第8章振动与波动.docx

第八章 振动与波动思考题8-1 从运动学角度看什么是简谐振动 ?从动力学角度看什么是简谐振动 ?一 个物体受到一个使它返回平衡位置的力，它是否一定作简谐振动?答：从运动学角度看，物体在平衡位置附近作来回往复运动，运动变量 (位 移、角位移等)随时间t的变化规律可以用一个正(余)弦函数来表示，则该物体的 运动就是简谐振动从动力学角度看，物体受到的合外力(合外力矩)与位移(角位移)的大小成正 比，而且方向相反，则该物体就作简谐振动根据简谐振动的定义可以看出，物体所受的合外力不仅要与位移方向相反， 而且大小应与位移大小成正比所以，一个物体受到一个使它返回平衡位置的力， 不一定作简谐振动8-2 试说明下列运动是不是简谐振动：(1) 小球在地面上作完全弹性的上下跳动；(2) 小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动；(3) 曲柄连杆机构使活塞作往复运动；(4) 小磁针在地磁的南北方向附近摆动答：简谐振动的运动学特征是：振动物体的位移(角位移)随时间按余弦或正 弦函数规律变化；动力学特征是：振动物体所受的合力(合力矩)与物体偏离平衡 位置的位移(角位移)成正比而反向；从能量角度看，物体在系统势能最小值附近 小范围的运动是简谐振动，所以：(1) 不是简谐振动，小球始终受重力，不满足上述线性回复力特征；(2) 是简谐振动，小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征；(3) 不是简谐振动．活塞所受的力与位移成非线性关系，不满上述动力学特 征；(4) 是简谐振动，小磁针只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。

8-3 下列表述是否正确，为什么?(1) 若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一 定是简谐振动；(2) 简谐振动过程是能量守恒的过程，因此，凡是能量守恒的过程就是简谐 振动答：(1)正确当该合力的方向总是指向平衡位置，并且其大小总是正比于 位移的大小时，物体所作的周期运动是简谐振动；当该合力的方向总是指向平衡 位置，但合力的大小并不仅仅正比于位移的大小时，物体所作的振动就不一定是 简谐振动，比如阻尼振动、受迫振动等2) 不正确．简谐振动是一种无阻尼的理想的可逆过程，振动过程中没有机械能 的耗散，能量是守恒的．而有阻尼的振动，总能量虽守恒，但振动的机械能并不 守恒8-4若把单摆或弹簧振子放到月球上去，它们的振动周期会发生变化吗？答：由单摆的周期T = 2"正可知，把单摆放到月球上去以后，由于其重 力加速度g发生了变化，所以单摆的振动周期就变长了而由弹簧振子的振动周 期T = 2^..'mk可知，在月球上弹簧振子的振动周期不会变，因为弹簧振子的振 动周期不涉及地球或月球的因素，只与弹簧振子本身的因素有关8-5 在振动中，为什么要用相位来表示振动物体的运动状态？ 答：在力学中，物体在某一时刻的运动状态是用位移、速度和加速度来描述 的。

在振动中，其特点是运动状态变化的周期性，对于这种运动，已知相位可以 确定位移、速度和加速度，但是，只用位移、速度和加速度这些物理量无法反映 其周期性的特征对于简谐振动，当振幅和振动频率一定时，振动物体在任一时 刻相对平衡位置的位移及其速度都由相位来决定在一个周期内，相应的相位在 0〜2兀之间，物体所经历的运动状态在各点都不相同；在下一周期则重复上述各 运动状态所以，物体经历两个相同的运动状态，必须间隔一个周期或周期 T 的整数倍时间，相应地相位间的差则为2兀或2兀的整数倍这样，用相位来既 可以决定物体的运动状态，又可以反映出这种运动的周期性特征另外，在比较两个同频率简谐振动的运动状态变化的步调时，用相位表示更 一目了然，具有明显的优越性例如，若p -P大于零或小于零，就表示振动物21体2超前振动物体1或落后于振动物体1；若p -p =0则表示两个物体的振动 是同步的因此，在振动学中，用相位来表示运2动状1 态8-6 已知物体在作简谐振动时机械能守恒，请从机械能守恒的角度出发导出 做简谐振动的弹簧振子所满足的运动微分方程设振子的质量为m，弹簧的劲度 系数为 k解：由于机械能守恒，有kx 22二常量1mu 2 +2两边同时对时间求导，得即dt(2mu 2 +1 kx2)二 02mu 竺 + kx 竺二 0 dtdt由于dudtd2 xdt 2dx二u，令-2，将这些关系带入上式，得 dt md2 xdt 28-7 一个弹簧振子振动的振幅增大到两倍时，振动的周期、频率、最大速度、 最大加速度和振动能量都将如何变化？答：若弹簧振子振动的振幅增大到原来的两倍时，振动的周期和频率不变， 最大速度和最大加速度增加二倍，振动能量增加四倍。

8-8 弹簧振子的无阻尼自由振动是简谐振动，同一弹簧振子在周期性驱动 力持续作用下的稳态受迫振动也是简谐振动，这两种简谐振动有什么不同?・ I） 2答：无阻尼自由振动（简谐振动）的振幅由A =」X2 +亠决定，振动周期由 0 ①21 0T = 2皿6决定，即A和T由系统的初始状态x、u和系统本身的固有性质决0 0 0定，其中的®是简谐振动系统的固有角频率0而弹簧振子在周期性驱动力持续作用下的稳态受迫振动的振幅由决定，由此可知，系统的振幅不再由系统的初始状态x和u决定，而依赖于振00子的性质、阻尼的大小和周期性驱动力的特征稳态受迫振动的振动频率也不决定于系统本身的固有性质，而由驱动力的频8-9 何谓拍现象，出现拍现象的条件是什么？如果参与叠加的两个振动的频 率相差很大，能否出现拍现象？两个频率都较大，但频率之差都很小的两个同方向简谐振动合成所产生的合 振动其振幅周期性变化的现象叫做拍出现拍现象要求两个分振动的角频率都较 大且非常接近，其差值很小时，即® 远小于®和®如果参与叠加的两个 振动的频率相差很大，不能出现拍现2象 1 1 28-10 当波从一种介质透入另一介质时，波长、频率、波速、振幅各量中， 哪些量会改变?哪些量不会改变?答：参照上题。

简谐波在连续介质中传播时，介质中各质点振动的频率是由 波源决定的当简谐波从一种介质透射到另一种弹性介质时，波的频率不会改变 两种介质的性质不同，简谐波在其中传播的相速不同，由u = 2可知，在两种介 质中的波长也是不同的当波从一种介质透射到另一介质时，在它们的界面，伴 随有波（能量）的反射频率一定时，波的能量正比于振幅的平方所以，透射波 的振幅小于入射波的振幅8-11 波形图和振动图有些相似，但本质是不同的，请说明它们的区别答：波形图与振动图虽在图形上相似，但却有着本质的区别前者表示某确 定时刻波线上所有质点的位移情况，而后者则表示某确定位置的一个质点，其位 移随对间变化的情况8-12在波动方程中，是否一定要假定波源在坐标原点？对于以波速u沿x 轴正方向传播的简谐波，若波源处的坐标为x，振动方程为y = Acos® t，其波 0动方程是什么样子？ 答：在波动方程中，波源不一定非要在坐标原点若设波源处的坐标为 x ，在x轴上任取一点P,其坐标为x,该处到波源的距离为x-x ,振动由波源传到 P所需时间为(x-x )u，波动方程即为 °0=Acos® (t 一x-°)该式为波源不在坐标原点时的波动方程。

8-13 两列简谐波叠加时，讨论下列各种情况：(1) 若两波的振动方向相同，初相位也相同，但频率不同，能不能发生干涉?(2) 若两波的频率相同，初相位也相同，但振动方向不同，能不能发生干涉?(3) 若两波的频率相同，振动方向也相同，但相位差不能保持恒定，能不能 发生干涉?(4) 若两波的频率相同、振动方向相同、初相位也相同，但振幅不同，能不 能发生干涉?答：两列简谐波在空间相遇时，都满足叠加原理，是否能发生干涉现象，则 需根据相干条件判断1) 两波的振动方向相同，初相位也相同，但频率不同时，介质中各质点的 合振动仍为两个分振动的合成，两波仍满足叠加原理，但叠加后的合成波在空间 不能形成稳定的加强和减弱分布，因此不会出现波的干涉现象2) 两波的频率相同，初相位也相同，但振动方向不同时，若将其中一个波 的振动按另一波的振动方向可分解为平行和垂直的两个分量，则两个平行振动的 叠加可产生波的干涉现象，但干涉条纹的可见度因存在垂直的振动分量而下降 若两波的振动方向互相垂直，则不产生干涉3) 两波的频率相同，振动方向也相同，但两波在空间相遇处的振动相位差 不能保持恒定时，对每个瞬时在相遇区域内各质点振动的叠加虽有确定的加强和 减弱的分布，但在一段可观察的时间间隔内，因各质点的振动相位差时刻在变化， 致使在两波相遇区域内各质点振动加强和减弱的分布也时刻在变化，得不到稳定 的分布，因此就观察不到稳定的加强和减弱的干涉现象。

单一频率的自然光源较 难实现干涉，原因就在于此4) 两波的频率相同、振动方向相同、初相位也相同，但振幅不同时，可以 发生干涉现象但因干涉减弱处的合振动不为零，将影响干涉条纹的可见度8-14 两列振幅相同的相干波在空间相遇时，干涉加强处的合成波的强度为 一个波的强度的 4 倍，而不是两相干波强度的和,这是否违反了能量守恒定律?答：这并不违反能量守恒定律.振幅相同的两列相干波在同一介质中传播时， 由于干涉，使得某些相遇点的振动的合振幅为原来单独一个波时的 2 倍，一些点 的振动的合振幅为零，还有更多点的合振动的振幅是介于这两个值之间而振幅 的平方代表能量，因此，从合振动的结果来看，振动的能量在干涉加强的地方集 中，不但是合振动振幅为零的点的能量，其他合振幅变小的点的能量都有向干涉 加强的点逐渐集中的趋势另外，并非所有干涉加强的点的能量都是单独一个波 时的能量的 4 倍，只有那些干涉加强最大的点才这样；其他许多点也得到加强， 但并没有加强到最大，也就不会具有那么多的能量由此可见，在干涉现象中，一些点振动的能量增加为单独的波的能量的 4倍； 一些点不振动，其能量为零；还有大量的点其振动的能量减少一些；一些点振动 的能量增加一些，形成了空间能量（波的强度）的稳定分布。

因此，干涉时能量既 不消失，也不会产生，只是总能量在空间的重新分布练习题8-1放置在水平桌面上的弹簧振子，其简谐振动的振幅A=2.0x 10-2m，周 期T = 0.5s，求起始状态为下列情况的简谐振动方程：（1） 振动物体在正方向端点；（2） 振动物体在负方向端点；（3） 振动物体在平衡位置，向负方向运动；（4） 振动物体在平衡位置，向正方向运动；（5） 振动物体在%二1.0x 10-2m处，向负方向运动；（6） 振动物体在% = -1.0 x 10 -2 m处，向正方向运动特别说明：本章各表达式中各量用数值表示时，除特别指明外，均用国际单位制单位解：设振动方程为x = Acosgt + 申） 据题意知简谐振动的振幅 A= 2.0x10-2m 、周期 T = 0.5s， 由此可算出 ® = 2ET = 4兀于是，该简谐振动的振动方程可具体表达为x = 0.02cos（4 兀 t + 申）m在起始状态：（1） 当振动物体在正方向端点时，将t = 0s、x = 0・02m带入上式得0.02 = 0.02cos 申此时，必有9 = 0于是，该状态下的振动方程为x = 0.02cos4 n t （m）（2） 当振动物体在负方向端点时，将t = 0s、x = -0.02m带入上式得-0.02 = 0.02cos9 ，此时，必有9 = n。

于是，该状态下的振动方程为x = 0.02cos（4nt +n） m（3）。