中考数学一轮复习考点题型归纳与分层训练专题20 勾股定理(含解析).doc

专题20 勾股定理 【专题目录】技巧1：判定直角的四种方法技巧2：巧用勾股定理解折叠问题技巧3：巧用勾股定理求最短路径的长【题型】一、勾股定理理解三角形【题型】二、勾股定理与网格问题【题型】三、解直角三角形在实际中的应用【题型】四、利用勾股定理证明线段的平方关系【题型】五、求梯子滑落高度【题型】六、求旗杆高度【题型】七、求蚂蚁爬行距离【题型】八、求大树折断前的高度【题型】九、求台阶上的地毯长度【题型】十、利用勾股定理选址使到两地距离相等【考纲要求】1、了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定．2、掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题.【考点总结】一、直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理直角三角形性质①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;③直角三角形中,斜边上的 中线长等于斜边长的一半.勾股定理概念直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么变式：1）a²=c²- b²2）b²=c²- a²适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。

勾股定理的证明方法一：，，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　大正方形面积为所以方法三：，，化简得证勾股数勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数常见的勾股数：如；；；等扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：1）（为正整数）；2）（为正整数）3）（，为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数技巧归纳】技巧1：判定直角的四种方法【类型】一、利用三边的数量关系说明直角1．如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的长．【类型】二、利用转化为三角形法构造直角三角形2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝，CD＝5，AD＝4，求S四边形ABCD.【类型】三、利用倍长中线法构造直角三角形3．如图，在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求证：AB⊥AD.【类型】四、利用“三线合一”法构造直角三角形4．如图①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN.(1)求证：CM＋CN＝BD；(2)如图②，若M，N分别在AC，CB的延长线上，探究CM，CN，BD之间的数量关系．参考答案1．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2，∴△ABD为直角三角形，且∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，∴CD＝＝＝15.2．解：连接AC.在Rt△ACB中，AB2＋BC2＝AC2，∴AC＝3，∴AC2＋AD2＝CD2.∴△ACD为直角三角形，且∠CAD＝90°，∴S四边形ABCD＝×2×＋×3×4＝6＋.3．证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，BE.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.又∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝13.在△ABE中，AE＝2AD＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2，∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AD.点拨：本题运用倍长中线法构造全等三角形证明线段相等，再利用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，从而说明两条线段垂直．4．(1)证明：如图①，连接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD＝45°，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，∴CM＝BN.∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC.在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，CD＝BD，∴BC＝BD.∴CM＋CN＝BD.(2)解：CN－CM＝BD，如图②，连接CD，证法同(1)．技巧2：巧用勾股定理解折叠问题【类型】一、巧用全等法求折叠中线段的长1．如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为(　　)　A. cm B．2 cm ]C．2 cm D．3 cm【类型】二、巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．【类型】三、巧用方程思想求折叠中线段的长3．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．【类型】四、巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．参考答案1．A2．解：由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3.∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5.∴DE＝5.∴S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.解题策略：解决此题的关键是证得ED＝EB，然后在Rt△ABE中，由BE2＝AB2＋AE2，利用勾股定理列出方程即可求解．3．(1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°.∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x，∵E为CD的中点，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.4．(1)证明：由题意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD是长方形，故AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF＝EC＝CF.(2)解：由题意知，AE＝EC＝a，ED＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.技巧3：巧用勾股定理求最短路径的长【类型】一、构造直角三角形法求平面中最短问题1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据：≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)【类型】二、用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬(　　)A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．【类型】三、用对称法求平面中最短问题5．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN＋MN的最小值．6.高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．【类型】四、用展开法求立体图形中最短问题题型1：圆柱中的最短问题7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．题型2：圆锥中的最短问题8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．题型3：正方体中的最短问题9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．题型4：长方体中的最短问题10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．参考答案1．42．解：(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在Rt△CBE中，∵BC＝20 km，∴BE＝10 km.由勾股定理可得CE＝10 km.在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝8 100＋300＝8 400，∴AC＝20≈20×4.6＝92(km)．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车所需时间为＝1(h)，乘“武黄城际列车”所需时间约为＋＝1(h)．∵1>1，∴选择乘“武黄城际列车”．3．C　点拨：将台阶面展开，连接AB，如图，线段AB即为壁虎所爬的最短路线．因为BC＝30×3＋10。