数学分析(2)期末练习题答案扫描.pdf

数学分析（ 2）期末练习题（ 13 级）参考答案一、判断题1. ； 2. ；3. ；4.；5. ；6. ； 7. ； 8. ； 9. ； 10. ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. ；15.；16；17；18；19；20；21； 22；23；24；25；26；27； 28； 29； 30； 31； 32； 33二、填空题1. )()(xfxfn；2. 1()F axbCa；3 1 ， 0 ；4. 1,1；5. 212xec；6. 22( )( )bax ty tdt； 7. 1q；8. 0 ；9. 1cos22xC；10. ( )baf x dx；11. 1p；12. 若S中的任何一个点都含在H中至少一个开区间内； 13. secxC； 14. 0；15. 1；16. 2(1)n n，2；17. ln 2；18. 1，e； 19. 1； 20. 1,1；21. ( )fxC；22. 4；23. 21( )dsfx； 24 Cxcsc； 25 Caaxln1； 26 Caxarcsin；27Caxxa22ln； 28Cxf)(arctan；2934；30必要，充分； 31条件收敛，收敛； 32. 发散的； 3321ln(1( )2fxC； 34xC； 3513；36； 37 2 ；384；39sin 224xxC； 402sin 2sinxxxC；4143； 425； 4315； 442； 45102x；46. )()(xfxfn；47. 不一致收敛； 48. ( )nS x；49. )()(xSxSnpn； 50. 1p；51收敛的。

三、单项选择题1. C ；2. A ；3. B ；4. B ；5. D ； 6. B ；7. B ；8. C ；9. B ；10. C ；11. A ；12. B ；13. D ；14. C ；15. B ；16. A ；17. C ；18. D ；19. B ；20C；21D；22D；23C；24A；25 B；26 A；27. C ；28A；29C ；30A；31D；32B；33C；34B；35D；36A；37 B, E ； 38 A, B , D； 39 A ；40 D 四、计算题1. 设( )f x在 , a b上连续 ,( )( )()xaF xf txt dt. 求( )Fx. 解：( )( )()( )( ).xxxaaaF xf txt dtxf t dttf t dt. 于是( )( )( )( )( ),( )( )xxaaFxf t dtxf xxf xf t dtFxf x. 2. 求由椭球面2222221yxzabc所围立体的体积. 解： 以平面00()xxxa截椭球面 ,得一椭圆2222220022111yzxxbcaa. 所以截面积函数为221, xbcxa aa. 于是椭球面的体积22413aaxVbcdxabca. 3. 求下列不定积分（1）2cos3sinxdxx解：22sin()cos13sin3sin31()3xdxdxxx1sinarctan()33xC。

2）xxedx解：令tx，则2,2xtdxtdt，22222224244xttttttxedxt e dtt det ete dtt etetC2(2)4xxexxC4. 求椭圆22221yxab所围的面积 . 解：化椭圆为参数方程: cos ,sin ,0,2xatybt t. 于是椭圆所围的面积为22200sincossinAbt atdtabtdtab. 5. 求不定积分1xxxedxe. 解：令1xue，则22221,ln(1),1xuuexudxduu，故原式2222(1)ln(1)22 ln(1)1uuuduuduuu，分部积分得：22222 ln(1)2 ln(1)21uuuduuuduu2222112 ln(1)42 ln(1)44arctan1uuuduuuuuCu，代回原变量，原积分21414arctan1xxxx eeeC6. 求摆线(sin ),(1cos )(0), 02xa ttyatat的弧长 . 解：(1cos ),sin , 02xatyatt, 于是所求摆线的弧长为222222000( )( )2(1cos )2sin82tsxtyt dtat dtadta. 7. 求平面曲线sin , 0yxx绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积. 解：根据旋转曲面的侧面积公式22( ) 1( )baSf xfx dx可得所求旋转曲面的面积为202sin1 cos22ln21Sxxdx. 8. 求不定积分22712xdxxx。

解：224221ln433712xxdxdxCxxxxx9. 求定积分10arcsinxdx解：1111202000arcsinarcsin11221xxdxxxdxxx10. 求不定积分1sinsin (1cos )xdxxx解：令tan2xt，则22sin1txt，221cos1txt，221dtdxt，于是21sin11122lnsin(1cos )222xtdxtdtttCxxt21tantanln tan4222xxxC11. 求定积分1204x dx解：令2sinxt，则0 x时，0t；1x时，6t，于是61226600001344cos21cos22sin 2232x dxtdtt dttt12. 求不定积分2ln xdx解：2222lnlnlnln2 lnxdxxxxdxxxxdx22ln2 ln2lnln2 ln2xxxxxdxxxxxdx2ln2 ln2xxxxxC13. 求曲线sin,0yxx绕x轴旋转一周所围成立体的体积解：220001sin1 cos2sin22222Vxdxx dxxx14. arcsinxxdx解：arcsinxxdxdxxxxxdx222121arcsin21arcsin2122111arcsin1221xxdxx2111arcsinarctan222xxxxC。

15. 0()sinxdxtxdtdx解： 由22200011()sinsinsinsinsinsin22xxxxtxdtxxdttxdtxxxxxx, 得22011()sinsinsincos22xdxtxdtxxxxxxdx16. 判断级数3!nnnn的收敛性解：由于113(1)!3lim3lim1(1)3!1nnnnnnnnnnnnne, 则3!nnnn发散 .17. 211(1)2xdxxx解：令12xtx，得2222216,1(1)ttxdxdttt，代入原积分，有22112222(1)23331xxdxdtCCxxttx18. 2xxedx解：222211()022xxxxedxedxe19. 判断级数1( 1)(0)1nnnnxxnx的收敛性解：当0 x时，011nnxx；记1nnnxux，则1111,01(1)11,111nnnnnnxuxxxxuxx，因此数列1nnxx单调有界，又1( 1)nnn收敛，由阿贝尔判别法知原级数收敛20. 讨论级数212nnn的收敛性解：因为2222limlimlim21nnnnnnnnunn，由根式判别识，级数212nnn发散21. 1xxdxee。

解： 原式21xxedxe2arctan()1xxxdeeCe22421xdxx解：42211(1)12(1)2(1)xdxxdxxxx311ln321xxxCx231lneexdx解：1111lnlnlneeeexdxxdxxdx1112(ln)( ln)2eexxxxxe242111dxxx解： 令1xt，21xt，2dxtdt，当2x时，1t；当1x时，0t；2112010122arctan(1)21tdtdxtttxx25用定积分求极限2222111lim2nnnnnnn解： 因为函数1( )1f xx在区间0,1上连续，故可积；所以2222111111limlim21nnnknknnnnnnn110012 12 221dxxx26. 求曲线2yx、24xy和1y所围平面区域的面积（画出所求面积的阴影图）解： 所求面积如图所示，画图（略）所求面积为13112000442(2)233Ayy dyydyy27判断下列反常积分的敛散性，若收敛是条件收敛还是绝对收敛1）1sin xdxx；（2）10lndxxx解： （1）1sin xdxx对1,u有1sincos1cos2uxdxu；而1x单调趋于0 ()x，故由狄利克雷判别法推知，无穷积分1sin xdxx是收敛的。

由于2sinsin1cos2,0,),22xxxxxxxx其中12cos21cos22xtdxdtxt满足狄利克雷判别法的条件，是收敛的，而112dxx是发散的因此无穷积分1sin xdxx是条件收敛的2）10lndxxx此瑕积分的瑕点为0,1xx，且11121002lnlnlndxdxdxxxxxxx由于11lim(1)1,lnxxxx可知积分112lndxxx发散，从而积分是112lndxxx发散的，于是积分10lndxxx是发散的28判断下列级数的敛散性，若收敛是条件收敛还是绝对收敛（1）1!4nnnnn；（2）12sin)1(nnn解： (1) 因为14)11(4lim!4) 1()!1(4limlim111ennnnnuunnnnnnnnnn，所以级数发散2) 12sin)1(nnn是 交 错 级 数 ， 因 为22( 1) sin()nnnn， 而12nn发 散 ， 于 是 级 数12( 1) sinnnn发散又2sinn单调递减且2limsin0nn，由莱布尼茨判别法知级数12( 1) sinnnn条件收敛10 分）29. 220cos1sinxdxx解：222200cos1sin1sin1sinxdxdxxx20arctan(sin)4x。

300cos2xexdx解：0000cos2cos2cos22sin2xxxxexdxxdeexexdx00012sin 22cos214cos2xxxexexdxexdx，所以01cos25xexdx31求心脏线(1cos )ra，(0)a的周长解：2220srrd2022(1 cos )ad04cos82ada32设21sin( )xtf xdtt，求10( )xf x dx解： 因为222sin2sin( )2xxfxxxx，(1)0f，所以12221110000( )( )( )( )222xxxxf x dxfx df xfx dx112200111sincoscos1222xx dxx33. 利用定积分求由椭圆22221xxab所围成的面积和绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积解： 所求面积为222200441aaxbSbdxax dxabaa所求体积为23222222000422(1)2()33aaaxxVy dxbdxbxabaa34判断反常积分10ln xdxx的敛散性，若收敛是条件收敛还是绝对收敛解： 此瑕积分的瑕点为0 x 当取314p时，有314410004lnlnlimlimlim(4)0 xxxxxxxxx，所以瑕积分10ln xdxx收敛。

又因为xxln在(0,1上恒为负，从而此瑕积分收敛与绝对收敛是等价的，因此瑕积分10ln xdxx是绝对收敛的35. 讨论无穷积分21(1)dxdxxx是否收敛 ?若收敛 , 则求其值 . 解： 因为22211111limlim1(1)(1)AAAAdxdxxdxxxxxxx111limln(1)lnlimln 1ln 2ln11ln 2.AAAxxAAxA于是无穷积分21(1)dxdxxx收敛 ,其值为1ln 2. 36. 利用级数敛散性定义验证级数11(1)(2)nn nn是否收敛 . 若收敛 , 求其和数 . 解： 因为1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn, 从而级数11(1)(2)nn nn的部分和为1111。