2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法讲义新人教A版.docx

2.2.2 反证法1．反证法是间接证明的一种基本方法．假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明命题的步骤，大体上分为：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)归谬：从假设出发，通过推理论证，得出矛盾；(3)结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等．反证法中的“反设”和“归谬”(1)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步，也是关键一步．“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件．“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明．做好“反设”应注意：①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况．(2)反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是从命题结论的题设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )答案 (1)√ (2)× (3)√2．做一做(1)已知 a≠0，证明关于 x 的方程 ax＝b 有且只有一解，适宜用________证明．(2)用反证法证明命题“a，b∈N，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 至少有一个能被 5 整除”，则假设的内容是________．x＋1则 x0<0，x0≠－1 且 ax0＝－x0－2x0＋1<1，解得  b，则 a> b”时，假设的内容是________．答案 (1)反证法 (2)a，b 都不能被 5 整除3 3(3) a≤ b探究1 用反证法证明否定性命题x－2例 1 已知 f(x)＝ax＋ (a>1)，证明方程 f(x)＝0 没有负数根．[证明] 假设 x0 是 f(x)＝0 的负数根，，由 00，即íîïa2＋2a<0，解得 a 的取值集合为：{a|－2