一平面曲线积分与路径无关的条件.ppt

上页 下页 返回 结束 一一、、 平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件二二 、、 二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积第三节第三节(2) 线积分与路径无线积分与路径无 关的条件关的条件第十一章第十一章上页 下页 返回 结束 p197.例例2回顾回顾结果：结果：被积函数相同被积函数相同, , 起点终点也相同起点终点也相同, , 但是由于积分路径不同但是由于积分路径不同, , 导致积分结果不同导致积分结果不同. .称此曲线积分称此曲线积分与路径有关与路径有关上页 下页 返回 结束 　被积函数相同　被积函数相同, ,起点和终起点和终 点也相同点也相同, ,虽然积分路径不同虽然积分路径不同, ,但是积分结果相同但是积分结果相同. .称此曲线称此曲线积分积分与路径无关与路径无关回顾回顾p197.例例2结果：结果：上页 下页 返回 结束 Gyxo1 、曲线积分与路径义无关的定义曲线积分与路径义无关的定义BA如果在区域如果在区域G G内有内有一、一、 平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件上页 下页 返回 结束 2 2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件则以下四个条件等价等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 上页 下页 返回 结束 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设设为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线,则则(根据条件根据条件(1))上页 下页 返回 结束 证明证明 (2) (3)在在D内取定点内取定点因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证因此有因此有和任一点和任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关,有有函数函数 上页 下页 返回 结束 证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得则则P, Q 在在 D 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有上页 下页 返回 结束 证明证明 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,(如图如图) ,利用利用格林公式格林公式 , 得得所围区域为所围区域为证毕证毕(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有上页 下页 返回 结束 注意注意: :1. .常用常用 来判断来判断曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关; ;2. .当曲线积分与路径无关时，常选择最简当曲线积分与路径无关时，常选择最简路径路径——平行于坐标轴的直线段组成的折平行于坐标轴的直线段组成的折线作为积分路径线作为积分路径; ;OAB如果如果D是复连通域是复连通域, ,即使即使曲线积分也不一定与路径无关曲线积分也不一定与路径无关。

上页 下页 返回 结束 例例1 1证证则则因此有因此有上页 下页 返回 结束 例例2 2解解上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 二二、、二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积1. 1. 原函数原函数: :如果存在一个函数如果存在一个函数u(x,y)，，使得使得du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函数原函数全微分式全微分式例如例如全微分式全微分式2. 2. 判别定理判别定理定理定理3.3. 设函数设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域在单连通域D内具有一阶内具有一阶连续偏导数，则连续偏导数，则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在在D内为某一函数内为某一函数全微分全微分 在在D内恒成立内恒成立. .上页 下页 返回 结束 3.3.全微分求积全微分求积当当Pdx+Qdy为全微分式时，为全微分式时，求其原函数求其原函数u(x,y)的过程的过程. .与路径无关，可选平行于坐与路径无关，可选平行于坐标轴的折线作为积分路径标轴的折线作为积分路径. .如图取如图取 为积分路径为积分路径, ,得得如图取如图取 为积分路径为积分路径, ,得得上页 下页 返回 结束 例例1解解上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 或或上页 下页 返回 结束 例例2 2解解1取积分路线如图取积分路线如图, ,上页 下页 返回 结束 故故上页 下页 返回 结束 故故上页 下页 返回 结束 例例3 3解解上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 *全微分方程及其求法全微分方程及其求法定义定义: :若有全微分形式若有全微分形式例如例如所以原方程是全微分方程所以原方程是全微分方程. .全微分方程全微分方程上页 下页 返回 结束 全微分方程的解法全微分方程的解法: :1 1．应用曲线积分与路径无关．．应用曲线积分与路径无关．则全微分方程的通解为则全微分方程的通解为上页 下页 返回 结束 例１例１解解这是全微分方程这是全微分方程.方程的通解为方程的通解为上页 下页 返回 结束 解解是全微分方程是全微分方程, ,将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为例例2２．２． 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法. .。