82版二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛.doc

1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛 1．选择题(本题48分，每一小题答对者得6分，答错者得0分，不答者得1分)：⑴ 如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等，那么 A．F∈{四边形} B．F∈{五边形} C．F∈{四边形}∪{五边形} D．F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}⑵ 极坐标方程ρ=所确定的曲线是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线⑶ 如果log2[log(log2)]=log3[log(log3x)]= log5[log(log5x)]=0，那么 A．zcosφ>coscosφ C．sincosφ>cosφ>cossinφ D．sincosφ0}，N={(x，y)|arctanx+arccoty=π}，那么 A．M∪N={(x，y)| |xy|=1} B．M∪N=M C．M∪N=N D．M∪N={(x，y)| |xy|=1，且x，y不同时为负数}⑻ 当a，b是两个不相等的正数时，下列三个代数式： 甲：(a+)(b+)， 乙：(+)2， 丙：(+)2 中间，值最大的一个是A．必定是甲 B．必定是乙 C．必定是丙 D．一般并不确定，而与a、b的取值有关2．(本题16分)已知四面体SABC中，∠ASB=，∠ASC=α(0<α<)，∠BSC=β(0<β<)．以SC为棱的二面角的平面角为θ．求证：θ=－arc cos(cotα∙cotβ)．3．(本题16分)已知：⑴ 半圆的直径AB长为2r；⑵ 半圆外的直线l 与BA的延长线垂直，垂足为T，|AT|=2a(2a<)；⑶ 半圆上有相异两点M、N，它们与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件 ==1．求证：|AM|+|AN|=|AB|．4．(本题20分)已知边长为4的正三角形ABC．D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且|AE|=|BF|=|CD|=1，连结AD、BE、CF，交成△RQS．点P在△RQS内及边上移动，点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z．⑴ 求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值；⑵ 求上述乘积xyz的极小值．5．(本题20分)已知圆x2+y2=r2(r为奇数)，交x轴于点A(r，0)、B(－r，0)，交y轴于C(0，－r)、D(0，r)．P(u，v)是圆周上的点，u=pm，v=qn(p、q都是质数，m、n都是正整数)，且u>v．点P在x轴和y轴上的射影分别为M、N．求证：|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为1、9、8、2．1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答 1．选择题(本题48分，每一小题答对者得6分，答错者得0分，不答者得1分)：⑴ 如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等，那么 A．F∈{四边形} B．F∈{五边形} C．F∈{四边形}∪{五边形} D．F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形} 解：由正方形及正五边形知A、B均错，由对角线相等的四边形形状不确定，知D错，选C．⑵ 极坐标方程ρ=所确定的曲线是 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解：ρ=，知e=，选C．⑶ 如果log2[log(log2)]=log3[log(log3x)]= log5[log(log5x)]=0，那么 A．zcosφ>coscosφ C．sincosφ>cosφ>cossinφ D．sincosφsinφ．由00}，N={(x，y)|arctanx+arccoty=π}，那么 A．M∪N={(x，y)| |xy|=1} B．M∪N=M C．M∪N=N D．M∪N={(x，y)| |xy|=1，且x，y不同时为负数}解：M是双曲线xy=1在第一、四象限内的两支；由arctanx=π－arccoty，x=－，xy=－1，若x<0，则arctanx∈(－，0)，而arccoty∈(0，π)，π－arccoty∈(0，π)，故x>0．即N是xy=－1在第四象限的一支．故选B．⑻ 当a，b是两个不相等的正数时，下列三个代数式： 甲：(a+)(b+)， 乙：(+)2， 丙：(+)2 中间，值最大的一个是A．必定是甲 B．必定是乙 C．必定是丙 D．一般并不确定，而与a、b的取值有关解：甲>乙，但甲、丙大小不确定．故选D．2．(本题16分)已知四面体SABC中，∠ASB=，∠ASC=α(0<α<)，∠BSC=β(0<β<)．以SC为棱的二面角的平面角为θ．求证：θ=－arc cos(cotα∙cotβ)．证明：在SC上取点D，使SD=1，在面SAC、SBC内分别作DE⊥SC，DF⊥SC，分别交SA、SB于E、F，连EF．则∠EDF为二面角A—SC—B的平面角．即∠EDF=θ．由∠BSC=β，知SF=secβ，DF=tanβ．由∠ASC=α，得SE=secα，DE=tanα．由∠ASB=，得EF2=SE2+SF2= DE2+DF2－2DE∙DFcosθ．∴ sec2α+sec2β=tan2α+tan2β－2tanαtanβcosθ．cosθ=－cotαcotβ．∴ θ=－arc(cotαcotβ)．3．(本题16分)已知：⑴ 半圆的直径AB长为2r；⑵ 半圆外的直线l 与BA的延长线垂直，垂足为T，|AT|=2a(2a<)；⑶ 半圆上有相异两点M、N，它们与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件 ==1．求证：|AM|+|AN|=|AB|．证明：以AT中点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则由已知，M、N是半圆(x－a－r)2+y2=r2(y≥0)与抛物线y2=4ax的交点．消去y得：x2+2(a－r)x+2ra+a2=0．条件2a<保证△>0，于是此方程有两个不等实根x1，x2，即为M、N的横坐标．由韦达定理，知x1+x2=－(2a－2r)．∵ |AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NQ|=x2+a．∴ |AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r．证毕．又证：作MC⊥AB，ND⊥AB，垂足为C、D．则AN2=AD∙AB，AM2=AC∙AB，∴ AN2－AM2=(AD－AC)AB=CD∙AB．∵ AN2－AM2=(AN+AM)(AN－AM)=(AN+AM)(NQ－MP)=(AN+AM)∙CD．比较得，AN+AM=AB．4．(本题20分)已知边长为4的正三角形ABC．D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且|AE|=|BF|=|CD|=1，连结AD、BE、CF，交成△RQS．点P在△RQS内及边上移动，点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z．⑴ 求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值；⑵ 求上述乘积xyz的极小值．解： 利用面积，易证：⑴ 当点P在△ABC内部及边上移动时，x+y+z为定值h=2；⑵过P作BC的平行线l，交△ABC的两边于G、H．当点P段GH上移动时，y+z为定值，从而x为定值．⑶设y∈[α，β]，m为定值．则函数u=y(m－y)在点y=α或y=β时取得极小值．于是可知，过R作AB、AC的平行线，过Q作AB、BC的平行线，过S作BC、AC的平行线，这6条平行线交得六边形STRUQV，由上证，易得只有当点P在此六点上时，xyz取得极小值．由对称性易知，xyz的值在此六点处相等．由=1，得=，x=h=h，y=h=h，z=h．∴ xyz=()3h3=．5．(本题20分)已知圆x2+y2=r2(r为奇数)，交x轴于点A(r，0)、B(－r，0)，交y轴于C(0，－r)、D(0，r)．P(u，v)是圆周上的点，u=pm，v=qn(p、q都是质数，m、n都是正整数)，且u>v．点P在x轴和y轴上的射影分别为M、N．求证：|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为1、9、8、2． 证明：p2m+q2n=r2．若p=q，则由u>v，得m>n，于是p2n(p2(m－n)+1)=r2，这是不可能的．(因p2(m－n)与p2(m－n)+1都是完全平方数，它们相差1，故必有p2(m－n)=0，矛盾)．故p≠q，于是(p，q)=1．若p、q均为奇数，则p2≡q2≡1(mod 4)，与r2≡0或1矛盾．故p、q必有一为偶数．即p、q必有一。