《向量习题》PPT课件.ppt

例例1.1.已知已知△△ABC的三个顶点的三个顶点A, ,B, ,C及平面及平面ABC内一点内一点P满足满足PA+ +PB+ +PC= =AB, ,在下列四个结论在下列四个结论:①:①P在在△△ABC的的外部外部②②P在在△△ABC内部内部③③P在直线在直线AB上上④④P在边在边AC上上, ,正正确的是确的是 . .分析分析: : 本题主要考查平面向量的加减运算及两个向量共线的条本题主要考查平面向量的加减运算及两个向量共线的条件，关键是条件中的向量太多，必须减少向量的个数，件，关键是条件中的向量太多，必须减少向量的个数，实际上由平面向量基本定理知，平面上的任一向量都可实际上由平面向量基本定理知，平面上的任一向量都可以由平面上两个不共线的向量线性表示以由平面上两个不共线的向量线性表示. .解答解答: :所以点所以点P在边在边AC上上. .由由PA+PB+PC=AB得得: :PA+PB+PC= PB-PA,即向量即向量PC与向量与向量AP共线共线, ,且且P为为AC的一个三等分点的一个三等分点, ,即即: :PC=2AP,本题还可以有以下变形本题还可以有以下变形: :所以点所以点P在边在边AC上上. .由由PA+PB+PC=AB得得: :PB-AB=PA,即向量即向量PC与向量与向量AP共线共线, ,且且P为为AC的一个三等分点的一个三等分点, ,所以所以:PC=2AP,由由PA+PB+PC-AB=0因为因为变式变式:设设O是平面上一定点是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点是平面上不共线的三个点, 动点动点P满足满足: ,则点则点P在在 (1) 的平分线的平分线AD上上,(2)高线高线AE上上,(3)中线中线AF上上 ,(4)BC边的垂直平分线上边的垂直平分线上. ABCDPOB′C′解答解答: :设设 , ,则则 是分别与是分别与 同向同向的单位向量的单位向量. .则则 的方向为的方向为 的平的平分线分线AD的方向的方向, ,所以点所以点P在在 的平分线的平分线AD上上.例例2.2.已知向量已知向量a=(1,-2),=(1,-2),b=(0,1),=(0,1),若若a与与a+mb的夹角为锐角的夹角为锐角, ,求求m的取值范围的取值范围.分析分析: :由于由于a与与a+ +mb的夹角为锐角，故有的夹角为锐角，故有a●(a+ +mb)>0,0,且且a与与a+ +mb不平行不平行. .解答解答: :因为因为a=(1,-2),b=(0,1),所以所以a+ +mb=(1,-2+m),因为因为a与与a+ +mb的夹角为锐角，的夹角为锐角，所以所以a(a+ +mb)>0,且且a与与a+mb不平行不平行，，即即1-2(-2+m)>0,-2-(-2+m) 0,解得解得: :m＜＜ ,且且m 0．．5 52 2所以所以: :m的取值范围是的取值范围是m＜＜ ,且且m 0．．5 52 2点评点评: :要特别注意要特别注意 a●b>0 0并不是并不是a与与b的夹角为锐角的充要条件的夹角为锐角的充要条件. . 同样道理同样道理: : a●b<0也并不是也并不是a与与b的夹角为钝角的充条件的夹角为钝角的充条件.例３例３. .已知已知 , ,, ,且且 ，求，求a与与b的夹角．的夹角．分析：要求分析：要求a与与b的夹角，由于的夹角，由于故只需求出故只需求出 即可．即可．因为　　　　　，所以　　　　　　，因为　　　　　，所以　　　　　　，即　　　　　　，即　　　　　　， 即　　　　　　　　　，即　　　　　　　　　，因为　　　　　　，所以　　　　．因为　　　　　　，所以　　　　．解答一：设解答一：设a与与b的夹角为的夹角为 ，，解答二：因为　　　　　，　　，不仿设：解答二：因为　　　　　，　　，不仿设：所以所以b=a-(0,m)=(1,-m)，，因为因为 ，所以，所以1+m 2=2,所以所以 m=１１,或或m=－１－１ ，，即向量即向量a与与b的夹角为　　．的夹角为　　．a=(1,0),a-b=(0,m)．．a=(1,0),b=(１１,　１　１)．．所以　　　　　　　　所以　　　　　　　　 ，，解答三：如图在三角形解答三：如图在三角形ABC中，设中，设所以三角形所以三角形ABC为直角三角形为直角三角形，，即向量即向量a与与b的夹角为　　．的夹角为　　．因为　　　　　，因为　　　　　，所以　　　　　　　　　所以　　　　　　　　　 ，，CB=a-b ,AC=b ,则则AB=a ,所以　　　　　所以　　　　　 ，，ABCaba-b例例4.4.已知向量已知向量 , ,a与与b的夹角为的夹角为 . .(1)求求b的坐标的坐标; ;(2)若若c与与b同向同向,且且(c- -a) a,求求c的坐标的坐标. 分析分析: :求求b的坐标的坐标, ,实质是求实质是求m,的值由条件的值由条件a与与b的夹角为的夹角为 约约束束. .第第(2)(2)问与第问与第(1)(1)问本质上是一样的问本质上是一样的, ,利用待定系数法解方利用待定系数法解方程组即可程组即可. . 解答解答:(1):(1)由由 得得: :解得解得 , ,或或 ( (舍去舍去).).所以所以b的坐标为的坐标为(-2,6).解答解答:(2):(2)因为因为c与与b同向同向, ,所以可设所以可设c=nb=(-2n,6n)(n>0).所以所以c-a=(-2n-1,6n-2).由由 (c-a) a得得:解得解得所以向量所以向量c的坐标为的坐标为(-1,3).点评点评: :求字母的值往往要从问题的条件入手求字母的值往往要从问题的条件入手, ,一般情况下一般情况下条件的个数与求知数的个数是相等的条件的个数与求知数的个数是相等的, ,只需列出关于求只需列出关于求知数的方程知数的方程, ,解方程组即可解方程组即可, ,这种用方程来处理数学问题这种用方程来处理数学问题的思想在数学解题中很普遍的思想在数学解题中很普遍, ,同学们要高度重视同学们要高度重视. .例例5 5．在直角坐标系中，已知．在直角坐标系中，已知A(-1,0),B(3,4),若点若点C在在 的平分线上，且的平分线上，且 ，求向量，求向量 的坐标的坐标.OCOC分析：该问题的本质是求两个数，可以通过利用待定数法分析：该问题的本质是求两个数，可以通过利用待定数法解方程组求解．解方程组求解．解答一：设向量　　解答一：设向量　　= =(x,y)，由题意得：，由题意得：OCOC，，即即．．解得：解得：x=－－1,,y=2，或，或x=1，，y=－－2．．检验得：检验得：x=－－1,,y=2．．所以向量　　的坐标为所以向量　　的坐标为(-1,2)．．OC解答二：如图设解答二：如图设D= =(-5,0)，则：，则：的平分线就是的平分线就是 的平分线的平分线.所以向量　　的坐标为所以向量　　的坐标为(-1,2)．．OC由于由于OD=OB=5, , , ,设设BD的中点为的中点为M,则有则有M(-1,2), , OCOMOC因为因为 ,．．ABDOxy．．．．M分析分析: :本题给出的条件仅是本题给出的条件仅是AB, ,AC长度长度, ,因此问题中的两个向量应与因此问题中的两个向量应与它们之间有一定关系它们之间有一定关系, ,而寻求这种而寻求这种关系就是正确解答本题的关键关系就是正确解答本题的关键. .解答解答: :取取AB中点中点E, ,因为因为D为为BC的中点的中点, ,所以所以所以所以 =(=(AE+ +ED)()(BA+ +AC)= ()= (AB+ +AC)()(AC- -AB) )即即 的值为的值为 . .DE AC, ,DE= = AC,AD BC= =AD BCABCD例例6 6．如图在．如图在 中，已知中，已知AB= =3 ,3 ,AC= =2 ,2 ,D为为BC边的中点，边的中点，求求 的值．的值．AD BC.E点评点评: :由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知, ,平面上任一向量都可以由平平面上任一向量都可以由平面上任两个不共线的向量线性表示面上任两个不共线的向量线性表示, ,且是唯一的且是唯一的, ,解答此类解答此类题的关键有两点题的关键有两点: :(1)(1)选择平面上两个不共线的向量作为基底选择平面上两个不共线的向量作为基底; ;(2)(2)将问题中的向量用基底表示将问题中的向量用基底表示; ;变式变式1 1．如图在．如图在 中，已知中，已知AB= =3 , 3 , AC= =2 , 2 , D为为BC边上的点，且边上的点，且BD=2=2DC,求求 的值．的值．AD BCABCDAC-AB=AB+ (AC-AB)= AC+ ABAD BC=( )( )AD=AB+BD=AB+ BCBC=AC-AB解解: :所以所以 AC+ AB变式变式2 2．如图在．如图在 中，已知中，已知AB= =3 , 3 , AC= =2 , 2 , D,E为为BC边上的点，且边上的点，且BE=ED= =DC,求求 的值．的值．AD AEABCDE略解略解: :ADBC=( )( ) AC+ AB AC- AB变式变式3 3．如图在长方形．如图在长方形ABCD中，已知中，已知AB= =4,4,BC= =2 ,2 ,M,N,P为长为长方形边上的中点方形边上的中点, ,Q是边是边CD上的点上的点, ,且且CQ=3DQ,求求 的值的值．．MQ NPBCDAMQNP同学们不仿试试同学们不仿试试, ,仿照上述例题自己编题解答仿照上述例题自己编题解答. .所以所以略解略解: :NP= AD+ ABMQ= AD+ AB例例7 7．如图．如图, ,平面上有三个向量平面上有三个向量 , , , = =1,, , , = =1, = = ，， , ,若若 求求m+n的值．的值．OAOBOCOAOBOCOA+nOBOC=mDE分析分析: :本题主要考查平面向量基本题主要考查平面向量基本定理及实数与和量的积本定理及实数与和量的积. .解答一解答一: :延长延长AO, ,BO, ,作平行四边形作平行四边形ODCE, ,使使OC为对角线为对角线,则有则有:OC因为因为 , ,所以所以OD=2,=2,OE=4, =4, OD+OE=-2-2OC=所以所以 OA-4OB所以所以 m+n=-6 -6 OABC解答二解答二: :建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系. .xy由已知可设由已知可设 =(1,0), = ,=(1,0), = ,OAOBOC=由由 得得, ,OA+nOBOC=m所以所以 即即所以所以m+n=- -6.6.1.1.熟练向量运算法则及运算律是解答向量问题的关键熟练向量运算法则及运算律是解答向量问题的关键; ;2.2.灵活运用平面向量基本定理灵活运用平面向量基本定理, ,将平面上的任一向量用平将平面上的任一向量用平面上的两个不共线的向量线性表示是解题的突破口面上的两个不共线的向量线性表示是解题的突破口; ;3.3.利用向量及其运算的几何意义利用向量及其运算的几何意义, ,可使问题直观明了可使问题直观明了. .小结小结: :。