机械传动系统数学模型.ppt

机械系统设计（4学时） §2.1机械传动系统数学模型 §2.2传动机构 §2.3导向机构 本章要求掌握机电系统建模方法，机电系统对机械机构的要求§2.1机械传动系统数学模型在机电一体化系统的分析中，质量，弹簧，及阻尼这三个理想的机械元件代表了机械系统各组成部分的本质另外，机械系统中的负载，驱动力，间隙，死区等因素也直接影响机械系统的性能2.1 机械系统建模中基本物理量的描述,一、质量和惯量的转化质量m：指储有直线运动动能的部件属性力—质量系统,,,转动惯量J：表示具有转动动能的部件属性 转动惯量取决于部件相对转动轴的几何位置和部件的密度质量和惯量转化的原则： 转化前后系统瞬时动能保持不变即：,转动元件的瞬时动能为：,移动元件的瞬时动能为：,式中 m化——转化质量(等效质量)；J化 ——转化惯量(等效转动惯量)机床传动机构示意图 1 、2、3、4—齿轮 5—丝杠 6—工作台,等效质量,已知齿轮1 、2、3、4及丝杠5和工作台6，其转动惯量J1，J2， J3， J4 ，J5，工作台6的质量为m6，各齿轮的齿数为Z1，Z2，Z3，Z4，丝杠5螺距为12mm，求工作台6的转化质量。

机床传动机构示意图 1 、2、3、4—齿轮 5—丝杠 6—工作台,二、弹性系数的转化轴向弹性系数k表示位移弹簧的位能力—弹簧系统,扭力弹簧系数或扭转刚度系数k 表示旋转弹簧的位能转矩—扭力弹簧系统,弹性系数的转化旋转传动系统弹性系数的转化：,式中 k化——转化弹性系数；kj——各构件的弹性系数；ij——各构件到被研究元件间的传动比此式是对旋转传动系统而言的，如果是移动系统则需要变换移动系统弹性系数的转化： 串联弹簧的等效数学表达式为：,并联弹簧的等效其数学表达式为：,三、阻尼系数的转化机械系统在工作过程中，相互运动的元件间存在着阻力，并以不同的形式表现出来如摩擦阻力、流体的阻力以及负载阻力这些在建立物理模型时都需要进行转化，转化为与速度有关的粘滞阻尼力一)直线运动的摩擦,1．静摩擦2．动摩擦3．粘滞摩擦,(二)旋转运动的摩擦直线运动的三种摩擦均适用于转动三)阻力系统转化为当量粘滞阻尼系数上边讲的系统中存在的阻力性质是不相同的，但系统在运行过程中都要消耗能量是共同的在数学模型的建立中，只有与构件运动速度成正比的阻力才是可行的所以，利用摩擦阻力与粘滞阻力所消耗的功相等这一基本原则来求取转化粘滞阻尼系数。

基 本 要 求 ● 正确建立控制元部件和系统的微分方程● 了解非线性微分方程的线性化方法 ● 掌握传递函数的定义及其求解方法● 熟悉典型环节及其传递函数 ● 掌握系统动态方框图的建立方法● 掌握动态方框图的简化和梅逊公式 ● 掌握反馈系统的开环和闭环传递函数,机电系统的动态数学模型,,§2-1 微分方程及其线性近似,一、列写微分方程的一般步骤：,(1)要先明确输入和输出变量；,(2)利用对系统的分析，找出各元部件之间的动态联系: 微分方程组；,(3)消去中间变量，得到输入、输出变量间的微分方程；,由牛顿第二定律得：,二阶线性定常非齐次微分方程！,,拉普拉斯变换及反变换,一、拉氏变换的定义：,(1)当 t 0时， x(t)在每个有限区间上分段连续；,对于函数 x(t)，如果满足下列条件：,二、典型函数的拉氏变换,2、单位斜坡函数: t·1(t),二、典型函数的拉氏变换,δ(t)[在a→0时],4、指数函数: e-at 1(t),3、单位脉冲函数: δ(t),,三、拉氏变换的基本性质和定理,1、线性性质：,t,三、拉氏变换的基本性质和定理,2、微分性质：,若系统处于零初始条件下：则有,三、拉氏变换的基本性质和定理,[例]：在零初始条件下求输出的拉氏变换。

解：对上方程在零初始条件下求拉氏变换得：,利用拉氏反变换便可得到输出的原函数三、拉氏变换的基本性质和定理,3、积分性质（在零初始条件下）：,4、延时定理：,[例]：,三、拉氏变换的基本性质和定理,5、终值定理：,[证明],四、拉氏反变换,采用部分分式展开法求拉氏反变换：,1、只含不同单极点的,式中：,四、拉氏反变换,,四、拉氏反变换,[例2],解：,解：,,四、拉氏反变换,通过配方化成正弦、余弦象函数的形式再求反变换,2、含共轭复数极点的情况：,四、拉氏反变换,2、含共轭复数极点的情况：,[例],四、拉氏反变换,3、含重极点的情况：,,四、拉氏反变换,[例1],3、含重极点的情况：,四、拉氏反变换,四、拉氏反变换,[例2],3、含重极点的情况：,§2-3 传递函数,线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比一、传递函数的定义,即系统的传递函数为：,若线性定常系统的微分方程一般形式为：,一、传递函数的定义,式中：c(t)为系统的输出量，r(t)为系统的输入量；m≤ n； a0、a1、… an 及b0、b1、… 、bm 均为实数, 其数值由系统的结构及参数决定假设c(t)、r(t)及其各阶导数的初始值均为零，对微分方程进行拉氏变换得：,一、传递函数的定义,若线性定常系统的微分方程一般形式为：,即为系统的传递函数。

控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式亦：描述能系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）,建立系统数学模型的方法主要有两类：机理建模 白箱实验建模（数据建模）黑箱或灰箱,微分方程 传递函数 系统方框图传递函数是系统数学模型的又一种形式，也是一种表示输入输出的模型形式 它表示了系统本身的特性而与输入信号无关它仅能表示输入输出关系，而无法表示出系统的内部结构一、传递函数的定义,在初始值u2(0)=0时，上述微分方程的拉氏变换为：,经整理得RC 网络的传递函数为：,,一、传递函数的定义,定义式法,二、典型环节及其传递函数,系统的传递函数为：,⑴ 比例(或放大)环节：G(s)=K,⑵ (理想)积分环节：G(s)=1/s,⑶ (理想)微分环节：G(s)= s,⑷ (一阶)惯性环节：G(s)= 1/ (T s+ 1),⑸ 一阶微分环节： G(s)= τs + 1,⑹ (二阶)振荡环节：G(s)= 1/ (T2 s2 +2ξTs +1),⑺ 二阶微分环节： G(s)= τ2 s2 + 2ζτs + 1,二、典型环节及其传递函数,①电阻、电感、电容元件：,二、典型环节及其传递函数,①电阻、电感、电容元件：,二、典型环节及其传递函数,①电阻、电感、电容元件：,,,,二、典型环节及其传递函数,② 无源电子网络之一 —— RC无源滤波网络：,,,,,S域模型法,二、典型环节及其传递函数,,③ 无源电子网络之二：,二、典型环节及其传递函数,③ 无源电子网络之二：,,,二、典型环节及其传递函数,③ 无源电子网络之二：,二、典型环节及其传递函数,u0,,S域模型法,二、典型环节及其传递函数,⑤ 永磁式直流测速机：,,,二、典型环节及其传递函数,拉氏变换后得：,同一元部件可有不同的传递函数！,电动势才与输出电压相等，于是有,二、典型环节及其传递函数,⑤ 永磁式直流测速机：,由电机电枢回路的电压方程得:,注意负载效应问题,,二、典型环节及其传递函数,⑤ 永磁式直流测速机：,⑥ 机械转动系统：,根据牛顿定律可得：,,,二、典型环节及其传递函数,经拉氏变换得角速度的传递函数：,则减速器转矩的传递函数为,（减速比： ）,⑦ 减速器：,二、典型环节及其传递函数,轴Ⅰ：,轴Ⅱ：,轴Ⅲ：,且在不考虑功率损耗时有:,二、典型环节及其传递函数,,二、典型环节及其传递函数,⑨弹簧、阻尼器、质量（等效弹性刚度）：,f(t)=kx(t),F(s)=kX(s),F(s)/X(s) = k,F(s)=DsX(s),F(s)/X(s) =Ds,F(s)=Ms2X(s),F(s)/X(s) =Ms2,二、典型环节及其传递函数,F(s)=kX(s)+DsX(s),F(s)/X(s) =k+Ds,f(t)=k[x(t)- x1(t)],并联的弹性刚度等于各弹性刚度之和,F(s)/X(s) = kDs /(k+Ds),串联弹性刚度等于各弹性刚度的倒数之和的倒数,⑨弹簧、阻尼器、质量（等效弹性刚度）：,,二、典型环节及其传递函数,二、典型环节及其传递函数,三、对传递函数的七点说明,1、传递函数只适用于线性系统，而不适用于非线性系统。

因为传递函数是在拉氏变换的基础上导出的，而拉氏变换是一种线性积分变换，只适用于线性微分方程，非线性系统不能用线性微分方程来描述，也就不能用传递函数表示2、传递函数中的各项系数与微分方程中的各项系数对应相等，完全由系统的内部结构、参数决定，而与输入量的大小和形式无关，故传递函数与微分方程一样，均可作为系统的动态数学模型3、传递函数的结构形式及参数虽然相同，但输入、输出的物理量不同，则代表的物理意义不同从另一方面说，两个完全不同的系统（例如一个是机械系统，一个是电子系统），只要它们的控制性能一样，就可以有完全相同的传递函数这就是在实验室做模拟实验的理论基础4、一个传递函数 [G(s)=C(s) / R(s)] 只能表示一个输入量对一个输出量的关系，对同一部件可有不同的传递函数至于信号传递通道中的中间变量，用一个传递函数无法全面反映三、对传递函数的七点说明,5、传递函数只表明线性系统的零状态响应特性，它是由系统工作状态相对静止时得出的这时可认为，对于相对给定的平衡点，系统输出量和输入量的初始值均为零，这才符合传递函数的定义6、传递函数分子多项式的阶次总是低于至多等于分母多项式的阶次，即 m≤n 。

这是因为实际物理系统或元件中总是含有较多的惯性元件，以及能源又是有限的缘故传递函数分母中S 的最高阶次等于输出量导数的最高阶次如果S 的最高阶次为n ，则系统称为n 阶系统三、对传递函数的七点说明,三、对传递函数的七点说明,,§2-4 系统方框图,一、系统方框图,方框图模型是控制系统的又一种数学模型特点：具有图示模型的直观，能表明系统个元件的功能及信号的流向 方框图具有数学性质，可以进行代数运算和等效变换，是计算系统传递函数的有力工具，应用非常普遍 系统方框图与原理图是不一致的！,,§2-4 系统方框图,一、系统方框图组成,信号线：表示信号传递通路与方向 方框：表示对信号进行的数学变换方框中写入元件或系统的传递函数 比较点：对两个以上的信号进行加减运算引出点：表示信号引出或测量的位置同一位置引出的信号数值和性质完全相同系统方框图表示符号的“三要素”,二、系统方框图的绘制,绘制系统方框图的步骤,解：,,二、系统方框图的绘制,二、系统方框图的绘制,[例2]：试建立图示汽车简化力学模型的方框图F1,K1+Ds,二、系统方框图的绘制,这里主要介绍利用 S 域模型建立电子网络方框图的方法,U,二、系统方框图的绘制,[例4]：试建立图示电子网络的方框图(或结构图)。

二、系统方框图的绘制,,,二、系统方框图的绘制,一、系统方框图的等效变换法则,1）各前向通路的传函保持不变， 2）各回路的传函保持不变一、系统方框图的等效变换法则,一、系统方框图的等效变换法则,前向通道的传函 G(s) 反馈通道的传函 H(s) 开环传函 G(s) H(s 闭环传函 (s),一、系统方框图的等效变换法则,一、系统方框图的等效变换法则,二、由系统方框图求系统传递函数的方法：,1、利用方框图的等效变换求系统传递函数,(Cs+1/R1),1、利用方框图的等效变换求系统传递函数,注意:分支点与相加点尽量避免相互跨越!,1、利用方框图的等效变换求系统传递函数,[例3] 教材P69的例2-6,2、利用梅逊公式求系统传递函数,信号流图的基本性质： ①节点标志系统的变量， 节点标志的变量是所有流 向该节点信号的代数和； ②信号在支路上沿箭头单向传递；,。