最小二乘法综述及举例.doc

最小二乘法综述及算例一最小二乘法的历史简介1801年，意大利天文学家朱赛普 皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星经过 40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后， 使得皮亚齐失去了谷神星的位置 随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星， 但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道 奥地利天文学家海因里希 奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星高斯使用的最小二乘法的方法发表于 1809年他的著作《天体运动论》中经过两百余年后，最小二乘法已广泛应用与科学实验和工程技术中， 随着现代电子计算机的普及与发展，这个方法更加显示出其强大的生命力二最小二乘法原理最小二乘法的基本原理是： 成对等精度测得的一组数据 Xi,yi(i 1,2,…,n),是找出一条最佳的拟合曲线，似的这条曲线上的个点的值与测量值的差的平方和在所有拟合曲线中最 小设物理量y与1个变量X1, X2,...,xi间的依赖关系式为:y f(X1,X2”..，xi；ao, , an)其中a0, a1”..，an是n +1个待定参数，记s2yi其中vi是测量值,vi是由己求得 的ao,a1,...,an以及 实验点(炉，为2,，...，刘“川 1,2,...,m)得出的 函数值y f（Xi1,xi2,...,xii；a0, a1”..，an）。

在设计实验时，为了减小误差，常进行多点测量，使方程式个数大于待定参数的个数 ， 此时构成的方程组称为矛盾方程组通过最小二乘法转化后的方程组称为正规方程组 (此时方程式的个数与待定参数的个数相等)我们可以通过正规方程组求出 a最小二乘法又称曲线拟合，所谓“拟合”即不要求所作的曲线完全通过所有的数据点 ，只要求所得的曲线能反映数据的基本趋势三曲线拟合曲线拟合的几何解释：求一条曲线，使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处1) 一元线性拟合设变量y与x成线性关系y a0a1X ,先已知m个实验点xi,vi(i 1,2,...,m)，求两个未知参数a0,a1yi a0 a1Xi ，则 a0，a1 应满足0,i0,1aismyi yii 12 myi 1n ao a1x为使s去得最小值的方程组mS cno2 、y ao a1xijao i 1mj 1snXi1 o2 ya ao ajxija1 i 1j 1ms 2an i 1yi aojnajXij Xin o1即n mmmaoxij ajyj 1 i 1i 1k 1,2,...,n4)m nmmxkaoXjXkaj xikyi 1 j 1i 1i 1sm2(yi aoa0i 1QmO2(yiaoai 1化简得c a1m1ma mXii 1mi1 ymma0 Xii 1a1i 1xiyaiXi) 0a*) 0从中解出m mXii 1 i 1mm xiyiai —L2 m m2m Xi Xii 1 i 1m ma0 m yi a1 xim i 1 ' m i 1yi(2) 多元线性拟合设变量y与n个变量XLX^…,XKn1)的内在联系是线性的，即有下式ny a。

a1 xjj 1设Xj的第i次测量值为Xij，对应的函数值为(i 1,2,..., m)，则偏差平方和将实验数据 Xij, yi代入(4)式，即得ao,a1”..,an3）多项式拟合 科学实验后得到一组数据时，常会遇到因变量 y 与自变量 x 之间根本不存性关系此可以考虑用一个n次多项式来拟合y与x之间的函数关系n对于n次多项式y aixi，令X xi（j 01,...,n），则可将其化为线性形式:i0ny a0 ajxjj1对于 i=1,2,...,m个实验点有xijxi ，代入（ 3）式有nma0j1xij aji1myi1mxika0 i1mxijxik i1k 1,2,...,najxikyi i1j1从而得出多项式的最小二乘法拟合的方程nmjkxi aii 1 i 1kxi yi k0,1,...,n写成矩阵的形式即为mmmm2nmxixi ...xiyii1i1i1a0immmmm23n1xixixi ...xia1xiyii1i1i1i1ani1mmmmmnn1n22nnxixixi ...xixi yi1i1i1i1i11a0, a1,...,an i从中可以解出（4）指数函数拟合此时拟合函数具有形式aebxa，b为待定系数）。

两端取自然对数有ln y lna bx （*）令 Y ln y b0 ln a则（ *）式化为线性形式 Y b0 bx 再利用（ 1）式和（ 2）式，即可求出 b0,b 从而有a ebo故y ebo bx四最小二乘法应用举例例:已知某铜棒的电阻与温度关系为: Rt R0 t 实验测得 7组数据（见表 1）如下:试用最小二乘法求出参量 R0、 以及确定它们的误差表1t / C19.125.130.1 36.040.045.150.1Rt /76.3077.8079.75 80.8082.3583.9085.10此例中只有两个待定的参量 Ro和，为得到它们的最佳系数， 所需要的数据有n、 备、yi、 xi2、 y2和 xiyi六个累加数，为此在没有常用的科学型计算器时， 通过列 表计算的方式来进行，这对提高计算速度将会有极大的帮助（参见表 2），并使工作有条理与不易出错其中表内双线右边的计算是为了确定 Ro和 的误差项用的表2it / C(Xi )Rt /(Yi )t X t(x2i )Rt Rt(y2i )t X R(xi Yi )R计算/i /i2 X 10-4119.176.30364.85821.71457.376.26+0.0416225.177.80630.06052.81952.877.99-0.19361330.179.75906.06360.12400.579.43+0.321024436.080.801296.06528.62908.881.13-0.331089540.082.351600.06781.53294.082.28+0.0749645.183.902034.07039.23783.983.75+0.15225750.185.102510.07242.04263.585.19-0.0981nXiYi22YiX Yi2i7245.5566.009340.84582620060.82845 X 10-4根据表2中所求得的数据，代入公式(12))则可得：,7 20060.8 245.5 566.00 1472.6k 2 0.28788 / C7 9340.8 (245.5)2 5115.35R。

566.0070.28788245.5770.76078把测量数据代入式（13）和（15）中可求出相关系数1Xi『i 一 X Yin20060.8245.5 566.007I 2 1 2 2 1 2[Xi n( Xi)][ yi n( yi)][9340.8(245.5)2] [(45826 (566；0)2)]2XiXi)20.287889340.82YiYi)2458262(245.5)7(566.00)270.99757说明：电阻Rt与温度t的线性关系良好，所以取 R0的有效数字与 R对齐，即R0 = 70.76 ;又因为t7 -11 = 31.0 C, R7 - R1 = 8.80，取k有效数字为以上两个差值中较少的位数 3位，则k = 0.288 / C由此可以得到电阻与温度的相关关系为：Rt 70.76 0.28&按补充资料中的公式计算 k和b的不确定度，可得Sy SRtSy2845 10 40-239()Sk S0.2392Xi(Xi)2n(245.5)270.239 0.03699 0.0088( / C)SbR°Sk(70.76 0.33)(0.2879 0.009)Rt 70.8 0.288t0.0088 : 93；0.8 0.33()(70.8 0.3)，/ C (0.288 0.009) / C参考文献:1.《最小二乘法与测量平差》19852.《近代最小二乘法》郭禄光，樊功瑜著测绘出版社同济大学出版社19803. 《最小二乘法的拟合及其应用》4. 《最小二乘法的创立及其思想方法》邓亮章兰州教育学院学报 2012.11贾小勇，徐传胜，白欣 西北大学学报2006.6。