人教A版高中数学选择性必修第一册重点训练：椭圆离心率题型总结分类.pdf

9.椭圆离心率题型1|入：L i-卒、dtlj.12.利用椭圆第一定义求离心率.33.焦点三角形与余弦定理.44.顶角直角三角形型.75.焦半径与第二定义.106.第三定义与中点弦.127.焦点三角形：双底角型.148.焦点三角形：双余弦定理型.179.焦点弦与定比分点.2010.焦点圆.2311.椭圆与圆.251.离心率基础【典例分析】如 果 椭 圆 工+二=1(1-8)的离心率为e=1,贝心=()人+8 9 25 4 4A.4 B.4 或-7 C.-D.4 或-二4 5 5【答案】B【分析】分焦点在x 轴和在y 轴两种情况，分别得到a乃的表达式，进而求得c 的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可.r2 v2 1【详解】解：因为椭圆一+匕=1 a -8)的离心率为e=7,A +8 9 2当无+8 9 时，椭圆焦点在x 轴上，可得:=-Jk+2,b=3,c=4a1-b2=1yk+82解得k=4,当0v&+8V9 时，椭圆焦点在轴上，可得:a=3,b=-Jk+8,c-y/a2 h2=yj k,e =,解得=一 -.a 3 2 4Z=4 或火=-2.故选：B.4【变式训练】1.已知桶圆=1(0)的离心率e=半,则，”的值为.【答案】g 或 3【分析】分别对焦点在*轴和)轴讨论，结合离心率求解，即可.r2 V2【详解】已知椭圆方程为二+乙=1(%0且机工5).当焦点在x 轴上，即0?5 时，有V5 5a=m,b=5/5贝 而 二？，依题意 有 年=叵 解 得?=学，即加的值为3 或今Jm 5 3 32 22.方程 一+上=1表示的曲线是椭圆，则 离 心 率 的 取 值 范 围 是.in-3 团4【答案】(0,1);【分析】根据椭圆的标准方程求解.m-4 0【详解】由题意)且初一3w/n-4,解得加 4,所以m3m-4,故焦点在x 轴上。

w-3 0 a?=m-3,/?2=m-4c2=a2-b2=1,e=/3(0,1)2 23.在平面直角坐标系xOy中，若椭圆氏+/=1(匕 0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是.【答案】显2【分析】由题易得6=2一从计算即可.【详解】由己知，h=c,所以a =E=6c，故离心率为e=虫.a 2故答案为：立.22.利用椭圆第一定义求离心率【典例分析】已知FK分 别 是 椭 圆 提+卷=1(a 0)的左、右焦点，尸为椭圆上一点，且若归用=G|p 用，则椭圆的离心率为()A.指 一 6 B.2-百 c.V3-1 D.且2【答案】C【分析】利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率.【详解】设|P 闾=加，则|尸用=6机，由椭圆定义知：(6+l)m =2 a；尸 耳 _ L P K，.附+忱用 2=忻用2,g|j 4 m2=4C2(.M=C,.(百+l)c=2 a,.椭圆的离心率 =5=高=百 _1.故选：C.【变式训练】2 21.已知椭圆C:三+营=l(a b 0)的左、右焦点分别为6,K，P为椭圆c 上一点，且7FN-PK=,若耳关于/耳与 平分线的对称点在椭圆。

上，则该椭圆的离心率为【答案】乎【详解】因为久关于/尸建居的对称点Q在椭圆上,则P f；=P Q,；/片尸6(),.A P Q 为正三角形，.6 Q =6P，又：FiQ +FQ =F f+F2 P =2 a,;.F2Q=F2P,所以PQLx轴，设 工=则 P 耳=2/，6E=Qf,即2 c=gt 2 c _ c V Jn=e =-,口 义.不 为.2 a =3 t 2 a a 3 t 3 32.已知椭圆C的左、右焦点分别为耳，的，直线A B 过耳与该椭圆交于A,B两 点,当尸“8为正三角形时，该椭圆的离心率为（）A.立 B.立 C.D.4 3 3 2【答案】B【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】设正三角形RA B的边长为加，2 2设椭圆的标准方程为：+4=1（8 0）,设左、右焦点分别为邛-0），玛（c,0）,a b 设3 耳=工，则有4 耳=加一工，由椭圆的定义可知：B Fi+B F2=2 a=x+m =2 a f r r在，中，由余弦定理可知：F =B F；+B F-2 B Ft-B F2cos-,A4 c-2 =4,H-1-6 a 2 -2c -2-。

4-1 =矿=3 c.2 =e =C=y/3 故r i 选、上：BD9 9 3 3 2 a 32 23.已知椭圆C：=+=1 （a b 0）的左、右焦点分别为B,尸 2,点尸为C上一点，若线a h段 尸石的中点在y 轴上，且 N P E K=3 0则椭圆C的离心率为（）A.-B.3 C.1 D.叵6 （）3 3【答案】D【分析】由线段的中点在y 轴上，得 尸用上 轴，由通径长得|P 闻，由直角三角形得仍同，然后由椭圆定义得力,关系，转化可得离心率.【详解】由 已 知 可 得 轴，附|=与，又 和=3 0 ,则 附|=2 飓=手，2 a =P F+P F ,:.3 b2=2 a2,e =Jl 与=立.故选：D.a a a 33.焦点三角形与余弦定理【典例分析】2 2己知尸是椭圆5+3 =l（a b 0）的一个焦点，若直线y =H 与椭圆相交于A,8 两点，且a2 b，Z AF B =6 0,则椭圆离心率的取值范围是（）A.（弓,1）B.（0,奉 C.（0,1）D.（；，1）【答案】A【分析】将 A，8 与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.【详解】如图设耳尸分别为椭圆的左、右焦点，设直线卜=区与椭圆相交于4,8,连接AF1,AF,BFt,B F.根据椭圆的对称性可得：四 边 形 为 平 行 四 边 形.由椭圆的定义有：|A周+|AF|=2 a,|即|=2 c,4；A F =1 2 0。

由余弦定理有：目2_2|AK HAF|c os l2 0即4 c 2=（同+|何 2 一 的.阴 邓 用+阴）2 一（同；1凹 所以 4 c 2 训 A 用+1 AF|f J 包 出 竺 1 =4a2-a2=3/当且仅当时取等号，又、=丘 的斜率存在，故4 3不可能在y 轴上.所以等号不能成立，即即 3,所以l e 走 故选:a2 4 2【变式训练】2 21.已知产是椭圆E：+=l（a 6 0）的左焦点，经过原点的直线/与椭圆E交于尸，Q两点，若仍?|=3 依 尸 且 N P f Q =1 2 0则椭圆E的离心率为（）A.B.；C.立 D.立42 4 2【答案】A【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得和c 的关系，即可求得椭圆的离心率.【详解】解：设椭圆的右焦点F ，连接P F ,Q F,根据椭圆对称性可知四边形P bQ为平行四边形，则|Q F|=|P F|，且由 N P F Q =1 2 0可得/尸尸尸=6 01a所 以 曰+|P F l=4|P k|=2a,贝i J|P F =：a,|P F|=j a由余弦定理可得2/耳尸片=兀，则 该 椭 圆 离 心 率 的 取 值 范 围 是.【答案】p g,l）【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理得到耳小入尸=4从，再由基本不等式得到4 6 4 a,转化为关于离心率的不等式，求出取值范围.【详解】由椭圆的定义可知：P Ft+P F2=2 a,在居中，由余弦定理得：cn，ppF_ F +F -F _ P+F2P -2 FxPF2P-F _ -2F,PF2P_ 12 FP F2 P 2 F1 P F2 P 2 FP F?P 2所以P用P =4/,又耳p.匿尸4（6P；.尸）=4,即劭202,当且仅当K尸=P时等号成立，故4/-4 C 2 4 a 2,所以3 a 2 4 4 c 2,e2|,解得：/乎 ）.故答案为：等 ）2 23.已知椭圆方程为千+=1（。

人 0）,左、右焦点分别为A、F”尸为椭圆上的动点，若2片尸鸟的最大值为 年，则椭圆的离心率为.【答案】32【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，再利用公式e =可求得该椭圆的离心率的值.【详解】由椭圆的定义可得|p 6|+|段=2%由余弦定理可得c o s/月产鸟=|P用2+附2平周2（冏|+归 周 丫 一忻楼-2附|.|明2|利尸图 2附”尸 身4a2-4c2 1、4/4 力 2 2b2，-2|尸 用 尸身 2J|P f；|+|P f；|V 2/因为N 耳尸鸟的 最 大 值 为 则 与 一 l =c o s 型 =-,，可 得 与=J.,3 a2 3 2 a2 4因此，该椭圆的图心率为e =1?1 =J1 一冬=-4.顶角直角三角形型【典 例 分 析】2 2已知椭圆,+=l（a b 0）上一点A,它关于原点的对称点为8,点尸为椭圆右焦点，且满足A F L BF,设立4 8 尸=口,且a w ,y L则该椭圆的离心率的取值范围是（）【答案】B【分析】设椭圆得左焦点为F，连接A F ,8 F,则四边形A M U为矩形，从而有AB=FF=2 c,由N A B F =a,可得|瓶|=|明 s in a,|即|=|Af i|c o s a,再根据椭圆的定义计算即可得解.【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为尸，连接AF I F,则四边形A必尸为矩形，则|阴=|W l =2c,|AF|=|M ,所以忸耳+怛F =|B F+|AF|=2a,在 R t a AR F 中,F l I ZABF=a,W|-4 1=|s in a r =2c s in a,|BF-AB COS a-2ccos a,c _ 、所以 2r s in a +2c c o s a =2a ,所以 s in a +c o s a&s i n（a +工），因为 a w ,所以ita +w4it 7兀 mJ所以 0 s i n（a +j w【变 式 训练】1.设 椭 圆C:二 +1=l(“b ()的 右焦点为F，椭 圆C上 的 两 点A,8关于原点对你，且满a b足E 4-F8 =0，|FB|FA|V 3|FB|,则 椭 圆C的 离 心 率 的 取 值 范 围 为()A.制 B.冬g C.7 3-1,1)D.性用【答 案】B【分 析】设椭圆的左焦点尸，由已知条件知四边形AFB F为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到再根 据 网 引 附4阴 雨，得到 画 的 范围，然后利用对勾函数的值n m b 域 得 到，的范 围，然 后 由e =求解.【详 解】如图所示:设椭圆的左焦点尸，由椭圆的对称性可知，四边形A 反/为 平行四边形，又F A F B =U，即 必，必，所以四边形AFB k 为矩形，阴 二|E T|=2c,设|AF =，|人目=机，在直角心 4 3/中，6+=2，W+2=4（?,得加2 =2从，所以m n 2 c2 人 加，殂 1 2c 2+=令 一 得+-=1-，n m b-n t ZrJ（.FBFAQ O）的左、右焦点分别为小尸”P是椭圆上一点，|尸 耳|=川尸国,IJT（-A A +1 .可得 e-=7 5 八？，令?=+1(A+l)2可得4 =加-1,即有22 4-1。

1)2m-2r/w-+=2 2(.1 v1 +-51,由:驰 2,可 得 到 3,即 判|.则 当 2 时，取得最小 值 卜 当 加 卷 或 3 时,取得最大值9即有g教 好|解得：自 领 力g,所以椭圆离心率的取值范围为孝，当 1.故选：B.2 23.设椭圆C:=+=l（a b 0）的两焦点为片，匕 若椭圆C上有一点尸满足NFP F=9 0 ,a-b-则椭圆C的离心率的最小值为（）A.旦 B.且 C.-D.2 3 3 3【答案】A【分析】由椭圆的几何性质求解【详解】由椭圆的几何性质知当点P在短轴顶点时，/耳尸用最大，设短轴顶点为B,则ZF,B F2 90,M-s i n 4 5 =，a2故选：A5.焦半径与第二定义【典例分析】已知椭圆C：+工=1 3 6 0）的左，右焦点匕，居，过原点的直线/与椭圆C相交于M,a-b-N两。