数算真很关键方法83612.doc

数算真的很关键的方法数算真的很关键的方法 8361283612年龄问题解年龄问题，一般要抓住以下三条规律：（1）不论在哪一年，两个人的年龄差总是确定不变的；（2）随着时间向前（过去）或向后（将来）推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量；（3）随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变例 1】妈妈今年 43 岁，女儿今年 11 岁，几年后妈[已屏蔽，想办法跳过屏蔽将直接禁言]年龄是女儿的 3 倍？几年前妈[已屏蔽，想办法跳过屏蔽将直接禁言]年龄是女儿的 5 倍？【分析】无论在哪一年，妈妈和女儿的年龄总是相差43-11=32（岁）当妈[已屏蔽，想办法跳过屏蔽将直接禁言]年龄是女儿的 3 倍时，女儿的年龄为（43-11）÷（3-1）=16（岁）16-11=5（岁）说明那时是在 5 年后同样道理，由11-（43-11）÷（5-1）=3（年）可知，妈妈年龄是女儿的 5 倍是在 3 年前例 2】今年，父亲的年龄是女儿的 4 倍，3 年前，父亲和女儿年龄的和是 49 岁父亲、女儿今年各是多少岁？【分析】从 3 年前到今年，父亲、女儿都长了 3 岁，他们今年的年龄之和为49+3×2=55（岁）由“55 ÷（4+1） ”可算出女儿今年 11 岁，从而，父亲今年 44岁。

排列组合问题 I一、知识点：分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 种不同的方法，在第二类办法中有 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 种不同的方法 那么完成这件事共有 种不同的方法 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 种不同的方法，做第二步有 种不同的方法，……，做第 n 步有 种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的” ，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有________个.（答案：30 个）科学分类法 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生 例如：从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任取 5 台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_______种.（答案：350）插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 例如：7 人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______.(答案:3600)捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 例如：6 名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案：240）排除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取 3 个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0 中的 A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案：30）三、讲解范例：例 1 由数字１、２、３、４、５、６、７组成无重复数字的七位数 (1）求三个偶数必相邻的七位数的个数；（2）求三个偶数互不相邻的七位数的个数 解 (1)：因为三个偶数２、４、６必须相邻，所以要得到一个符合条件的七位数可以分为如下三步：第一步将１、３、５、７四个数字排好有 种不同的排法；第二步将２、４、６三个数字“捆绑”在一起有 种不同的“捆绑”方法; 第三步将第二步“捆绑”的这个整体“插入”到第一步所排的四个不同数字的五个“间隙”(包括两端的两个位置)中的其中一个位置上,有 种不同的“插入”方法 根据乘法原理共有 ＝720 种不同的排法 所以共有 720 个符合条件的七位数 解（2）：因为三个偶数２、４、６互不相邻，所以要得到符合条件的七位数可以分为如下两步：第一步将１、３、５、７四个数字排好，有 种不同的排法；第二步将２、４、６分别“插入”到第一步排的四个数字的五个“间隙” （包括两端的两个位置）中的三个位置上，有 种“插入”方法 根据乘法原理共有 ＝1440 种不同的排法 所以共有 1440 个符合条件的七位数 例２ 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，共有多少种不同的分法？解：要将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ分成三组，可以分为三类办法：（１－１－４）分法、 （１－２－３）分法、 （２－２－２）分法 下面分别计算每一类的方法数：（因为是分组，故在每一组内不是乘法，但是由于这件事情是分步完成，所以组与组之间也就是步与步之间是乘法，虽然如此，但是又因为仅仅是分组，故 1，2，3 和3，2，1 和 3，1，2 都是一组，故需要把这三步看作是一个大组，除以步内排列数才是最终分组数）第一类（１－１－４）分法，这是一类整体不等分局部等分的问题，可以采用两种解法 解法一：从六个元素中取出四个不同的元素构成一个组，余下的两个元素各作为一个组，有 种不同的分法 解法二：从六个元素中先取出一个元素作为一个组有 种选法，再从余下的五个元素中取出一个元素作为一个组有 种选法，最后余下的四个元素自然作为一个组，由于第一步和第二步各选取出一个元素分别作为一个组有先后之分，产生了重复计算，应除以 所以共有 ＝15 种不同的分组方法 第二类（１－２－３）分法，这是一类整体和局部均不等分的问题，首先从六个不同的元素中选取出一个元素作为一个组有 种不同的选法，再从余下的五个不同元素中选取出两个不同的元素作为一个组有 种不同的选法，余下的最后三个元素自然作为一个组，根据乘法原理共有 ＝60 种不同的分组方法 第三类（２－２－２）分法，这是一类整体“等分”的问题，首先从六个不同元素中选取出两个不同元素作为一个组有 种不同的取法，再从余下的四个元素中取出两个不同的元素作为一个组有 种不同的取法，最后余下的两个元素自然作为一个组 由于三组等分存在先后选取的不同的顺序，所以应除以 ，因此共有 ＝15 种不同的分组方法 根据加法原理，将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ六个元素分成三组共有：15＋60＋15＝90 种不同的方法 例３ 一排九个坐位有六个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有多少种不同的坐法？解：九个坐位六个人坐，空了三个坐位，每个空位两边都有人，等价于三个空位互不相邻，可以看做将六个人先依次坐好有 种不同的坐法，再将三个空坐位“插入”到坐好的六个人之间的五个“间隙”（不包括两端）之中的三个不同的位置上有 种不同的“插入”方法 根据乘法原理共有 ＝7200 种不同的坐法 排列组合问题 II一、相临问题--整体捆绑法 例 1．7 名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。

捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法练习：5 个男生 3 个女生排成一排,3 个女生要排在一起,有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此可以将她们看成是一个元素来解决问题.解 因为女生要排在一起,所以可以将 3 个女生看成是一个人,与 5个男生作全排列,有 A66 种排法,其中女生内部也有 A33 种排法,根据乘法原理,共有 A33*A66 种不同的排法.二、不相临问题--选空插入法 例 2． 7 名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为： 种 .插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。

练习： 学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票 12 张8 个学生，4 个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有 7个空档可插,选其中的 4 个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.三、复杂问题--总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法” ，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制例 3.(1996 年全国高考题)正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中3 个点为顶点的三角形共有 个.解：从 7 个点中取 3 个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有 3 条，所以满足条件的三角形共有 －3＝32 个.练习： 我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.解 43 人中任抽 5 人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有 1 人在内的抽法有 种.四、特殊元素--优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。

例 4． (1995 年上海高考题) 1 名老师和 4 名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有 种，而其余学生的排法有 种，所以共有 ＝72 种不同的排法.例 5． （2000 年全国高考题）乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名队员参加比赛，3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余 7 名队员选出 2 名安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有 ＝252 种.五、多元问题--分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计例 6． （2003 年北京春招）某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）A．42 B．30 C．20 D．12解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有 A62 种；2.相临：共有 A22A61 种。

故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选 A例 7． （2003 年全国高考试题）如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供。