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应用泛函分析简介 摘要：摘要：简单回顾应用泛函分析的历史、内容和意义，特别是简单介绍泛函分析在建立量子理论的数学基础方面的不可替代作用 第一部分：泛函分析的历史、内容和意义第一部分：泛函分析的历史、内容和意义 泛函分析（Functional Analysis） ，现代数学的一个分支，是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科泛函分析是由对函数的变换，如傅立叶变换的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的 使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献 泛函分析是 20 世纪 30 年代形成的从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学80多年来， 一方面它不断以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、 巴拿赫代数、 拓扑线性空间理论、 广义函数论等等； 另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。

它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用， 还是建立群上调和分析理论的基本工具， 也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一 今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中， 已成为近代分析的基础之一 泛函分析的特点和内容泛函分析的特点和内容 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了， 而且还把这些概念和方法几何化了比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具 n 维空间可以用来描述具有 n 个自由度的力学系统的运动， 实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统 比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子 一般来说， 从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统 现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统 正如研究有穷自由度系统要求 n 维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。

因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中 泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论 他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了 泛函分析的起源泛函分析的起源 泛函分析的源头之一是变分法18 世纪形成的变分法的核心课题是研究形如 '[ ]( , ,)baJ yF x y y dx 的积分的极值这里函数 y＝y(x) 是在某个集合 Y 上变动，例如 Y可以是［α，b］上具有连续导函数，或再附加一定的约束条件，如y(α)＝0，y(b)＝1，的函数的全体如果说微积分是研究以数 x 为自变元的函数 ƒ(x)，那么变分法就是研究以函数 y 为自变元的函数J[y]函数 y 在这里被视为“点”19 世纪末，阿达马首先给这种函数的函数 J[y] 冠以“泛函”的名称在泛函 J[y]的极值的研究中，需要考察与一个函数 y0相“邻近”的一切函数， 这就向人们暗示: Y 中的函数(“点”)与函数(“点”)之间有着某种衡量远近的几何度量，从而 Y是具有某种度量的、由函数(“点”)构成的“空间”。

但是，认识到要把函数视为点，把某些函数构成的集合视为空间（函数空间） ，还是在和其他学科长期发展的历史过程中形成的 所以就连“泛函”一词的出现也并不是在变分法形成的 18 世纪，而是直到 19 世纪末 泛函分析的另一个源头是积分方程自从 1823 年 N.H.阿贝尔从力学问题中提出并研究积分方程 0( )( )x dyyf xxy以后，19 世纪末在微分方程的研究中，出现了上述积分方程的推广形式，所谓沃尔泰拉型积分方程 （E.）I.弗雷德霍姆 1900 年又对积分方程 ( )( , ) ( )( )baxK x yy dyf x作了重要研究后者引起了 D.希尔伯特的极大兴趣1904～1906年，希尔伯特在这方面完成了 6 篇论文他在实连续积分核 K(x，y)是对称的，即 K(x，y)=K(y，x)的条件下，获得许多比弗雷德霍姆更深入的结果例如，证明特征值是实的，给出预解式的形式与特征展开等等，这些通常称为希尔伯特谱论希尔伯特利用正交展开将积分方程求解问题化成无限阶的线性方程组求解问题， 并在此基础上引入无限维（实）欧几里得空间 l2，即满足 21||n na的实数列 α＝(α1，α2，…，αn，…) 全体。

他提出了 l2上有界双线性形式、有界线性形式，即所谓连续线性泛函，以及两种收敛，即所谓的强、弱收敛等概念，给出了 l2上的选择原理，即所谓的闭单位球的弱紧性，还发现连续谱的存在等等这表明用代数方法来研究分析中某些课题是很自然的 泛函分析的形成泛函分析的形成 泛函分析作为学科的形成，以致它的整个发展，至今主要是围绕着对偶理论和算子谱论展开的 度量空间和函数希尔伯特空间度量空间和函数希尔伯特空间 几乎与希尔伯特同时，M.R.弗雷歇就提出并研究了以具体函数类为主要背景的抽象度量空间以及度量空间中的紧性、完备性、可分性等泛函分析的基本概念这里包含着一般拓扑学的萌芽另一方面，希尔伯特的学生 E.施密特在积分方程的研究中发展了希尔伯特谱论他在 1908 年的论文中已使用复 l2、 内积和范数的符号， 给出了正交、闭集、向量子空间的定义，并证明在闭向量子空间上投影的存在性这是基本的几何概念正式进入了泛函分析 1902 年 H.L.勒贝格的积分理论问世， 似乎当时希尔伯特不知道， 有力地加速泛函分析的形成1906～1907 年，E.菲舍尔和 F.（F.）里斯利用新积分工具相互独立地证明了里斯—菲舍尔定理。

里斯在此基础上引入平方可积函数空间 L2[α，b]，证明了它的完备性、可分性，并很自然地将弗雷德霍姆理论推广到 K(x， y)是矩形[α， b]×[α， b]上平方可积函数的情形 连续线性泛函连续线性泛函 连续线性泛函是泛函分析的一个基本概念 围绕对它的研究形成的对偶理论至今仍是泛函分析中心课题之一对它的研究最早可追溯到C.博莱特(1897)提出要用连续性条件来刻画一定函数类上的连续线性映射 T:E→F1903 年阿达马在 E 是 C[α，b]，F 是实数域，当{ƒn}一致收敛于 ƒ 时，Tƒn→Tƒ 的情况下，将 T 表示成一列积分的极限的形式但这种表示不惟一，并且有极大任意性后来在实 l2空间上，弗雷歇和里斯独立地在 T 是所谓强连续假设下给出简单而惟一的表示， 即希尔伯特空间 l2上的连续线性泛函表示定理 里斯在1909～1910 年又相继给出 C[α，b]、Lp[α，b]、lp(p>1)上的表示定理 在这些表示定理的证明中实质上已蕴含线性子空间上连续线性泛函必可延拓到全空间的事实E.黑利从 1912 年开始，中间经过第一次世界大战的中断， 直到 1921 年用“赋范数列空间”代替具体的C[α，b]、Lp[α，b]、lp等而考虑较抽象形态的延拓问题。

他使用了凸性以及在有限维空间情况下早为 H.闵科夫斯基用过的术语，如支撑超平面等 巴拿赫空间巴拿赫空间 在许多具体的无限维空间以及它们上面相应的收敛性出现之后， 抽象形态的线性空间以及按范数收敛的出现就成为自然的了1922～1923 年，E.哈恩和巴拿赫，同时还有 N.维纳，独立地引入赋范线性空间当时的讨论事实上都限于完备的赋范线性空间1922 年哈恩从当时分析数学许多分支已达到的成果和方法中提炼出了共鸣定理1927 年 H.施坦豪斯和巴拿赫用完备度量空间的第二纲性代替原来所谓“滑动峰”证明方法，给出现今常见的证明1922～1923 年巴拿赫又得到了压缩映射的不动点定理、开映射定理1927 年哈恩完全解决了完备赋范线性空间上泛函延拓定理的证明， 并第一次引入赋范线性空间 E 的对偶空间 K 两年后， 巴拿赫用同样方法也得到同样结果，后来，他承认哈恩的优先权，并看到这个定理可以推广这个推广形式在后来的局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用1931年巴拿赫将他 1923～1929 年的工作以及当时主要成果写成《线性算子理论》一书，书中大部分讨论他 1929 年开始研究的弱收敛，这又成为局部凸拓扑线性空间理论出现的先导。

在同一书中还发表了完备赋范线性空间上连续线性算子值域不是第一纲集便是全空间以及闭图像定理等重要结果这时，作为完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，它的许多结果已成为泛函分析应用中的强有力工具人们为纪念他的功绩， 把完备赋范线性空间称为巴拿赫空间 近年来，人们特别感兴趣的一个领域是研究巴拿赫空间的几何学 算子谱论算子谱论 事实上，希尔伯特谱论已是泛函分析算子谱论的开始，虽就算子而言是具体的由核 K(x，y)所确定的积分算子，可就观念和研究方法而言却是代数的 然而早在 18 世纪，人们已从数学的各个领域的经验中开始对算子有所意识，特别从种种方程的解具有叠加性中了解到许多重要运算，例如微分运算、积分运算等都具有线性但作为谱论的直接源头是弗雷德霍姆理论，这个理论与有限阶线性方程组求解理论极其相似人们自然会问： 怎样的线性运算和熟知的有限维空间上线性变换的若当型与弗雷德霍姆理论有相似的性质？这个问题在里斯之前，有人探索过，但未解决1916～1918 年，里斯给出了完全的回答他先限于 lp，后又考察 C[α，b]，他未用希尔伯特的双线性形式，而直接用术语算子代替它，引入全连续算子概念最终他又把讨论基本上推广到了巴拿赫空间上。

其中涉及共轭算子的某些结果，后由 J.P.绍德尔(1932)补充完成通常称它为里斯—绍德尔理论里斯受希尔伯特发现连续谱现象的启发， 用与希尔伯特完全不同的但具有典型泛函分析意味的方法得到 l2上有界自共轭算子 A 的谱分解: ( )bafdE其中( )f x是[a, b]上的连续函数，{Eλ}是 l2上一族投影算子这对希尔伯特发现的连续谱做出了很好的解释或说：非特征值的连续谱所相应的是广义特征向量当然他当时的表达形式是较原始的 20 世纪 20 年代是量子力学的大发展时期，不断出现的新思想要求寻找合适的数学工具物理学家们最终发现，可观察量的性质与希尔伯特空间上自共轭算子的性质具有不平常的一致性， 而希尔伯特所提出的数学上的谱可以用来解释物理学上原子的谱， 因此纷纷来找希尔伯特帮助1926 年，作为助手来到希尔伯特身边的 J.冯·诺伊曼开始曾以 L2[α，b]上积分算子进行尝试，发现物理学家所必须运用的狄喇克 δ－函数的概念中，从当时的数学看来，包含着矛盾冯·诺伊曼为提供量子力学的严格数学基础，于 1929～1932 年，正式引入并定名抽象的，即现在的，希尔伯特空间概念鉴于物理学上的可观察量以及奇异积分方程、微分方程中出现的重要算子都是无界的，冯·诺伊曼引入稠定闭算子概念。

他做出系统的奠基性的工作：给出了无界自共轭算子的谱分解，发现对称算子和自共轭算子的区别，建立了对称算子亏指数理论，又给出了酉算子和正常算子谱分解，证明了量子力学中交换关系的表示在酉等价意义下是唯一的， 即量子力学体系的数学描述本质上只有一种，等等此后作为单个算子谱论，人们最主要兴趣是非正。