魏宗舒版《概率论与数理统计教程》第三版_后习题.pptx

魏宗舒版概率论与数理统计教程第三版_后习题汇报人：AA2024-01-19AAREPORTING目录概率论基本概念一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布数字特征与特征函数大数定律与中心极限定理数理统计基本概念参数估计方法假设检验方法PART 01概率论基本概念REPORTINGAA样本空间与事件所有可能结果的集合，常用大写字母S表示样本空间的子集，即某些可能结果的集合，常用大写字母A、B等表示只包含一个样本点的事件包含多个样本点的事件样本空间事件基本事件复合事件在给定条件下，某一事件发生的可能性大小，常用P(A)表示事件A的概率概率定义非负性、规范性（所有可能事件的概率之和为1）、可加性（互斥事件的概率之和等于它们并的概率）概率性质概率定义及性质在某一事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率，记作P(A|B)条件概率如果事件A的发生与否对事件B的发生概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立事件的独立性条件概率与独立性全概率公式如果事件B1、B2、.、Bn是样本空间S的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2,.,n)，则对任一事件A，有P(A)=P(Bi)P(A|Bi)贝叶斯公式在全概率公式的条件下，可以进一步求得某一原因（Bi）导致结果（A）发生的概率，即P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/P(Bj)P(A|Bj)。

全概率公式与贝叶斯公式PART 02一维随机变量及其分布REPORTINGAA随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数根据随机变量的取值特点，可以将其分为离散型随机变量和连续型随机变量两类随机变量定义及分类随机变量分类随机变量定义离散型随机变量定义01如果随机变量只取有限个或可列个值时，则称该随机变量为离散型随机变量分布律定义02对于离散型随机变量X，如果已知它取各个可能值的概率，那么就可以用一个公式来表示X取各个值的概率，这个公式叫做X的分布律或概率分布常见离散型随机变量分布03二项分布、泊松分布、几何分布等离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量定义如果随机变量的取值充满某个区间(a,b)，则称该随机变量为连续型随机变量概率密度函数定义对于连续型随机变量X，如果存在一个非负函数f(x)，使得对任意实数ab，有Pa0$，则称条件概率$PYleqy|X=x=fracPX=x,YleqyPX=x$为在$X=x$条件下，$Y$的条件分布函数同样可以定义在$Y=y$条件下，$X$的条件分布函数边缘分布与条件分布相互独立随机变量相互独立的定义设$(X,Y)$是二维随机变量，如果对于所有的$x,y$，都有$PXleqx,Yleqy=PXleqxPYleqy$，则称随机变量$X$和$Y$是相互独立的。

相互独立的性质如果$X$和$Y$是相互独立的，那么对于任何实数$a,b$，事件$Xleqa$和事件$Yleqb$也是相互独立的多维随机变量函数分布设$(X_1,X_2,ldots,X_n)$是$n$维随机变量，如果存在一个$n$元实函数$g(x_1,x_2,ldots,x_n)$，使得$Z=g(X_1,X_2,ldots,X_n)$是一个一维随机变量，则称$Z$是$(X_1,X_2,ldots,X_n)$的函数多维随机变量的函数如果$(X_1,X_2,ldots,X_n)$的联合概率密度为$f(x_1,x_2,ldots,x_n)$，且存在函数关系$Z=g(X_1,X_2,ldots,X_n)$，则可以通过多维积分的计算，求得$Z$的分布函数或者概率密度多维随机变量函数的分布PART 04数字特征与特征函数REPORTINGAAVS描述随机变量取值的“平均水平”，是概率加权下的平均值对于离散型随机变量，数学期望是所有可能取值与其对应概率的乘积之和；对于连续型随机变量，数学期望则是通过积分计算得到方差衡量随机变量取值与其数学期望的偏离程度方差越大，说明随机变量取值的离散程度越高；方差越小，则取值越趋近于数学期望。

数学期望数学期望与方差衡量两个随机变量变化趋势的相似程度如果两个随机变量同时向相反方向变化（即一个增大，另一个减小），则协方差为负值；如果两个随机变量同时向相同方向变化（即同时增大或同时减小），则协方差为正值是协方差的标准化形式，用于消除量纲影响，更准确地反映两个随机变量之间的线性相关程度相关系数的取值范围为-1,1，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示不相关协方差相关系数协方差与相关系数矩描述随机变量分布形态的特征数一阶原点矩即为数学期望，二阶中心矩即为方差高阶矩可以进一步揭示随机变量分布的偏态和峰态等特性协方差矩阵用于描述多维随机变量之间相关关系的矩阵矩阵中的每个元素表示对应两个随机变量之间的协方差协方差矩阵在多元统计分析中具有重要作用，如主成分分析、因子分析等特征函数是概率论中用于描述随机变量分布性质的一类函数主要包括特征函数、概率生成函数和矩生成函数等特征函数具有唯一性，即不同的随机变量分布对应不同的特征函数通过特征函数可以方便地求解随机变量的各阶矩以及进行分布的变换等矩、协方差矩阵和特征函数PART 05大数定律与中心极限定理REPORTINGAA大数定律是描述随机现象平均结果的稳定性的定理，即当试验次数足够多时，随机事件的频率趋于一个稳定值。

含义常见的大数定律有伯努利大数定律、辛钦大数定律和柯尔莫哥洛夫大数定律等种类大数定律在保险、金融、医学等领域有广泛应用，如用于评估风险、计算保费和确定样本量等应用大数定律中心极限定理是概率论中的重要定理，它指出当随机变量的数量足够多时，这些随机变量的和的分布将近似于正态分布含义中心极限定理包括独立同分布的中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理和林德贝格-列维中心极限定理等种类中心极限定理在统计学中有广泛应用，如用于参数估计、假设检验和置信区间的构建等同时，在自然科学、社会科学和工程领域也有许多应用实例应用中心极限定理PART 06数理统计基本概念REPORTINGAA研究对象的全体个体组成的集合，具有共同的性质和特征总体样本样本容量从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质样本中包含的个体数目，用n表示030201总体与样本样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等统计量统计量的概率分布，描述了统计量在多次抽样中的分布情况抽样分布正态分布、t分布、F分布、卡方分布等常用抽样分布统计量与抽样分布无偏性有效性一致性估计量的选取估计量评价标准和方法01020304估计量的期望值等于被估计参数的真实值。

对于同一总体参数的两个无偏估计量，方差更小的估计量更有效随着样本容量的增大，估计量的值逐渐接近被估计参数的真实值根据具体问题选择合适的估计量，如无偏估计、极大似然估计、最小二乘估计等PART 07参数估计方法REPORTINGAA最大似然估计法根据样本观测值出现的概率最大原则来估计总体参数，适用于总体分布形式已知且样本量较大的情况矩估计法用样本矩作为总体矩的估计量，适用于总体分布形式已知但参数未知的情况贝叶斯估计法基于贝叶斯定理，将参数的先验分布与样本信息结合，得到参数的后验分布，再对后验分布进行统计推断点估计方法区间估计方法通过重复抽样生成大量自助样本，然后计算每个自助样本的统计量，最后根据这些统计量的分布来估计总体参数的置信区间自助法（Bootstrap）利用样本数据构造一个区间，使得该区间包含总体参数真值的概率等于预先给定的置信水平置信区间法在给定置信水平下，构造一个区间使得总体参数落在这个区间内的概率最大容忍区间法PART 08假设检验方法REPORTINGAA假设的设立根据实际问题，提出原假设$H_0$和备择假设$H_1$，原假设通常是认为总体参数等于某个特定值，备择假设则是总体参数不等于该特定值。

根据假设检验的具体问题，选择合适的检验统计量，如z检验、t检验、F检验等根据显著性水平$alpha$和检验统计量的分布，确定拒绝域的形式和范围从总体中随机抽取样本，计算样本统计量的值将样本统计量的值与拒绝域进行比较，若样本统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设检验统计量的选择样本数据的收集和处理假设检验的决策拒绝域的确定假设检验基本原理和步骤单个正态总体均值的假设检验当总体服从正态分布$N(mu,sigma2)$时，可以构造z检验或t检验来检验总体均值$mu$是否等于某个特定值具体地，当$sigma2$已知时，使用z检验；当$sigma2$未知时，使用t检验要点一要点二单个正态总体方差的假设检验当总体服从正态分布$N(mu,sigma2)$时，可以构造$chi2$检验来检验总体方差$sigma2$是否等于某个特定值具体地，通过计算样本方差$s2$与总体方差$sigma2$的比值，构造出服从$chi2$分布的统计量，进而进行假设检验单个正态总体均值和方差假设检验两个正态总体均值的比较假设检验当两个总体分别服从正态分布$N(mu_1,sigma_12)$和$N(mu_2,sigma_22)$时，可以构造z检验或t检验来比较两个总体均值$mu_1$和$mu_2$是否有显著差异。

具体地，当$sigma_12$和$sigma_22$已知时，使用z检验；当$sigma_12$和$sigma_22$未知但相等时，使用t检验两个正态总体方差的比较假设检验当两个总体分别服从正态分布$N(mu_1,sigma_12)$和$N(mu_2,sigma_22)$时，可以构造F检验来比较两个总体方差$sigma_12$和$sigma_22$是否有显著差异具体地，通过计算两个样本方差$s_12$和$s_22$的比值，构造出服从F分布的统计量，进而进行假设检验两个正态总体均值和方差比较假设检验THANKS感谢观看AAREPORTING。