中考数学二轮压轴培优专题5二次函数与面积最值定值问题（教师版）.doc

专题5二次函数与面积最值定值问题面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积(如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题)以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1 图2 图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．图4 图5 图6【例1】．(2022•青海)如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；(3)设点P是(1)中抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB＝6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(请在图2中探讨)【分析】(1)根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点F的坐标及抛物线的对称轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，结合点F的坐标，即可求出线段EF的长；(3)又点A，B的坐标可求出线段AB的长，设点P的坐标为(t，t2﹣2t﹣3)，利用三角形的面积计算公式，结合S△PAB＝6，即可得出关于t的方程，解之即可得出t值，进而可得出点P的坐标．【解析】(1)将A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝x2+bx+c，得：，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．(2)∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴抛物线的顶点F的坐标为(1，﹣4)，抛物线的对称轴为直线x＝1．当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，∴点C的坐标为(0，﹣3)．设直线BC的解析式为y＝mx+n(m≠0)，将B(3，0)，C(0，﹣3)代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3．当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，∴点E的坐标为(1，﹣2)，∴EF＝|﹣2﹣(﹣4)|＝2．(3)∵点A的坐标为(﹣1，0)，点B的坐标为(3，0)，∴AB＝|3﹣(﹣1)|＝4．设点P的坐标为(t，t2﹣2t﹣3)．∵S△PAB＝6，∴×4×|t2﹣2t﹣3|＝6，即t2﹣2t﹣3＝3或t2﹣2t﹣3＝﹣3，解得：t1＝1﹣，t2＝1+，t3＝0，t4＝2，∴存在满足S△PAB＝6的点P，点P的坐标为(1﹣，3)或(1+，3)或(0，﹣3)或(2，﹣3)．【例2】．(2022•随州)如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴分别交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)判断出A，B两点坐标，可以假设抛物线的解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，把(0，3)代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，可得结论；(2)如图(2)中，连接OP．设P(m，﹣m2﹣2m+3)，构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可；(3)分两种情形，点N在y轴上，点N在x轴上，分别求解即可．【解析】(1)∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，抛物线交x轴于点A，B(1，0)，∴A(﹣3，0)，∴OA＝OC＝3，∴C(0，3)，∴可以假设抛物线的解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，把(0，3)代入抛物线的解析式，得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；(2)如图(2)中，连接OP．设P(m，﹣m2﹣2m+3)，S＝S△PAO+S△POC+S△OBC，＝×3×(﹣m2﹣2m+3)××3×(﹣m)+×1×3＝(﹣m2﹣3m+4)＝﹣(m+)2+，∵﹣＜0，∴当m＝﹣时，S的值最大，最大值为，此时P(﹣，)；(3)存在，理由如下：如图3﹣1中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P(﹣1，4)，N(0，4)；如图3﹣2中，当四边形PMCN是矩形时，设M(﹣1，n)，P(t，﹣t2﹣2t+3)，则N(t+1，0)，由题意，，解得，消去n得，3t2+5t﹣10＝0，解得t＝，∴P(，)，N(，0)或P′(，)，N′(，0)．综上所述，满足条件的点P(﹣1，4)，N(0，4)或P(，)，N(，0)或P′(，)，N′(，0)．【例3】(2022•成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3(k≠0)与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点B关于y轴的对称点为B'．(1)当k＝2时，求A，B两点的坐标；(2)连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；(3)试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【分析】(1)当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，联立解析式解方程组即得A(﹣3，﹣9)，B(1，﹣1)；(2)分两种情况：当k＞0时，根据△B'AB的面积与△OAB的面积相等，知OB'∥AB，可证明△BOD≌△BCD(ASA)，得OD＝OC＝，D(0，﹣)，可求B(，﹣)，即可得k＝；当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，由△B'AB的面积与△OAB的面积相等，可得OE＝EF＝3，证明△BGF≌△BGE(ASA)，可得OG＝OE+GE＝，G(0，﹣)，从而B(，﹣)，即可得k＝﹣；(3)设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，可得a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A(a，﹣a2)，B(b，﹣b2)，B'(﹣b，﹣b2)，设直线AB'解析式为y＝mx+n，可得，即可得m＝﹣(a﹣b)＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣(﹣3)＝3，从而直线AB'解析式为y＝•x+3，故直线AB'经过定点(0，3)．【解析】(1)当k＝2时，直线为y＝2x﹣3，由得：或，∴A(﹣3，﹣9)，B(1，﹣1)；(2)当k＞0时，如图：∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，∴OB'∥AB，∴∠OB'B＝∠B'BC，∵B、B'关于y轴对称，∴OB＝OB'，∠ODB＝∠ODB'＝90°，∴∠OB'B＝∠OBB'，∴∠OBB'＝∠B'BC，∵∠ODB＝90°＝∠CDB，BD＝BD，∴△BOD≌△BCD(ASA)，∴OD＝CD，在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，OC＝3，∴OD＝OC＝，D(0，﹣)，在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B(，﹣)，把B(，﹣)代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝；当k＜0时，过B'作B'F∥AB交y轴于F，如图：在y＝kx﹣3中，令x＝0得y＝﹣3，∴E(0，﹣3)，OE＝3，∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等，∴OE＝EF＝3，∵B、B'关于y轴对称，∴FB＝FB'，∠FGB＝∠FGB'＝90°，∴∠FB'B＝∠FBB'，∵B'F∥AB，∴∠EBB'＝∠FB'B，∴∠EBB'＝∠FBB'，∵∠BGE＝90°＝∠BGF，BG＝BG，∴△BGF≌△BGE(ASA)，∴GE＝GF＝EF＝，∴OG＝OE+GE＝，G(0，﹣)，在y＝﹣x2中，令y＝﹣得﹣＝﹣x2，解得x＝或x＝﹣，∴B(，﹣)，把B(，﹣)代入y＝kx﹣3得：﹣＝k﹣3，解得k＝﹣，综上所述，k的值为或﹣；(3)直线AB'经过定点(0，3)，理由如下：由得：x2+kx﹣3＝0，设x2+kx﹣3＝0二根为a，b，∴a+b＝﹣k，ab＝﹣3，A(a，﹣a2)，B(b，﹣b2)，∵B、B'关于y轴对称，∴B'(﹣b，﹣b2)，设直线AB'解析式为y＝mx+n，将A(a，﹣a2)，B'(﹣b，﹣b2)代入得：，解得：，∵a+b＝﹣k，ab＝﹣3，∴m＝﹣(a﹣b)＝b﹣a＝＝，n＝﹣ab＝﹣(﹣3)＝3，∴直线AB'解析式为y＝•x+3，令x＝0得y＝3，∴直线AB'经过定点(0，3)．【例4】．(2022•岳阳)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝x2+bx+c经过点A(﹣3，0)和点B(1，0)．(1)求抛物线F1的解析式；(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；(3)如图3，将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)．①求点C和点D的坐标；②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点(点M，N与点C，D不重合)，试求四边形CMDN面积的最大值．【分析】(1)将点A(﹣3，0)和点B(1，0)代入y＝x2+bx+c，即可求解；(2)利用对称性求出函数F1顶点(﹣1，﹣4)关于原点的对称点为(1，4)，即可求函数F2的解析式；(3)①通过联立方程组，求出C点和D点坐标即可；②求出直线CD的解析式，过点M作MF∥y轴交CD于点F，过点N作NE∥y轴交于点E，设M(m，m2+2m﹣3)，N(n，﹣n2+2n+5)，则F(m，2m+2)，N(n，2n+1)，可求MF＝﹣m2+4，NE＝﹣n2+4，由S四边形CMDN＝S△CDN+S△CDM＝2(MF+NE)，分别求出MF的最大值4，NE的最大值4，即可求解．【解析】(1)将点A(﹣3，0)和点B(1，0)代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴y＝x2+2x﹣3；(2)∵y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，∴抛物线的顶点(﹣1，﹣4)，∵顶点(﹣1，﹣4)关于原点的对称点为(1，4)，∴抛物线F2的解析式为y＝﹣(x﹣1)2+4，∴y＝﹣x2+2x+3；(3)由题意可得，抛物线F3的解析式为y＝﹣(x﹣1)2+6＝﹣x2+2x+5，①联立方程组，解得x＝2或x＝﹣2，∴C(﹣2，﹣3)或D(2，5)；②设直线CD的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝2x+1，过点M作M。