蚂蚁爬行最短路径问题深层剖析.doc

蚂蚁爬行最短路径问题深层剖析1如图，一个长方体长、宽、高分别为 4cm, 3cm, 6cm, —只蚂蚁从A点出发 到G点处吃食物，（1） 请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径？（2） 需要爬行的最短路程是多少？H ——G【分析】做此题要把这个长方体展开，把蚂蚁所走的路线放到一个平面内，根据 两点之间线段最短运用勾股定理即可计算.但难点在于学生在分析时往往对问题 思考不够全面，在分类讨论时出现漏解或思路不够清晰所花时间较长我们不妨这样来分析；把长方体的六个面分为上面，下面，左面，右面， 前面，后面，那么经过点 A的面有三个，分别是前面，左面，下面；经过点 G 的面有三个，分别是上面，右面，后面接下来分类讨论上面右面后面上面右面后面上面 右面 后面第1种情况：我们把前面和上面组成一个平面，画出展开图 连结AG,则在Rt△ ABG中，运用勾股定理则所走的最短路程是AG = 42 9^ = 97 ;第2种情况：我们把前面和右面组成一个平面，画出展开图B3连结AG,则在Rt△ ACC中，运用勾股定理 则所走的最短路程是AG»T 62 = ... 85 ;第3种情况：如果把前面和后面组合在一起，发现它们是互相 平行的两个面，蚂蚁不可能到达，舍去；第4种情况：如果把下面和上面组合在一起，它们也是互相 平行的两个面，蚂蚁不可能到达，舍去； 第5种情况：我们把下面和右面组成一个平面，画出展开图A 4 B 6连结AG,则在Rt △ AFG中，运用勾股定理 则所走的最短路程是 AG =已02 • 32〜109;第6种情况:我们把下面和后面组成一个平面，画出展开图 连结AG,则在Rt △ ABGt，运用勾股定理则所走的最短路程是AG = 9 4 - . 97 ;画出展开图第7种情况:我们把左面和上面组成一个平面， 连结AG,则在Rt △ AFG中，运用勾股定理则所走的最短路程是AG »"02 • 32 *'109;第8种情况:如果把左面和右面组合在一起，它们也是互相 平行的两个面，蚂蚁不可能到达，舍去；第9种情况:我们把左面和后面组成一个平面，画出展开图 连结AG,则在Rt△ ACC中，运用勾股定理则所走的最短路程是AG =、、72 6^ ■ 85 ;AG = .97综上；虽然分析了 9种情况，但3种情况舍去，在剩下的6种情况中 前+上］ 后+下AG 二85AG =、109这6种情况中，虽然路径不同，但由于长方体的对称性，线段 AG的长度实际上 共有3种不同结果。

解答】解：（1）蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有 6种，如图所示;3FEH6CA 4 BHDBA 3 D 4 匕(2)蚂蚁沿着长方体表面矩形ACGE爬过时,路径li 的长是 h — 72 • 62 二■. 85蚂蚁沿着长方体表面矩形ABGH爬过时,路径12 的长丨2 二 92 42「97蚂蚁沿着长方体表面矩形AFGD爬过时,路径13 的长 13 = 10 32 = 109••• 、85 ：： .97 ：：： .109•••最短路径长为.85cm练习(佛山中考)如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙) 有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬到柜角 Ci处.(1) 请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2) 当AB=4 , BC=4 , CCi=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；【分析】根据题意，因为与墙面和地面均没有缝隙，所以经过点 A的面只有前面,经过Ci的面有上面和右面，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短，来作答【解答】解：(1)如图，木柜的表面展开图是矩形 ABC' 1D1或ACCiAl.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有 2全，如图的AC'i或AC1；(2)蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC' 1D1爬过的路径AC' 1的长是］•蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB1C1D爬过的路径 AC1的长=厂,蚂蚁沿着木柜表面 ACC 1A1爬过的路径AC 1的长是］一 .. .11 > 12,故最短路径的长是「一_ — •。