比中的“不变量问题”专项练习2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列(含参考答案)人教版.docx

2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列第四单元：比中的“不变量问题”专项练习1．“双减”课后服务活动中，数学文化研究小组有42人，其中男、女生人数的比是6∶1后来又加入一些女生，这时男、女生数的比为4∶3这个小组增加了多少名女生？【答案】21人【分析】根据题意可知，男生人数不变，有42×＝36（名），女生有42－36＝6（名），后来女生人数占男生人数的，根据分数乘法的意义，用36×即可求出变化后的女生人数，再减去原来的女生人数即可详解】42×＝36（名）42－36＝6（名）36×－6＝27－6＝21（名）答：这个小组增加了21名女生点睛】解答本题的关键是明确男生人数不变，进而根据分数乘法的意义求出后来女生人数2．周口海洋馆的6大类表演节目精彩纷呈，吸引了许多观众表演开始前，小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3，后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园，此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2，求两个场馆共有多少名观众？【答案】60名【分析】据题意,表演开始前，小明统计出海豚剧场与企鹅园的观众人数比为2∶3，此时海豚剧场观众人数是总人数的，企鹅园观众人数是总人数的，后来有4名观众从海豚剧场去了企鹅园即海豚剧场观众人数少了4人而企鹅园观众人数多了4人，设两个场馆共有名观众，则此时海豚剧场观众人数是（）,企鹅园观众人数是（），根据比例的基本性质和此时海豚剧场与企鹅园的人数比变为1∶2，列式解答即可。

详解】解：设两个场馆共有名观众答：两个场馆共有60名观众点睛】本题考查比例的实际应用，找出题目中人数变化和比的变化的关系是解题的关键3．一杯糖水，糖和水的质量比是1∶10若再放2克糖，糖和水的质量比则是1∶8杯中糖水里原有糖和水各多少克？【答案】糖：8克；水：80克【分析】根据题意，水的重量始终没变，把水的质量看作单位“1”，原来糖的质量占水的分率：1÷10＝；放2克糖后，糖的质量占水的分率：1÷8＝；将两个分率相减得到2克糖对应的分率，再根据：单位“1”＝对应量÷对应量的分率，求出原来水的重量，再乘即可求出原来糖的质量详解】1÷10＝1÷8＝2÷（－）＝2÷＝80（克）80×＝8（克）答：杯中糖水里原有糖8克和水80克点睛】此题考查了比与分数的应用，关键能够将比转化为分率再解答4．六（2）班有45名学生，女生人数是男生人数的转走几名女生后，这时女生人数占全班的转走了几名女生？【答案】3名【分析】因为转走的是女生，所以男生人数不变此题可采用抓不变量的方法解决女生人数是男生人数的，说明女生人数与男生人数的比是2∶3，把45名按2∶3分配求出男生人数几名女生转走后，男生占现在全班的（1－）。

已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量据此用男生人数÷（1－）即可求出现在全班的人数最后用原来全班的人数－现在全班的人数，即可求出转走的女生人数详解】45× ＝45× ＝27（名）27÷（1－）＝27÷＝27× ＝42（名）45－42＝3（名）答：转走了3名女生点睛】在解决稍复杂的分数问题时，可以运用转化法把关于分数的问题转化为比的问题来解决5．有甲、乙两个粮仓，甲粮仓存粮的质量是乙粮仓存粮质量的若把甲粮仓中的1200千克粮食运进乙粮仓，这时甲、乙两个粮仓存粮的质量比是2∶5甲、乙两个粮仓原来各有存粮多少千克？【答案】甲粮仓5600千克；乙粮仓9800千克【分析】把甲、乙两粮仓的总存粮看作单位“1”，原来甲粮仓存粮占总存粮的，原来乙粮仓存粮占总存粮的，把甲粮仓中的1200千克粮食运进乙粮仓，甲、乙两粮仓的总存粮不变，此时乙粮仓存粮占总存粮的，1200千克粮食占总存粮的（－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出两个粮仓的总存粮，最后用分数乘法求出甲、乙两个粮仓的存粮吨数，据此解答详解】甲、乙两粮仓存粮：1200÷（－）＝1200÷（－）＝1200÷＝15400（千克）甲粮仓：15400×＝15400×＝5600（千克）乙粮仓：15400×＝15400×＝9800（千克）答：甲粮仓原来有存粮5600千克，乙粮仓原来有存粮9800千克。

点睛】找出题目中的单位“1”，抓住不变量“两个粮仓的存粮总吨数”，并利用分数除法求出存粮总吨数是解答题目的关键6．甲、乙两箱粉笔的盒数之比是5∶2，如果从甲箱里取出18盒放入乙箱后，甲、乙两箱粉笔的盒数之比是8∶5那么甲、乙两箱粉笔各有多少盒？【答案】甲箱：130盒；乙箱：52盒【分析】根据比的意义可知，甲箱的盒数是5份，乙箱的盒数是2份，即甲盒占了总份数的，当甲箱取出18盒后，由于两箱总盒数不变，此时甲箱的盒数占总份数的：，由此即可知道取出的18盒占的分率是：－，根据公式：对应量÷对应分率＝单位“1”，把数代入公式即可求出一共多少盒，之后再乘甲占总共的分率即可求出甲箱的盒数，之后用总盒数减去甲箱的盒数即可求出乙箱的盒数详解】18÷（－）＝18÷＝182（盒）182×＝182×＝130（盒）182－130＝52（盒）答：甲箱粉笔有130盒，乙箱粉笔有52盒点睛】本题主要考查按比例分配解应用题，要找准对应量和对应分率是解题的关键7．甲乙两包糖的块数比是4∶1，如果从甲包取出13块放入乙包，甲乙两包糖的块数比为7∶5，那么原来两包糖各有多少块？【答案】甲：48块；乙：12块【分析】把甲、乙两包糖的块数看作单位“1”，则乙包糖的块数占总块数的，从甲包中取出13块糖放入乙包中，乙包糖的块数占总块数的，乙包糖的块数增加了（－），又因增加的分率对应的量是13块，用对应量除以对应分率就是两包糖的总块数；再分别乘原来甲、乙两包糖占总量的分率，即可求出原来两包糖各有多少块。

详解】13÷（－）＝13÷（－）＝13÷（－）＝13÷＝60（块）60×＝60×＝48（块）60×＝60×＝12（块）答：原来甲包糖有48块，乙包糖有12块点睛】解答此题的关键是抓住甲、乙两包糖的总块数不变，求出取出13块糖所对应的分率是解题的关键8．一批水果，剩下的质量是卖出的质量的，又卖出50千克后，剩下的质量与卖出的质量的比是2∶8这批水果共有多少千克？（列方程解答）【答案】1000千克【分析】开始剩下的质量是卖出的质量的，说明总质量有1＋3份，卖出质量有3份，卖出质量是总质量的，又卖出50千克后，剩下的质量与卖出的质量的比是2∶8，说明此时卖出质量占总质量的，设这批水果共有x千克，根据总质量×开始卖出质量对应分率＋又卖出的质量＝总质量×最终卖出质量的对应分率，列出方程解答即可详解】解：设这批水果共有x千克x＋50＝xx＋50＝xx－x＝50x×20＝50×20x＝1000答：这批水果共有1000千克点睛】关键是理解分数乘法和比的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系9．甲、乙两个车间原有人数比4∶3，从甲车间调48人到乙车间，甲、乙两个车间现有人数比2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？【答案】甲车间160人；乙车间120人【分析】从甲车间调48人到乙车间，甲乙两车间的总人数不变，原来甲占两车间总人数的，现在甲占两车间总人数的，两个分率之差对应从甲车间调去乙车间的人数，根据“量÷对应的分率”求出两个车间的总人数，再根据比的应用求出甲、乙两车间原有的人数，据此解答。

详解】48÷（－）＝48÷（－）＝48÷＝280（人）甲：280×＝160（人）乙：280×＝120（人）答：甲车间原有160人，乙车间原有120人点睛】抓住题中的不变量，并利用分数除法求出两个车间的总人数是解答题目的关键10．甲乙两桶汽油，汽油重量之比为3∶2，甲桶汽油向乙桶倒5千克，则甲乙汽油重量之比变为8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？【答案】75千克【分析】设原来两桶汽油一共有x千克，汽油从甲桶倒向乙桶，总质量没变，汽油总质量÷原来总份数×原来甲桶对应份数－汽油总质量÷现在总份数×现在甲桶对应份数＝5千克，据此列出方程解答即可详解】解：设原来两桶汽油一共有x千克x÷（3＋2）×3－x÷（8＋7）×8＝5x÷5×3－ x÷15×8＝5x－x＝5x×15＝5×15x＝75答：原来两桶汽油一共有75千克点睛】关键理解比的意义，明白总质量不变，找到等量关系列出方程解答即可11．未未和莱拉原有图书数量的比是2∶3，未未又买来24本书后，未未和莱拉现在图书数量的比是6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？【答案】84本；126本【分析】设原来共有x本书，未未又买来24本书后，现在共有（x＋24）本，莱拉的图书数量没变，根据原来总本数÷原来总份数×原来莱拉对应份数＝现在总本数÷现在总份数×现在莱拉对应份数，列出方程，求出x的值是原来总本数，原来总本数÷原来总份数，求出一份数，一份数分别乘原来未未和莱拉的对应份数即可求出他们原来的本数。

详解】2＋3＝5（份）6＋7＝13（份）解：设原来共有x本书x÷5×3＝（x＋24）÷13×7x＝（x＋24）x＝x＋x－x ＝x＋－xx×＝×x＝210210÷（2＋3）＝210÷5＝42（本）42×2＝84（本）42×3＝126（本）答：原来未未有84本书，莱拉有126本书点睛】关键是理解比的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系12．六年级学生报名参加数学兴趣小组，参加的同学是六年级总人数的，后来又有20人参加，这时参加的同学与未参加同学的人数比是3∶4六年级一共有多少人？【答案】210人【分析】把六年级的学生总数看作单位“1”，原来参加兴趣小组的人数占总人数的，现在参加兴趣小组的人数占总人数的，后来又参加的20人对应的分率为两个分数的分率之差，利用“量÷对应的分率”即可求得六年级的总人数，据此解答详解】20÷（－）＝20÷（－）＝20÷＝210（人）答：六年级一共有210人点睛】题中六年级学生的总人数不变，找出后来又参加人数对应的分率是解答题目的关键13．甲、乙两瓶药液质量的比是4∶1，如果从甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙两瓶药液质量的比变成了7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？【答案】甲液原来有48克、乙药液原来有12克。

分析】甲乙两瓶药液的质量之和没有发生变化，则原先甲乙两瓶药液的质量之和看做5份，现在甲乙两瓶药液的质量之和看做12份，统一成60份后，甲药液由原来的48份，变成现在的35份，少了13份，每一份是1克，据此求出甲、乙两瓶药液原来各有多少克即可详解】4∶1＝（4×12）∶（1×12）＝48∶127∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶2513÷（48－35）＝13÷13＝1（克）甲：1×48＝48（克）乙：1×12＝12（克）答：甲液原来有48克、乙药液原来有12克点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方法14．一个书架上层和下层的本数比4∶5，如果把上层拿120本到下层，这样下层刚好是上层的2倍，这个书架原来上层有多少本？【答案】480本【分析】根据“这样下层刚好是上层的2倍”可知，后来上层与下层的本数比为1∶2；原来上层本数是总本数的，后来上层本数是总本数的，据此可知，上层拿出的120本占总本数的－，根据。