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θ物体的动态平衡问题解题技巧湖北省恩施高中 陈恩谱一、总论1、动态平衡问题的产生——三个平衡力中一种力已知恒定，此外两个力的大小或者方向不断变化，但物体仍然平衡，典型核心词——缓慢转动、缓慢移动……2、动态平衡问题的解法——解析法、图解法解析法——画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后由角度变化分析判断力的变化规律；图解法——画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图措施，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律3、动态平衡问题的分类——动态三角形、相似三角形、圆与三角形（2类）、其她特殊类型二、例析1、第一类型：一种力大小方向均拟定，一种力方向拟定大小不拟定，另一种力大小方向均不拟定——动态三角形【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间设墙面对球的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置不计摩擦，在此过程中A．FN1始终减小，FN2始终增大B．FN1始终减小，FN2始终减小C．FN1先增大后减小，FN2始终减小D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大FN1FN2mgθ解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出FN1、FN2随夹角变化的函数，然后由函数讨论；【解析】小球受力如图，由平衡条件，有 联立，解得：，木板在顺时针放平过程中，θ角始终在增大，可知FN1、FN2都始终在减小。

选B解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和FN1的方向，然后按FN2方向变化规律转动FN2，即可看出成果FN2mgFN1【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，FN1的方向始终水平向右，而FN2的方向逐渐变得竖直则由右图可知FN1、FN2都始终在减小拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动设F的方向与水平地面的夹角为θ，如图所示，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则A．F先减小后增大 B．F始终增大C．F始终减小 D．F先增大后减小解法一：解析法——画受力分析图，正交分解列方程，解出F随夹角θ变化的函数，然后由函数讨论；FNFmgFfθ【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有 其中 联立，解得：由数学知识可知，其中FNFmgFfF合θβ当时，F最小，则θ从0逐渐增大到90°的过程中，F先减小后增大解法二：图解法——可将弹力和滑动摩擦力合成为一种力，这个力的方向是拟定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。

FF合mgβ【解析】小球受力如图，将支持力FN和滑动摩擦力Ff合成为一种力F合，由可知，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，F合的方向始终与竖直方向成β角则由右图可知，当θ从0逐渐增大到90°的过程中，F先减小后增大2、第二类型：一种力大小方向均拟定，此外两个力大小方向均不拟定，但是三个力均与一种几何三角形的三边平行——相似三角形【例2】半径为的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面的距离为，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由到的过程中，半球对小球的支持力和绳对小球的拉力的大小变化的状况是A、变大，变小　　　　　　　B、变小，变大C、变小，先变小后变大　　　D、不变，变小解法一：解析法（略）FNmgFfOO’解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观测这个力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形相应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律FNmgFf【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。

很容易发现，这三个力与的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形相似其中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，不变，变小3、第三类型：一种力大小方向均拟定，一种力大小拟定但方向不拟定，另一种力大小方向均不拟定——圆与三角形【例3】在共点力的合成实验中，如图，用A，B两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置O，这时两绳套AO，BO的夹角不不小于90°，目前保持弹簧秤A的示数不变而变化其拉力方向使α角变小，那么要使结点仍在位置O，就应当调节弹簧秤B的拉力的大小及β角，则下列调节措施中可行的是BAβαO A、增大B的拉力，增大β角 B、增大B的拉力，β角不变 C、增大B的拉力，减小β角 D、B的拉力大小不变，增大β角解法一：解析法（略）FFBFAβα解法二：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”——保持长度不变FA将FA绕橡皮条拉力F端点转动形成一种圆弧，FB的一种端点不动，另一种端点在圆弧上滑动，即可看出成果FFBFA【解析】如右图，由于两绳套AO、BO的夹角不不小于90°，在力的三角形中，FA、FB的顶角为钝角，当顺时针转动时，FA、FB的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。

由图可知，这个过程中FB始终增大，但β角先减小，再增大故选ABC4、第四类型：一种力大小方向均拟定，另两个力大小方向均不拟定，但是另两个力的方向夹角保持不变——圆与三角形（正弦定理） 【例4】如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ=120°不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力FT1，CB绳的拉力FT2的大小变化状况是 A、FT1先变小后变大 B、FT1先变大后变小 C、FT2始终变小 D、FT2最后变为零解法一：解析法1——让整个装置顺时针转过一种角度α，画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件列方程，解出FT1、FT2随α变化的关系式，然后根据的变化求解FT2mgFT1α【解析】整个装置顺时针转过一种角度后，小球受力如图所示，设AC绳与竖直方向夹角为α，则由平衡条件，有联立，解得，α从90°逐渐减小为0°，则由上式可知：FT1先变大后变小，FT2始终变小mgFT1FT2βαθFT2mgFT1解法二：解析法2——画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，FT1、FT2的夹角(180°－θ)保持不变，设此外两个夹角分别为α、β，写出这个三角形的正弦定理方程，即可根据α、β的变化规律得到FT1、FT2的变化规律。

解析】如图，由正弦定理有整个装置顺时针缓慢转动90°过程的中θ角和mg保持不变，α角从30°增大，β角从90°减小，易知FT1先变大后变小，FT2始终变小mgFT1FT2解法三：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力的夹角(180°－θ)保持不变，此类似于圆周角与相应弦长的关系，因此，作初始三角形的外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心），然后让另两个力的交点在圆周上按FT1、FT2的方向变化规律滑动，即可看出成果解析】如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的FT2为直径的圆周，易知FT1先变大到最大为圆周直径，然后变小，FT2始终变小答案为：BCDACMNBG5、其她类型【例5】如图所示．用钢筋弯成的支架，水平虚线MN的上端是半圆形，MN的下端笔直竖立．一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物G．现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从C点处沿支架缓慢地向最高点B接近（C点与A点等高），则绳中拉力A．先变大后不变 B．先不变后变大C．先不变后变小 D．保持不变解法一：解析法——分两个阶段画受力分析图，绳端在CN段、NB段，在CN段，正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相似，再由几何关系易知这个夹角保持不变，则易看出成果；在NB段，左右两侧绳与水平方向夹角也相似，但这个夹角逐渐增大，由方程易看出成果。

解析略）FT=GF1F2FT=GF1F2解法二：图解法——画滑轮受力分析图，构建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律，可知这是一种等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力的变化规律解析】如右图，滑轮受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一种等腰三角形由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增大，则绳中张力先保持不变，后逐渐减小三、练习1、如图1所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止)，挡板对小球的推力F、半球面对小球的支持力FN的变化状况是（ ）A．F增大，FN减小 B．F增大，FN增大C．F减小，FN减小 D．F减小，FN增大mgFNFNmgFF【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，F的方向始终水平向左，而FN的方向逐渐变得水平则由上图可知F、FN都始终在增大 故B对的2、如图2所示是一种简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。

现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前（ ）A．BC绳中的拉力FT越来越大 B．BC绳中的拉力FT越来越小C．AC杆中的支撑力FN越来越大 D．AC杆中的支撑力FN越来越小FT1=GFNFTFT1=G【解析】C点受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形很容易发现，这三个力与的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形相似其中，G、AC、AB均不变，BC逐渐减小，则由上式可知，不变，变小B对的3、质量为M、倾角为θ的斜面体在水平地面上，质量为m的小木块（可视为质点）放在斜面上，现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中对的的是（ ）FmgsinθFfA．小木块受到斜面的最大摩擦力为B．小木块受到斜面的最大摩擦力为F-mgsinθC．斜面体受到地面的最大摩擦力为FD．斜面体受到地面的最大摩擦力为FcosθmgsinθFf【解析】对小木块受力分析可得斜面上的受力如图所示，由于小木块始终静止则重力沿斜面向下的分量mgsinθ始终不变，其与F和Ff构成一种封闭的三角形，当F方向变化时可知当F与mgsinθ方向相反时Ff最大，其值为F+mgsinθ。

对于C，D选项一斜面和小木块为整体进行研究，当力F水平向左时摩擦力最大值为F故C对的4、如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相似的光滑。