小学奥数几何五大模型相似模型.pdf

模型四相似三角形模型( 一) 金字塔模型 (二) 沙漏模型GFEABCDABCDEFGADAEDEAFABACBCAG；22:ADEABCSSAFAG：所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形( 只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD中，16AB，10AD，4BE，那么FC的长度是多少？FEDCBA【解析】 图中有一个沙漏， 也有金字塔， 但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD，所以:4:161: 4BFFCBE CD，所以410814FC任意四边形、 梯形与相似模型【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为15厘米，AC被分为60等份。

如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处 (DE平行AB) ， 那么小玻璃管口径DE是多大？6050403020100EADCB【解析】 有一个金字塔模型， 所以:DE ABDCAC，:1540:60DE，所以10DE厘米例 3】 如图，DE平行BC，若:2:3AD DB，那么:ADEECBSS_AEDCB【解析】 根据金字塔模型:2: (23)2:5ADABAE ACDEBC，22:2 :54: 25ADEABCSS，设4ADES份，则25ABCS份，255315BECS份，所以:4 :15ADEECBSS例 4】 如图，ABC中，DE，FG，BC互相平行，ADDFFB，则:ADEDEGFFGCBSSS四边形四边形EGFADCB【解析】 设1ADES份，根据面积比等于相似比的平方，所 以22:1: 4ADEAFGSSADAF，22:1: 9ADEABCSSADAB， 因 此4AFGS份，9ABCS份，进而有3DEGFS四边形份，5FGCBS四边形份，所以:1: 3: 5ADEDEGFFGCBSSS四边形四边形【巩固】如图，DE平行BC，且2AD，5AB，4AE，求AC的长AEDCB【解析】 由金字塔模型得:2:5AD ABAE ACDE BC，所以42510AC【巩固】如图，ABC中，DE，FG，MN，PQ ，BC互相平行，ADDFFMMPPB，则:ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS四边形四边形四边形四边形。

QEGNMFPADCB【解析】 设1ADES份 ，22:1: 4ADEAFGSSADAF， 因 此4AFGS份 ， 进 而 有3DEGFS四边形份，同理有5FGNMS四边形份，7MNQPS四边形份，9PQCBS四边形份所以有:1: 3: 5: 7: 9ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS四边形四边形四边形四边形【总结】 继续拓展， 我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列例 5】已知ABC中，DE平行BC， 若:2:3AD DB， 且DBCES梯形比ADES大28.5 cm，求ABCSAEDCB【解析】 根据金字塔模型:2: (23)2:5ADABDEBC，22:2 :54: 25ADEABCSS，设4ADES份，则25ABCS份，25421DBCES梯形份 ，DBCES梯形比ADES大17份 ， 恰 好 是28.5 cm， 所 以212.5cmABCS【例 6】 如图：MN平行BC，:4:9MPNBCPSS，4 cmAM，求BM的长度NMPACB【解析】 在沙漏模型中， 因为:4:9MPNBCPSS， 所以:2:3MN BC， 在金字塔模型中有：:2:3AMABMNBC， 因 为4 cmAM，4236ABcm ， 所 以642 cmBM【巩固】如图，已知DE平行BC，:3: 2BO EO，那么:AD AB_。

OEDCBA【解析】 由沙漏模型得:3: 2BO EOBC DE，再由金字塔模型得:2:3AD ABDE BC【例 7】 如图，ABC中，14AEAB ，14ADAC ，ED与BC平行，EOD的面积是1平方厘米那么AED的面积是平方厘米ABCDEO【解析】 因为14AEAB ，14ADAC ，ED与BC平行，根据相似模型可知:1: 4ED BC，:1: 4EO OC，44CODEODSS平方厘米，则415CDES平方厘米，又因为:1:3AEDCDESSADDC，所以15533AEDS( 平方厘米 ) 【例 8】 在图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，CDOV的面积是ABOV面积的几倍？ABCDOEFABCDO【解析】 连 接BC，易知OAEF，根据相似三角形性质，可知:OB ODAE AD，且:1: 2OA BEDA DE， 所 以CDOV的 面 积 等 于CBOV的 面 积 ； 由1124OABEAC 可得3COOA，所以3CDOCBOABOSSSVVV，即CDOV的面积是ABOV面积的 3 倍例 9】 如图，线段AB与BC垂直，已知4ADEC，6BDBE，那么图中阴影部分面积是多少？EABCDEABCDOEABCDO【解析】 解法一： 这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看作 辅 助 线BO， 则 图 形 关 于BO对 称 ， 有ADOCEOSSVV，DBOEBOSSVV， 且:4:62:3ADODBOSSVV设ADOV的面积为 2 份，则DBOV的面积为3 份，直角三角形ABE的面积为8 份因为6 10230ABESV，而阴影部分的面积为4 份，所以阴影部分的面积为308415解法二：连接DE、AC由于4ADEC，6BDBE，所以DEAC，根据相似三角形性质，可知:6:103:5DE ACBD BA，根据梯形蝴蝶定理，22:3 : 35 : 35 :59:15 :15 : 25DOEDOACOECOASSSSVVVV，所以:1515 : 915152515: 32ADECSS阴影梯形，即1532ADECSS阴影梯形；又11101066=3222ADECS梯形，所以151532ADECSS阴影梯形【例 10】(2008年第二届”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛) 如图，四边形ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形ABCD的面积是16，:3:1BG GC，则四边形EFGH的面积_HGFEDCBA【解析】 因为FGHE为平行四边形，所以/ /ECAG，所以AGCE为平行四边形:3:1BG GC，那么:1: 4GC BC，所以1116444AGCEABCDSSYY又AEGC，所以:1:3AE BGGC BG，根据沙漏模型，:3:1FG AFBG AE，所以334344FGHEAGCESSYY【例 11】已知三角形ABC的面积为 a，:2:1AFFC，E是BD的中点， 且EFBC，交CD于G，求阴影部分的面积ABCDEGF【解析】 已 知:2:1AF FC， 且EFBC， 利 用 相 似 三 角 形 性 质 可 知:2:3EF BCAF AC，所以23EFBC ，且:4 :9AEFABCSSVV又因为E是BD的中点，所以EG是三角形DBC的中位线，那么12EGBC ，12:3: 423EG EF， 所 以:1: 4GF EF， 可 得:1:8CFGAFESSVV， 所 以:1:18CFGABCSSVV，那么18CFGaSV【例 12】已知正方形ABCD，过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F，且10 cmAE，15 cmAF，求正方形ABCD的边长FAEDCB【解析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有:BC AFCE EF，:DCAECF EF，设正方形的边长为cmx，所以有1BCDCCECFAFAEEFEF，即11510 xx，解得6x，所以正方形的边长为6 cm 方法二：或根据一个金字塔列方程即151015xx，解得6x【例 13】如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边120BC毫米，高80AD毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？HGNPADCB【解析】 观 察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PNAPBCAB，PHBPADAB，设正方形的边长为x毫米，PNPHBCAD1APBPABAB，即112080 xx，解得48x，即正方形的边长为48毫米【巩固】如图，在ABC中，有长方形 DEFG ，G 、F 在 BC上， D 、E 分别在 AB 、AC上， AH 是ABC边 BC 的高，交 DE 于 M ，:1: 2DG DE，12BC厘米，8AH厘米，求长方形的长和宽EHGMFADCB【解析】 观 察图中有金字塔模型5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DEADBCAB，DGBDAHAB， 所以有1DEDGADBDBCAHABAB， 设DGx， 则2DEx，所以有21128xx，解得247x，4827x，因此长方形的长和宽分别是487厘米，247厘米【例 14】图中ABCD是边长为12cm的正方形， 从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GDC的面积是多少？ABCDEFGNMABCDEFG【解析】 根据题中条件， 可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形GEF与三角形GDC相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题做GM垂直DC于M，交AB于N因 为EFDC， 所 以 三 角 形GEF与 三 角 形GDC相 似 ， 且 相 似 比 为:4:121:3EF DC，所以:1:3GN GM，又因为12MNGMGN，所以18GMcm ，所以三角形GDC的面积为2112181082cm【例 15】如图， 将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多少？BMNFOE【解析】 根据相似三角形的对应边成比例有：31223NF；12312EM，则59NF，53EM，19512225330S阴【例 16】( 2008 年 101 中学考题 ) 图中的大小正方形的边长均为整数( 厘米 ) ，它们的面积之和等于52 平方厘米，则阴影部分的面积是HGFEDCBA【解析】 设 大、小正方形的边长分别为m 厘米、n 厘米 ( mn ) ，则2252mn，所以8m若5m，则222525052mn，不合题意， 所以 m 只能为 6 或 7检验可知只有6m、4n满足题意，所以大、小正方形的边长分别为6 厘米和4厘米根据相似三角形性质，:6: 43: 2BG GFAB FE，而6BGGF，得3.6BG( 厘米 ) ，所以阴影部分的面积为：163.610.82( 平方厘米 ) 【例 17】如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4，那么阴影部分的一块直角三角形的面积是多少？34OFEDCBA34OFEDCBA【解析】 连 接OB,面 积 为4的 三 角 形 占了 矩 形 面 积 的14， 所 以431OEBS,所 以:1:3OE EA, 所 以:5:8CE CA, 由 三 角 形 相 似 可 得 阴 影 部 分 面 积 为25258()88【例 18】已知长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影EHO的面积是多少厘米？HOGFEDCBAABCDEFGOH【解析】 因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么3EDAD份、2BFFGGC份，大家能在图形中找到沙漏EOD和BOG： 有3 4ED BG= ， 所以3 4ODBO， 相当于把BD分成 (34)7份，同理也可以在图。