夺分宝典--高中数学必修一知识梳理和易错点分析(一).docx

高中数学必修一知识梳理和易错点分析第一章集合§ 1.1 合的概念与运算 一、知识导学1 .集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合 ^2 .元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元 ^3 .子集：如果集合 A的任意一个元素都是集合 B的元素（若a A则a B）,则称 集合A为集合B的子集，记为A B或B A;如果A B,并且A B,这时集合A称为 集合B的真子集，记为 A^B或bM A.4 .集合的相等：如果集合 A、B同时满足A B、B A,则A=B.5 .补集：设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为 S的子集A的补集，记为 CsA.6 .全集：如果集合 S包含所要研究的各个集合，这时 S可以看做一个全集，全集通常记作U.7 .交集：一般地，由所有属于集合 A且属于B的元素构成的集合，称为 A与B的交集，记作A B.8 .并集：一般地，由所有属于集合 A或者属于B的元素构成的集合，称为 A与B的并集，记作A B.9 .空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 ^10 .有限集：含有有限个元素的集合称为有限集 .11 .无限集：含有无限个元素的集合称为无限集 .12 .集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（ Venn图）.13 .常用数集的记法：自然数集记作 N,正整数集记作 N+或N* ,整数集记作Z,有理数集记作Q,实数集记作R.二、疑难知识导析1 .符号 0 , W ,=,表示集合与集合之间的关系，其中" ”包括和“=”两种情况，同样" ”包括“工”和“二”两种情况.符号， 表示元素与集合之间的关系要注意两类不同符号的区别 .2 .在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的 确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的 互异性"、无序性”.3 .在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质 ^4 .对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围.用集合表示不 等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集， 结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集， 但因为不好用文氏图形表示， 容易被忽视，如在关系式3U月 中，B= 易漏掉的情况5 .若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结 合法解之.6 .若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏 ^7 .在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、 Venn图等将有关集合直观地表示出来8 .要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用 .9 .含有n个元素的集合的所有子集个数为： 2n,所有真子集个数为：2n-1三、经典例题导讲［例1］已知集合 M={y|y =x2+ 1,x C R},N={y|y =x+ 1,xC R},贝U MA N=()A. (0, 1), (1, 2)c {y|y=1,或 y=2}错解：求MTN及解方程组B. { (0, 1), (1, 2) }D. {y|y >1］2y x 1 x 0 x 1y x 1 y 1 5 y 23 得，或 J . .选B错因：在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是实数对 (x,y)，因此M、N是数集而不是点集M、N分别表示函数 y=x2 + 1(xCR), y=x + 1(x C R)的值域，求 MCN即求两函数值域的交正解：M={y|y=x2 +1,xCR}={y|y > 1], N={y|y=x +1,xC R}={y|y £ R].••.Mn N={y|y >1} A{y|(y C R)}={y|y >1], • ・应选 D.注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分 {x|y=x2 + 1]、{y|y=x2+ 1,x C R}、{(x,y)|y=x2 + 1,x C R],这三个集合是不同的.［例 2］已知 A={x|x2 -3x+ 2=0},B={x|ax — 2=0}且 AUB=A,求实数 a 组成的集合 C.错解：由x2—3x + 2=0得x=1或2.当 x=1 时，a=2, 当 x=2 时，a=1.错因：上述解答只注意了 B为非空集合，实际上， 8=小时，仍满足A U B=A.当a=0时，B=3,符合题设，应补上，故正确答案为 C={0 ,1,2}.正解：.• AU B=A ，BUA 又人=仅区2 — 3x + 2=0}={1 , 2}.•.B=巾或 1 或 2 . c={0 ,1,2}［例 3］已知 m A,n B,且集合 A= x 1 x 2a, a Z , B= x 1 x 2a 1,a Z ,又C= x 1 x 4a 1, a Z ,则有： ( )A. m+n A B. m+n B C.m+n C D. m+n 不属于 A, B, C 中任意一个错解：: m A, /. m=2a,a Z ,同理 n=2a+1,a Z,m+n=4a+1,故选 C错因是上述解法缩小了 m+n的取值范围.正解：: m a, ••.设 m=2a1,a1 Z, 又.「n B, . . n=2a2+1,a2 Z , .•-m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2 z , /.m+n B,故选 B.［例 4］ 已知集合 A={x|x2 — 3x— 10 w 0］集合 B={x|p + 12.由 B=A 得：—2W 计 1 且 2p—1W5.由一3w pW 3.22p—1=pv2.由①、②得：p<3.点评：从以上解答应看到：解决有关 An B=g、A U B=* , A= B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.［例 5］已知集合 A={a,a + b,a+2b}, B={a,ac,ac2}.若 A=B ,求 c 的值.分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素 完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式.解：分两种情况进行讨论.(1)若 a+ b=ac 且 a+2b=ac2,消去 b 得：a+ac2—2ac=0,a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故 awoc2 — 2c+ 1=0,即c=1,但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解.(2)若 a+ b=ac2 且 a+ 2b=ac,消去 b 得：2ac2— ac— a=0,. aw Q 2c2 — c— 1=0)1即(c —1)(2c +1)=0,又 cw］,故 c=— 2.点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验1［例6］设A是实数集，满足若 aC A,则1 a A, a 1且1 A.⑴若2C A,则A中至少还有几个元素？求出这几个元素 .⑵A能否为单元素集合？请说明理由 .1⑶若aC A,证明：1— a C A.⑷求证：集合 A中至少含有三个不同的元素 .1解：⑴ 2CA — 1CA 2 C A 2C A1A A中至少还有两个元素：一1和2⑵如果A为单元素集合，则 a= 1ar 2即 a a 1=0该方程无实数解，故在实数范围内， A不可能是单元素集1" 1~ 1 a 11 -1 a” 1 a 1 a,即 1—aeA⑷由⑶知 aCA时，1 a € A,1— a e A .现在证明 a,1- a1 a三数互不相等.①若a= 1 a，即 a2-a+1=0 ,方程无解，，aw 1 a②右a=1— a ,即a2-a+1=0,方程无解，aw 1— a1 1③若 1— a = 1 a ,即 a2-a+1=0,方程无解，1— a w 1 a .综上所述，集合 A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨 ^2 2［例 7］设集合 A={ a|a=n 1,n e N+}，集合 B={ b |b=k 4k 5, k e N+}，试证：AS B. 证明：任设a e A,2 .则 a = n 1 =(n +2)2 —4(n + 2)+ 5 (ne N+),••• ne N* , n+2c N*aC B故4工B ①2 *显然，1 A a|a n 1,n N ，而由2 ,b={ b । b = k 4k 5 , k e n+}={ b |b = (k 2) 1 , k e n+}知 1 e b ,于是 awb②由①、②得A^B.点评：(1)判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系.(2)判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义.四、典型习题导练1 .集合 A={x|x2 -3x-10<0, xCZ} , B={x|2x2 -x-6>0, x C Z},贝U A n B 的非空真子 集的个数为( )A . 16 B. 14 C. 15 D. 322 .数集{1 , 2, x2—3}中的x不能取的数值的集合是( )A . {2 , -2 } B . { -2, - <5 }C. { ±2, ± 55 } D . {弋5 ， - v，5}A. PB. Q C.本4.若 P={y|y=x2,x £ R}, Q={(x ,D.不知道y)|y=x2,x 6 R},则必有()A. pn q4B. pi QC. P=QD. pM Q5 .若集合M =2}, N = { x|x w X},则 MA. {x| 11}B. {x|0 x1}C. {x| 10}D.6 .已知集合 A={x|x2+ (m+2)x+ 1=0,xC R},若 AAR+ =中，则实数m的取值范围是7 . (06高考全国II卷)设2a R ,函数 f (x) ax 2x 2a.若 f (x)0的解集为A,B x|1x 3 ,AI B,求实数a的取值范围。

8.已知集合,2A= x | x ax212b 0 和 b= x|x ax b 0 满足CI A n B=2 , a n CI b=4 , I=R,求实数a,b的值.3 .若 P={y|y=x2,x £ R}, Q={y|y=x2 + 1,x C R},贝U PA Q 等于()第二章函数概念与基本初等函数4 2.4 函数与方程 一、知识导学1 .函数的零点与方程的根的关系：一般地，对于函数y f(x) (x D)我们称方程f(x) 0的实数根x也叫做函数的零 点，即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值 .求综合方程f(x)=g(x)的根或根的个数就是求函数y f (x) g(x)的零点.2 .函数的图像与方程的根的关系：一般地，函数y f(x) (x D)的图像与x轴交点的横坐标就是f(x) 0的根.综合 方程f(x)=g(x)的根，就是求函数 y=f(x。