第五章代数系的一般性质.ppt

第5章 代数系统•代数系统的基本概念1.二元运算二元运算:设A是非空集合，从笛卡尔积A×A×…×A到A的映射f称为集合A上的n元运算简称为n元运算元运算当n=2时，f称为集合A上的二元运算二元运算 在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、“∘”等设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c例】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规定为：m,nN， m∗n=min{m,n} m∘n=max{m,n}则∗和∘是N上的二元运算2.代代数数系系统统:一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算∗1,∗2,…,∗k所组成的系统称为一个代数系统代数系统，记作 根据定义，一个代数系统需要满足下面两个条件： ①有一个非空集合A ②有一些定义在集合A上的运算 集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要素，缺一不可 【例】设B是一个集合，A=P(B)是A幂集合。

集合的求补运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元运算于是构成一个代数系统，该代数系常称为集合代数例】设R-{0}是全体非零实数集合，*是R-{0}上二元运算，定义为：a,b R-{0}，a*b=b则是代数系统•二元运算的性质1.交交换换律律: 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的a,bA，有a∗b=b∗a，则称二元运算∗在A上是可交换的，也称二元运算*在A上满足交换律 2.结结合合律律: 设*是非空集合A上的二元运算，如 果 对 于 任 意 的 a,b,cA， 有(a*b)*c=a*(b*c)，则称二元运算*在A上是可结合的，也称二元运算∗在A上满足结合律3.分配律分配律: 设*和∘是非空集合A上的两个二元运算，如果对于任意a,b,cA，有a*(b∘c)=(a*b)∘(a*c) (左分配律)(b∘c)*a=(b*a)∘(c*a) (右分配律)则称运算*对运算∘是可分配的也称运算*对运算∘满足分配律4.吸收律吸收律: 设*和∘是非空集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于任意a,bA，有a*(a∘b)=aa∘(a*b)=a则称运算∗和运算∘满足吸收律。

 5.幂等律幂等律: 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意的aA，有a∗a=a，则称运算*是幂等的或运算∗满足幂等律如果A的某个元素a满足a∗a=a，则称a为运算*的幂等元幂等元•特殊元素1.幺元幺元: 设∗是定义在集合A上的二元运算，如果有一个elA，对于任意的aA，有el ∗ a=a，则称el为A中关于运算∗的左单位元左单位元或左幺元左幺元；如果有一个erA，对于任意的aA，有a ∗ er=a，则称er为A中关于运算∗的右单位元右单位元或右幺元右幺元；如果在A中有一个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为A中关于运算∗的单位元单位元或幺元幺元 2.零元零元: 设∗是集合A上的二元运算，如果有一个θlA，对于任意的aA都有θl ∗a=θl，则称θl为A中关于运算∗的左零元左零元；如果有一个θrA，对于任意的aA，都有a∗θr=θr，则称θr为A中关于运算∗的右零元右零元；如果A中有一个元素θA，它既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于运算∗的零元零元3.逆元逆元: 设∗是集合A上的二元运算，e为A中关于运算∗的幺元如果对于A中的元素a存在着A中的某个元素b，使得b∗a=e，那么称b为a的左逆元左逆元；如果存在A中的某个元素b，使得a∗b=e，那么称b为a的右逆元右逆元；如果存在着A中的某个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b为a的逆元。

a的逆元记为a–1如果aA存在逆元a–1A，那么称a为可逆元可逆元 4.消去律消去律: 设∗是集合A上的二元运算，θ为A中关于运算∗的零元，a,b,cA，a≠θ如果 ⑴若a∗b=a∗c，便有b=c，则称运算∗满足左消去律，称a为运算∗的左可消元左可消元 ⑵若b∗a=c∗a，便有b=c，则称运算∗满足右消去律，称a为运算∗的右可消元右可消元若运算∗既满足左消去律又满足右消去律，则称运算∗满足消去律，称a为运算∗的可消元可消元•子代数和积代数子代数和积代数1.子代数子代数： 设V=是代数系统，BA如果∗1,∗2,…,∗k都在B上封闭，B和A含有相同的代数常数，则称代数系统是V的子代数系统，简称子子代数代数2.积积代代数数： 设V1=A,*和V2=B,∘是两个代数系统，其中*和∘是二元运算a1,b1A×B和a2,b2A×B，A×B上的二元运算△定义为： a1,b1△a2,b2=a1* a2, b1∘b2代数系统A×B,△称为V1到V2的积积代代数数或直直积积，记为V1×V2 . 【例】设V1=A,*和V2=B,∘是两个代数系统，其中A={a,b}，A上的二元运算*如表1所示，B={x,y,z}，B上的二元运算∘如表2所示。

试求V1×V2 表表1*abaabbba表表2◦xyzxxyzyyyzzzzz 解解：：V1×V2= A×B,△△ ，其中，其中 A×B={ a,x , a,y , a,z , b,x , b,y , b,z }，，二元运算二元运算△△如表如表3所示表表3△△•代数系统的同态和同构1.同态同态:设V1=和V2=是两个代数系统，∘和*分别是S1和S2上的二元运算， f是从S1到S2的一个映射，a1,a2 S1有 f (a1∘a2)＝f (a1)*f (a2)则称f为由代数系统V1到V2的一个同同态态映映射射，简称同同态态；把称为V1在f下的同同态态像像。