备战2025年高考理科数学考点一遍过考点12导数的应用.docx

专题12 导数的应用1．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.2．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.一、导数与函数的单调性一般地，在某个区间(a，b)内：（1）如果，函数f (x)在这个区间内单调递增;（2）如果，函数f (x)在这个区间内单调递减;（3）如果，函数f (x)在这个区间内是常数函数．注意：（1）利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；（2）在某个区间内，()是函数f (x)在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.（3）函数f (x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是()在(a，b)内恒成立，且在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说，在区间内的个别点处有，不影响函数f (x)在区间内的单调性.二、利用导数研究函数的极值和最值1．函数的极值一般地，对于函数y=f (x)，（1）若在点x=a处有f ′(a)=0，且在点x=a附近的左侧，右侧，则称x=a为f (x)的极小值点，叫做函数f (x)的极小值.（2）若在点x=b处有=0，且在点x=b附近的左侧，右侧，则称x=b为f (x)的极大值点，叫做函数f (x)的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.2．函数的最值函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.三、生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.导数是求函数最值问题的有力工具.解决优化问题的基本思路是：考向一 利用导数研究函数的单调性1．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤为：（1）求f ′(x)；（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；（3）作出结论，时为增函数，时为减函数．注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．2．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写.在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点.3．由函数的单调性求参数的取值范围的方法（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上(或)(在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围；（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；（3）若已知在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.典例1 若，则A． B．C． D．【答案】A【解析】①令，则，∴在上单调递增，∴当时，，即，故A正确，B错误.②令，则，令，则，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，易知C，D不正确.故选A．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.根据条件构造函数，再利用导数研究单调性，进而判断大小.典例2 已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围.【解析】由题意得：的定义域为，（1）当时，，则，当时，；当时，，的单调递增区间为：.（2）.①当时，在上恒成立，在上单调递增，可知满足题意；②当时，，当时，；当时，，在上单调递减；在上单调递增，不满足题意.综上所述：.【名师点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间、根据函数在区间内的单调性求解参数取值范围的问题，关键是能够明确导数和函数单调性之间的关系，根据导函数的符号来确定函数的单调性.1．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设，证明：对任意，.考向二 利用导数研究函数的极值和最值1．函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数极值的方法：①确定函数的定义域．②求导函数．③求方程的根．④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值．（3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围.2．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.3．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，恒成立，只需即可；恒成立，只需即可.（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.典例3 若函数有极大值和极小值，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】，则.因为有极大值和极小值，所以有两个不等的实数根.所以，即，解得或.所以所求的取值范围是.故选D.【名师点睛】本题考查函数的极值与导数.三次多项式函数有极大值和极小值的充要条件是其导函数(二次函数)有两个不等的实数根.求解时，三次函数有极大值和极小值，则有两个不等的实数根，答案易求.典例4 已知函数．（1）当时，试判断函数的单调性；（2）若，求证：函数在上的最小值小于．【解析】（1）由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递增．（2）由（1）知在上单调递增，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，令，，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于．2．已知函数，其中为实常数.（1）若是的极大值点，求的极小值；（2）若不等式对任意，恒成立，求b的最小值.考向三 （导）函数图象与单调性、极值、最值的关系1．导数与函数变化快慢的关系：如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些.2．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴的交点的横坐标为函数的极值点.典例 5 设函数（，，），若函数在处取得极值，则下列图象不可能为的图象是【答案】D【解析】，因为函数在处取得极值，所以是的一个根，整理可得，所以，对称轴为.对于A，由图可得，适合题意；对于B，由图可得，适合题意；对于C，由图可得，适合题意；对于D，由图可得，不适合题意，故选D.3．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是A． B．C． D．考向四 生活中的优化问题1．实际生活中利润最大，容积、面积最大，流量、速度最大等问题都需要利用导数来求解相应函数的最大值.若在定义域内只有一个极值点，且在极值点附近左增右减，则此时唯一的极大值就是最大值.2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等问题都需要利用导数求解相应函数的最小值.用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围．典例6 如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，∠CAB=π3，AB⊥BD，BC是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线，其中P为BC上异于B，C的一点，PQ与AB平行，设∠PAB=θ.（1）证明：观光专线的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由.【解析】（1）由题意，∠CAP=π3−θ，所以，又PQ=AB−APcosθ=1−cosθ，所以观光专线的总长度为f(θ)=π3−θ+1−cosθ =−θ−cosθ+π3+1，0<θ<π3，因为当0<θ<π3时，f'(θ)=−1+sinθ<0，所以f(θ)在(0，π3)上单调递减，即观光专线的总长度随θ的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为a(a>0)，则总成本g(θ)=a(π3−θ+2−2cosθ) =a(−θ−2cosθ+π3+2)，0<θ<π3，g'(θ)=a(−1+2sinθ)，令g'(θ)=0，得sinθ=12，因为0<θ<π3，所以θ=π6，当0<θ<π6时，g'(θ)<0；当π6<θ<π3时，g'(θ)>0.所以，当θ=π6时，g(θ)最小.答：当θ=π6时，观光专线的修建总成本最低. 4．在四面体ABCD中，若，则四面体ABCD体积的最大值是A． B．C． D．1．已知函数fx=xlnx+3，则fx的单调递减区间为A．e，+∞ B．0，eC．0，1和1，e D．−∞，1和1，e2．设函数，则A．为的极大值点 B．为的极小值点C．为的极大值点 D．为的极小值点3．已知函数与。