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9页函数总结3500字 函数总结大全(一)一次函数一、定义与定义式:自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b则此时称y是x的一次函数特别地,当b=0时,y是x的正比例函数即:y=kx (k为常数,k≠0)二、一次函数的性质:1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距三、一次函数的图像及性质:1.作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点3.k,b与函数图像所在象限:当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小当b>0时,直线必通过一、二象限;当b=0时,直线通过原点当b<0时,直线必通过三、四象限特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限四、确定一次函数的表达式:已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b所以可以列出2个方程:y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值4)最后得到一次函数的表达式五、一次函数在生活中的应用:1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数s=vt2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数设水池中原有水量Sg=S-ft六、常用公式:(不全,希望有人补充)1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/23.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/24.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)二次函数I.定义与定义表达式一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式II.二次函数的三种表达式一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B(x?,0)的抛物线] 注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形对称轴为直线x = -b/2a对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口a|越大,则抛物线的开口越小4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右5.常数项c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于(0,c)6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)V.二次函数与一元二次方程特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根函数与x轴交点的横坐标即为方程的根1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:解析式 顶点坐标 对 称 轴y=ax^2 (0,0) x=0y=a(x-h)^2 (h,0) x=hy=a(x-h)^2+k (h,k) x=hy=ax^2+bx+c (-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象; 当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象; 因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a. 顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。
因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.第二篇:函数总结 400字二、函数一、映射与函数:(1)映射的概念: (2)一一映射:(3)函数的概念:二、函数的三要素:相同函数的判断方法:①对应法则 ;②定义域 (两点必须同时具备)(1)函数解析式的求法:①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法:(2)函数定义域的求法:①含参问题的定义域要分类讨论;②对于实际问题,在求出函数解析式后;必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定3)函数值域的求法:①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如: 的形式; ②逆求法(反求法):通过反解,用 来表示 ,再由 的取值范围,通过解不等式,得出 的取值范围;常用来解,型如: ;④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想;⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: ,利用平均值不等式公式来求值域;⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域+ -全文完-。












