高考数学 理核按钮：第三章导数含解析.doc

第三章　导　　数§3.1　导数的概念及运算1.导数的概念(1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义.2.导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝，y＝x2，y＝x3的导数.(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.导数的几何意义是高考考查的重点内容之一，常以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中.导数的运算基本上每年都考，一般不单独设题，大都是在考查导数应用的同时考查.1.导数的概念(1)定义如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx，那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率，即＝.如果当Δx→0时，有极限，我们就说函数y＝f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或y ′，即f ′(x0)＝ ＝ .(2)导函数当x变化时，f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y＝f(x)的导函数有时也记作y ′，即f ′(x)＝y ′＝ .(3)求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法①求函数的增量Δy＝ ；②求平均变化率＝ ；③取极限，得导数f ′(x0)＝ .2.导数的意义(1)几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 .(2)物理意义函数S＝s(t)在点t0处的导数s ′(t0), 就是当物体的运动方程为S＝s(t)时，物体运动在t0时刻的瞬时速度v，即 .设v＝v(t)是速度函数，则v ′(t0)表示物体在t＝t0时刻的 .3.基本初等函数的导数公式(1)c ′＝ (c为常数)，(xα) ′＝ (α∈Q*)；(2)(sinx) ′＝______________，(cosx) ′＝ ；(3)(lnx) ′＝ ，(logax) ′＝ ；(4)(ex) ′＝ ，(ax) ′＝ .4.导数运算法则(1)[f(x)±g(x)] ′＝ .(2)[f(x)g(x)] ′＝ ；当g(x)＝c(c为常数)时，即[cf(x)] ′＝ .(3) ′＝ (g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 .即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【自查自纠】1.(1)可导　f ′(x0)(3)①f(x0＋Δx)－f(x0)　②2.(1)f ′(x0)　y－y0＝f ′(x0)(x－x0)(2)v＝s ′(t0)　加速度3.(1)0　αxα－1　(2)cosx　－sinx　(3)　(4)ex　axlna4.(1)f ′(x)±g ′(x)　(2)f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)　cf ′(x)(3)5.yx ′＝y ′u·u ′x　函数f(x)＝1的导函数是(　　)A．y＝0 B．y＝1 C．不存在 D．不确定解：常数函数的导函数是y＝f ′(x)＝0.故选A.　函数f(x)＝a3＋5a2x2的导数f ′(x)＝(　　)A．3a2＋10ax2 B．3a2＋10ax2＋10a2xC．10a2x D．以上都不对解：f ′(x)＝10a2x.故选C.　曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为(　　)A．1 B．2 C．e D.解：y ′＝ex，y ′|x＝0＝1，故选A.　()曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程为 .解：y ′＝3x2－1，当x＝1时，y ′＝2，此时切线斜率k＝2，故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.故填2x－y＋1＝0.　物体的运动方程是s＝－t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时速度为 .解：v(t)＝s ′(t)＝－t2＋4t，t＝3时，v＝3，故填3.类型一　导数的概念　设f(x)为可导函数，当x趋近于0时，趋近于－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)A．2 B．－1 C．1 D．－2解：＝，当x趋近于0时，－2x也趋近于0，∴y ′|x＝1＝－1，所以y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1.故选B. 【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx＝－2x.“y ′|x＝1”是指曲线在x＝1处的切线斜率．　已知f ′(0)＝2，则h趋近于0时，趋近于 .解：＝当h趋近于0时，3h也趋近于0.∴趋近于3f ′(0)＝6.故填6.类型二　导数的几何意义　已知曲线y＝x3＋.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；(2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解：(1)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为k＝x＝1，解得x0＝±1，故切点为，(－1，1)．故所求切线方程为y－＝x－1和y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.(2)∵y ′＝x2，且P(2，4)在曲线y＝x3＋上，∴在点P(2，4)处的切线的斜率k＝y ′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(3)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，又∵切线的斜率k＝y ′|x＝x0＝x，∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝xx－x＋.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.【评析】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f ′(x)；②求切线的斜率f ′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f ′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上.②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.　已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程；(2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(3)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程.解：(1)设切点坐标为(x0，y0)，∵f ′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴或∴切线方程为y＝4x－18或y＝4x－14.(2)∵f ′(x)＝3x2＋1，且(2，－6)在曲线f(x)＝x3＋x－16上，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13x－32.(3)解法一：设切点为(x0，y0)，∵直线l的斜率为f ′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，又∵直线l过原点(0，0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得x0＝－2，∴斜率k＝13.∴直线l的方程为y＝13x.解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则斜率k＝＝，又∵k＝f ′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，解得x0＝－2，∴k＝13.∴直线l的方程为y＝13x.类型三　求导运算　求下列函数的导数：(1)y＝5x2－4x＋1；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(3)y＝sin(πx＋φ)(其中φ为常数)；(4)y＝(x≠－2).解：(1)y ′＝10x－4；(2)y ′＝4x·(3x＋1)＋(2x2－1)·3＝18x2＋4x－3；(3)y ′＝cos(πx＋φ)·(πx＋φ) ′＝πcos(πx＋φ)；(4)y ′＝ ′＝－.【评析】求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．　求下列函数的导数：(1)y＝(x＋1)(x＋2)；(2)y＝(x≠0)；(3)y＝cos2x；(4)y＝ln(x＞－1).解：(1)y ′＝(x＋1) ′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2) ′＝x＋2＋x＋1＝2x＋3；(2)y ′＝＝；(3)y ′＝－sin2x·(2x) ′＝－2sin2x；(4)y ′＝[ln(x＋3)－ln(x＋1)] ′＝－＝－.1.弄清“函数在一点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x0处的导数f ′(x0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f ′(x)；(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在点x＝x0处的函数值.2.求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求 的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数f ′(x)，再将x0(x0∈(a，b))代入导函数f ′(x)，得f ′(x0).3.求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知，要先求出切点坐标.4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法.1.函数f(x)＝x3＋sin2x的导数f ′(x)＝(　　)A．x2＋cos2x B．3x2＋cos2xC．x2＋2cos2x D．3x2＋2cos2x解：f ′(x)＝3x2＋(2x) ′cos2x＝3x2＋2cos2x.故选D.2.已知f(x)＝(x－2)(x－3)，则f ′(2)的值为(　　)A．0 B．－1 C．－2 D．－3解：∵f ′(x)＝。