保持所有原子等价特点—— 处理问题时考虑到环链的循环性—— N很大，原子运动近似为直线运动设第n个原子的位移再增加N个原子之后 第N+n个原子的位移则有—— h为整数03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质—— h为整数波矢的取值范围h — N个整数值，波矢q —— 取N个不同的分立值每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区状态数N也是一维单原子链的自由度数，得到了链的全部振动模q03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质8. 格波的色散关系 频率是波数的偶函数格波相速度— 不同波长的格波传播速度不同 色散关系03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质—— q空间的周期频率极小值频率极大值频率在 之间的格波才能在晶体中传播其它频率的格波被强烈衰减—— 低通滤波器色散关系03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质1) 格波 —— 长波极限当—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的一致03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质2) 格波 —— 短波极限—— 格波的色散关系与连续介质中弹性波的不一致—— 不同频率的格波传播速度不同03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质长波极限下短波极限下相邻两个原子振动相位差—— 晶格可看作是连续介质—— 相邻原子的振动相位相反3）相位特点03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质结论：在一维单原子链情况下，每个q值对应一个ω,一 组（ω，q）对应一个格波，故共有N个格波。

这N个 格波的频率ω与波矢q的关系由一条色散曲线所概括 ，所以这N个格波构成一支格波一维单原子链只有 一支格波通解意义：晶格中每一个原子（确定的n）参与了N 个独立 的简谐振动，任何一原子的实际运动是这N个格波所 描述的简谐振动的线性叠加 03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质课后作业1.什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或 格波振动模式数目是否是一回事？格波数目与自由 度数有什么关系？格波波矢q在第一BZ内取值数是 多少？2. 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第n个格点引 起的位移为 ， 为任意个 相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量 为kT，具体计算每个原子的平方平均位移(P580,3-1)03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质7. 原子位移和简正坐标的关系 第q个格波引起第n个原子位移第n个原子总的位移令03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质原子坐标和简正坐标的变换—— 线性变换为么正变换—— 有N个取值03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质—— 动能和势能的形式 —— N项独立的模式动能的正则坐标表示原子位移 为实数 —— 正交性03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质势能03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质—— 系统势能03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质哈密顿量—— 系统复数形式的简正坐标—— 势能—— 动能03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质—— 实数形式的简正坐标令哈密顿量03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质能量本征值声子 —— 晶格振动的能量量子；或格波的能量量子当这种振动模处于 时，说明有 个声子本征态函数—— 一个简正坐标对应一个谐振子方程波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数 03_02_一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质—— 声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用—— 晶格振动的问题  声子系统问题的研究—— 每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的—— 声子系综是无相互作用的声子气组成的系统—— 声子具有能量_动量，看作是准粒子晶格振动 —— 声子体系。