2025高考数学专项复习：常考二级结论及其应用（含答案）.pdf

2025高考数学专项常考二级结论及其应用（含答案）常考二级结论及其应用纵观中学数学教材,基本上是由题组成的（除了部分概念的介绍），而高考试题大部分都源于教材.编教材离不开题，授课离不开题，学数学离不开题，考试更离不开题.实际上高考试题大都是通过对教材例题和习题加工、改造、引申、推广而成的，不仅如此.试题的表现方式和语言表达也尽可能与教材保持一致，使考生有一种似曾相识的感觉，所以我们要仔细琢磨*把教材上的题研究到位.结合高考真题，最终我们独创了“题 型+模 型”的全新教学法，本篇将把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家,部分结论对学生的解题有很好的指导作用，同时对演算结果有精准的验证作用，以便同学们在解答高考题时做到准确、快捷.雷 结 论*r1.子集、交集、并集、补集之间的一个关系式:A I B今A n B=A m u B=B A A C =0 O C UB=/,其中/为全集.（1）当A=B时，显然成立；（2）当A基B时，V enn图如图2 T所示，结论正确.2.子集个数的问题：若一个集合A含有E N*）个元素*则集合A的子集有2 个，非空子集有2-1个.真子集有2 1个，非空真子集有2 一 2个.理解:A的子集有2”个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则n个元素共有2 种选择.该结论需要掌握并会灵活应用.御 口 设集合A=（纪，”,B=G r,y）|y=3 ,则A 口8的子集的个数是（）.v-（4 Io JA.4 B.3 C.2 D.1变式 1 已知集合4=Z|x2 3x+2=0G R）=x|O V z 0；（2）/（1）=1；（3）若久1 0,比2 0,久1+久2&1，都有/（1 1+2 2）（久2）成立.则称函数了（式）为理想函数.若函数/（./）为理想函数，假定存在.No G 。

1,使 得/（力0）G 0,1,且/（1o）=.No.求证：f（l o）=1.变 式 1 设函数了（久）=/二+4 一a（Q e R,e 为自然对数的底数）.若曲线y =sinj:上存在点（2使得=y.，则的取值范围是（）.A.l,e B.e T,l C.1,1+e D.e-e +l变 式 2 若函数3/=180（27+1）（“0 且/1）在（1,2）上为增函数，则实数Q的取值范围是重 结 论 七二次函数解析式的三种表达式.ax2+bx+c（一殳式）二 次 函 数/（了）=/7 2 A _ 7 2Q J C+（a N O,i G R）（顶点式）.I 2 a）4aa（JC 一 j?i）（JC 久 2）（双根式）二次函数的性质.（1）当 a 0 时，/（了）在（一 8,-_b_2a _上为减函数，在r,+J上为增函数,且 在X =-一处取得最小值为fT-1=4无最大值;）4（2（2）当 Q0,则 小 满 足 关 于 z 的 方 程 型=6的充要条件是().A.3 J C G R,-ax2-bx -ajc o 一 bx 0 B.3 J C G R?-ax2-bx -ax o 一 bx 0C.V 力 G R,-a x2 bx -ax o bx 0 D.V z g R,-ax2 bx -ax o bx 0变 式 1 若函数/(?)=(1 J:2)(J:2+(2 J 7+Z?)的图像关于直线 =2对称，则f(oc)的最大值是.(1)5(1)V w(i)变式2 定义m i n (x),g(i)=J 、,.若函数/(久)=久2+方式+5 的图像经过两点(g (无)()g (1)(1 1 ,0),(1 2，。

)，且存在整数m，使 得m%i/2 L m +1成立，则().A.m i n /(m),/(m +1)-,f(m+1):C.m i n /(m),f(m+1)ID.m i n /(m)9f(m+1)D:变式 3 设 ma x(%)，g()=/:，若函数/i (i )=x2+pjc+q Q p ,q G R)的图g 久)W g(1)像经过不同的两点(a,0),(f,0),且存在整数n，使 得 Q-D.m ax 7i (n),h(n+1)V -盟 结 论 八经典不等式.(1)对数形式：I n (况+1)1),当且仅当x =0时取等号；(2)指数形式：e，1+1(l 6 R),当且仅当久=0时取等号.证明：(1)令/(1)=l n(久 +1)一式(久 1),贝 4 /(1)-r 1 =-二.丁+1力+1令/(z )=0,解得 =0./(%),/(%)随式的变化如表2-1 所示.表2 1X(-1,0)0(0,+8)/()十0“支)/极大值所 以 了(久)在(一1,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减，且当久=0时，/(支)有最大值为0.即 V i 一 l,l n(久 +1)-x(/1(0)=0,所以 l n(j c +1)一 1)恒成立，当且仅当 x=0 时取等号.(2)令 g(z)=e“x-1(力 G R),则 g (z)=e 1.令/(l)=0,解得 =0.g (z),g(z)随 z的变化如表2-2 所示.表2-2(0 0,0)0(0,+8)g S0+g(x)极小值所 以 g(z)在(一 8,0)上为减函数，在(0,十8)上为增函数，且 当X=0时 g (久)有最小值为0.即 V x G R,e*x-1 g(0)=0.所以e*x+1(久 G R)恒成立，当且仅当x=0时取等号.高 考 教 学-、临门一脚(含密押三套卷)(理科版)国已知函数阿)&上)-,则的图像大致为().D.变 式1 已 知 函 数/()=,Z G R.求 证：曲 线y =f(x)与曲线)+1 +1有唯一公共点.变 式2 设 函 数/(z)=l 求 证：当x 一 1时 (%)支 十1E0结 论 九函数的对称性：已知函数/(J T )是 定 义 在R上的函数.(1)若/(Q+Z)=/(。

一%)恒成立，则y=f(i)的图像关于直线 轴对称，特 别 地，若/(Q+Z)=/(QZ)恒 成 立，则y =f(x)的图像关于直线=a轴对称.(2)若/(0 +式)+/(6 k)=c,则y)的 图 像 关 于 点 中 心 对 称，特 别 地，若/(a+久)+/(a 久)=2恒成立，则y =fx)的图像关于点(a,6 )中心对称.例1 0)已 知 函 数/(1)图2-2).常考二级结论及其应用高 考 教 学变 式 1 已知函数V=g（1）的 图 像 由）=sin2式的图像向右平移？（0 中兀）个单位得到，这两个函数的部分图像如图2-3所示，则c p =.Jr 7 T变 式 2 设函数/（i ）=A sin（3久+中）（A,3是 常 数,A 0,30）.若/（久）在 区 间 上具有 单 调 性,且/用=/0=W,则 巾）的 最 小 正 周 期 为.霞 结 论 十三点共线结论：设平面上O,A,B三点不共线，则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数义与月，使得O A+，且/+幺=1.特别地，当P为线段A B的中点时，方 =而+j O B.证明：先证必要性.如图2-4所示.因为P,A,B三点共线，所 以 蠢 翁,即 存 在t E R，使 得 点=e族 ，故 存 一 加=1（苏 一 示），所 以 中=市+，适 一/市=（1-1）市 十 力 笳.设 1-t=/，t=么，则 O P =A O A +fi OB，且/+产=1.再证充分性.若5?=入 而 十 诊，且久+幺=1,则。

2）5声=义 加 十 O B,即/而 一义 质=而 一 法，也即 A P=f t丽.所 以/呢，故A,P,B三点共线.综上所述，P,A,B三点共线的充要条件是存在实数义与么，使 得 标=入 市+幺 话，且;I=1.A1sLo图2-4彳列n）在 A A B C中，魂 =c,G =b.若点D满 足 就 =2皮，则 彷 =（）.变 式 1 若在直线/上存在不同的三点A,B,C,使得关于实数了的方程-0彳+了河+4=0 有解（点不在直线上），则此方程的解集为（）.A.0B.-1,01+4 1-/s-，2C.-1变 式 2 已知两个单位向量a,6的夹角为60,0=伍+（1 的6,若0,则方=高 考 教 学-临门一脚（含密押三套卷）（理科版）结 论 十ir胡良善式证辞前 羽=（丽十丽）而+甫）=（胪4书）（丽=犷-犷Z7T-7 71.若向量小 该不共线，且点P为线段A B的中点，则 而 质=OP2-JA2=O P 2-P B 2=I OP|2A B22.在矩形A B C D所在平面内，向量|OA|2+|O C|2=|O B|2+|O D|气点O为平面内一点）.证明：1.如图2-5所示，在 O A B中，因为点P为线段A B的中点，所 以 前 十 前=0,故 由 OB=（OP+R A）（OP+F B）=（QP+F A）（O F-F A）=|OF|2-1 FA|2=|OF|2-1 FB|2=I O P 2A B2.如图2-6所示，设矩形A B C D的对角线A C与B D的交点为点P ,则 点P为A C和B D的中点.因 为 由+比=2方,而 一 反=示，则（/+反）2 +（充 一 工）2 =4|OP|2+|CA 2,即 2（1 5X 2+1 O C 2）=4 I O P 2+1 C A 产，所以 I O A I2+OC|2=2|O P|2+1 1.同理，|布 GD|2=2|OP|2+*.又 AC|=|ED|,所 以|示 十|反=|+|说|2.图2-5图2-6（例12）在/XABC中，点M是B C的中点,A M=3,BC=1 0,则瓦再 AC=.变 式1 在ZkABC中，设点Po是A B边上一定点，满足FoB=：AB,且对于A B边上任一点P,恒有FB-FC F7B-FTC.MC）.A.ZABC=90 B.ZBAC=90 C.AB=AC D.AC=BC变式2 点P是棱长为1的正方体ABCD-AIBICIDI的底面4&。

为 上一点，则 前 前 的 取 值范围是（）.A.1,B.f C.-1,0 D.（0变 式3 已知圆河：了2+6 1）2=1,圆N：/+（y+i）z=1,直线A，/z分别过圆心M,N,且Z1与圆y2 工？M相 交 于 两 点 小 与 圆N相交于C,D两点，点P是 椭 圆?+至=1上的任意一动点，则PA-J B +P C 的最小值为.眄 回 在 平 面 上，宙，祝，I函|=1血|=1,谶=而+若I和I 9,则1市|的 取 值范围是（）.AJ C.g，H D.常考二级结论及其应用高 考 教 学I pA 12-1-1 PR 12变 式 1 在RtZsABC中，点是 斜 边 的 中 点，点P为线段CD的中点，则J匕*L=().IIA.2 B.4 C.5 D.10重 结 论 十 二若数歹 4 2,7?GN*)O(2+i an=d (n G N*)=2Q+I=an-an+2对 任 意/G N*恒成立O 通项公式为常数，G N*)为 一 次 型 前 项和公式S =A n2+B n(A,B为常数，6 N*)为二次型 数 列 也 为 等 差 数 列.已知争差数列 ，其公差为前n项和为S”，求证：上 也为等差数列.证明：由通项公式an=di+(72 V)d 知，其前 n 项和为 Sn=一 =nai +(2一 。

4%2 +(Q 一n(n G N*),所 以&=n+1 4 N I N J n Z N当 k)2 时，-S ：=(n 1)+f(2i 式 一式 得，且=2,/?e N*).所以数列(之)是以为首项，4为公差的r i n-1 2 n)1 2等差数列.例 可 已知等差数列%的前力项和为s“，且 满 足 等 一5=1,则数列 七 的公差是().A4B.1C.2D.3变 式 1 已知等差数列 明,的前项和为S“，且Si1 0 0,S.=1 0,则S110=/利用通及公式证明学差数列有心n d十8血画 生;令+左 ftn十&=双 十(四 十n-N)d g=勃+2(t-l)o(=四 十(.比On=当 m+n=已知等差数列 a 的前项和为S”，等比数列的 前 。