七年级数学上册培优辅导讲义(人教版)_小学教育-小学考试.pdf

1 新人教版七年级数学上册培优讲义 第 1 讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例 1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7 米⑵收人－50 元⑶体重增加－3 千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7 米表示向后 7 米⑵收入－50 元表示支出 50 元⑶体重增加－3 千克表示体重减小 3 千克. 【变式题组】 01．如果＋10% 表示增加 10% ，那么减少 8% 可以记作（ ） A． －18% B． －8% C． ＋2% D． ＋8% 02． （金华）如果＋3 吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出 5 吨大米表示为( ) A． －5 吨 B． ＋5 吨 C． －3 吨 D． ＋3 吨 03． （山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）. 如现在是北京时间 15：00，纽约时问是____ 【例２】在－227，π ，0，0.0 33.3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数； （2） 按整数、 分数分类， 有理数正整数整数 0负整数正分数分数负分数； 其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为 π ＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式， 所以 π 不是有理数， －227是分数，0.0 33.3是无限循环小数可以化成分数形式， 0 是整数， 所以都是有理数， 故选 C． 2 【变式题组】 01．在 7，0，15，－12，－301，31.25 ，－18，100，1，－3 001 中，负分数为，整数为，正整数 . 02． （河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15，－19，215，－138，0.1 ，－5.32 ，123, 2.333 【例３】 （宁夏）有一列数为－1，12，－13，14，－15，16，…，找规律到第 2007 个数是. 【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想， 然后进行验证. 解本题会有这样的规律： ⑴各数的分子部是 1； ⑵各数的分母依次为 1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第 2007个数的分子也是 1．分母是 2007，并且是一个负数，故答案为－12007. 【变式题组】 01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是 3＝2 ＋1，第二个数是 5＝3 ＋2，第三个数是 9＝5＋4，第四个数是 17＝9＋8…观察并猜想第六个数是. 02． （毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03． （茂名）有一组数 1，2，5，10，17，26…请观察规律，则第 8 个数为____. 【例４】 （2008 年河北张家口）若 1＋m2的相反数是－3，则 m 的相反数是____. 【解法指导】 理解相反数的代数意义和几何意义， 代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数. 几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝2, m＝4，则 m 的相反数－4。

【变式题组】 01． （四川宜宾）－5 的相反数是( ) A．5 B．15C． －5 D． －15 02．已知 a 与 b 互为相反数，c 与 d 互为倒数，则 a＋b＋cd＝______ 03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形 A、B、C 内分别填人适当的 数，使得它们折成正方体. 若相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形 A、B、C 内的 三个数依次为( ) A． － 1 ,2 ，0 B． 0 ，－2，1 C． －2，0，1 D． 2 ，1，0 【例５】 （湖北） a、 b 为有理数， 且 a＞0， b＜0， | b| ＞a， 则 a, b、 －a, －b 的大小顺序是( ) A．b＜－a＜a＜－bB． –a＜b＜a＜－b C． –b＜a＜－a＜bD． –a＜a＜－b＜b 【解法指导】 理解绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示 a 的点到原点的距离,表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环3 即 | a|, 用 式 子 表 示 为 | a| ＝0)0(0)(0)a aaa a(. 本 题 注 意 数 形 结 合 思 想 ， 画 一 条 数 轴标出 a、b, 依相反数的意义标出－b, －a, 故选 A． 【变式题组】 01．推理①若 a＝b，则| a| ＝| b| ；②若| a| ＝| b| ，则 a＝b；③若 a≠b，则| a|≠| b| ；④若 | a|≠| b| ，则 a≠b，其中正确的个数为（ ） A． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个 02．a、b、c 三个数在数轴上的位置如图，则| a|a＋| b|b＋| c|c＝. 03．a、b、c 为不等于 O 的有理数，则a| a|＋b| b|＋c| c|的值可能是____. 【例６】 （江西课改）已知| a－4| ＋| b－8| ＝0，则a+bab的值. 【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数 a 的绝对值都是非负数，即| a|≥0．所以 | a－4|≥0， | b－8|≥0.而两个非负数之和为 0，则两数均为 0. 解：因为| a－4|≥0， | b－8|≥0，又 | a－4| ＋| b－8| ＝0，∴| a－4| ＝0，| b－8| ＝0即 a－4＝0，b－8＝0，a＝4，b＝8. 故a+bab＝1232＝38 【变式题组】 01．已知| a| ＝1，| b| ＝2，| c| ＝3，且 a＞b＞c，求 a＋b＋C． 02． （毕节）若| m－3| ＋| n＋2| ＝0，则 m＋2n 的值为( ) A． －4 B． －1 C． 0 D． 4 03．已知| a| ＝8，| b| ＝2，且| a－b| ＝b－a，求 a 和 b 的值 【例７】 （第 18 届迎春杯）已知( m＋n)2＋| m| ＝m，且|2 m－n－2| ＝0．求 mn 的值． 【解法指导】本例的关键是通过分析( m＋n)2＋| m| 的符号，挖掘出 m 的符号特征, 从而把问题转化为( m＋n)2＝0，|2 m－n－2| ＝0，找到解题途径. 解：∵( m＋n)2≥0，| m|≥ O∴( m＋n)2＋| m|≥0，而 ( m＋n)2＋| m| ＝m ∴ m≥0,∴( m＋n)2＋m＝m，即( m＋n)2＝0 ∴m＋n＝O ①又∵|2 m－n－2| ＝0∴2m－n－2＝0 ② 由①②得 m＝23，n＝－23，∴ mn＝－49 【变式题组】 01．已知( a＋b)2＋| b＋5| ＝b＋5 且|2 a－b–1| ＝0，求 a－b． 02． （第 16 届迎春杯）已知 y＝| x－a| ＋| x＋19| ＋| x－a－96| ，如果 19＜a＜96．a≤x≤96,求 y 的最大值. 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环4 演练巩固·反馈提高 01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第 9 个数是( ) A．156B．172C．190D．1110 02． （芜湖）－6 的绝对值是( ) A． 6 B． －6 C．16D． －16 03．在－227, π ,8..0.3四个数中，有理数的个数为( ) A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 04．若一个数的相反数为 a＋b，则这个数是( ) A．a－bB．b－aC． –a＋bD． –a－b 05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是 6，这两个数是( ) A． 0 和 6 B．0 和－6 C． 3 和－3 D． 0 和 3 06．若－a 不是负数，则 a( ) A． 是正数 B． 不是负数 C． 是负数 D． 不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a＝b, 则| a| ＝| b| ②若 a＝－b, 则| a| ＝| b|③若 | a| ＝| b| ，则 a＝－b ④若| a| ＝| b|, 则 a＝b A． ①② B． ③④ C． ①④ D． ②③ 08．有理数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示, 则 a、b，－a，| b| 的大小关系正确 的是( ) A． | b| ＞a＞－a＞bB． | b| ＞b＞a＞－a C．a＞| b| ＞b＞－aD．a＞| b| ＞－a＞b 09．一个数在数轴上所对应的点向右移动 5 个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____. 10．已知| x＋2| ＋| y＋2| ＝0，则 xy＝____. 11．a、b、c 三个数在数轴上的位置如图，求| a|a＋| b|b＋| abc|abc＋| c|c= 12．若三个不相等的有理数可以表示为 1、a、a＋b 也可以表示成 0、b、ba的形式，试求 a、b 的值. 13．已知| a| ＝4，| b| ＝5，| c| ＝6，且 a＞b＞c，求 a＋b－c． 14．| a| 具有非负性，也有最小值为 0，试讨论：当 x 为有理数时，| x－1| ＋| x－3| 有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由. 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环5 15．点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为| AB| ．当 A、B 两点中有一点在原点时，不妨设点 A在原点，如图 1，| AB| ＝| OB| ＝| b| ＝| a－b| 当 A、B 两点都不在原点时有以下三种情况: ①如图 2，点 A、B 都在原点的右边| AB| ＝| OB| －| OA|＝| b| －| a| ＝b－a＝| a－b| ；②如图 3，点 A、B 都在原点的左边，| AB| ＝| OB| －| OA| ＝| b| －| a| ＝－b－( －a) ＝| a－b| ；③如图 4，点 A、B 在原点的两边，| AB| ＝| OB| －| OA|＝| b| －| a| ＝－b－（－a）＝| a－b| ；综上，数轴上 A、B 两点之间的距离| AB| ＝| a－b| ． 回答下列问题: ⑴数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是, 数轴上表示－2 和－5 的两点之间的距离是, ， 数轴上表示 1 和－3 的两点之间的距离是； ⑵数轴上表示 x 和－1 的两点分别是点 A 和 B，则 A、B 之间的距离是，如果| AB| ＝2，那么 x＝； ⑶当代数式| x＋1| ＋| x－2| 取最小值时，相应的 x 的取值范围是． 培优升级·奥赛检测 01． （重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为 199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( ) A． 1998 B． 1999 C． 2000 D． 2001 02． （第 18 届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数 a、b、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc＜0; ②| a－b| ＋| b－c| ＝| a－c| ；③（a－b）( b－c)( c－a) ＞0；④| a|＜1－bc．其中正确的结论有( ) A． 4 个 B．3 个 C．2 个 D． 1 个 03．如果 a、b、c 是非零有理数，且 a＋b＋c＝0．那么a| a|＋b| b|＋c| c| - abc| abc|的所有可能的值为（ ） A． －1 B． 1 或－1 C． 2或－2 D． 0或－2 04．已知| m| ＝－m，化简| m－1 | －| m－2| 所得结果( ) A．－1 B．1 C．2m －3 D．3－ 2 m 05．如果 0＜p＜15，那么代数式| x－p| ＋| x－15| ＋| x－p－15| 在 p≤x≤15 的最小值( ) A．30 B．0C． 15 D． 一个与 p 有关的代数式 06．| x＋1| ＋| x－2| ＋| x－3| 的最小值为. 07．若 a＞0，b＜0，使| x－a| ＋| x－b| ＝a－b 成立的 x 取值范围. 08． （武汉市选拔赛试题）非零整数 m、n 满足| m| ＋| n| －5＝0 所有这样的整数组( m，n)共有组 09．若非零有理数 m、n、p 满足| m|m＋| n|n＋| p|p＝1．则2mnp|3 mnp|＝. 10． （19 届希望杯试题）试求| x－1| ＋| x－2| ＋| x－3| ＋…＋| x－1997| 的最小值. 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环6 11．已知(| x＋1| ＋| x－2|) （| y－2| ＋| y＋1| ） （| z－3| ＋| z＋1| ）＝36，求 x＋2y＋3z 的最大值和最小值. 12．电子跳蚤落在数轴上的某点 k0，第一步从 k0向左跳 1 个单位得 k1，第二步由 k1向右跳 2 个单位到 k2， 第三步由 k2向左跳 3 个单位到 k3， 第四步由 k3向右跳 4 个单位到 k4…按以上规 律跳 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 k100新表示的数恰好 19.94 ，试求 k0所表示的数. 13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺次有电脑 15 台、7 台、11 台、3 台，14 台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数. 第 02 讲 有理数的加减法 考点·方法·破译 1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义. 2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算. 3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题. 4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和. 经典·考题·赏析 【例１】 （河北唐山）某天股票 A 开盘价 18 元，上午 11:30 跌了 1.5 元，下午收盘时又涨了 0.3 元，则股票 A这天的收盘价为（ ） A．0.3 元 B．16.2 元 C．16.8 元 D．18 元 【解法指导】 将实际问题转化为有理数的加法运算时， 首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值. 解：18＋（－1.5 ）＋（0.3 ）＝16.8 ，故选 C． 【变式题组】 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环7 13216411618141201． 今年陕西省元月份某一天的天气预报中， 延安市最低气温为－6℃， 西安市最低气温 2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（ ） A．8℃ B．－8℃ C．6℃ D．2℃ 02． （河南）飞机的高度为 2400 米，上升 250 米，又下降了 327 米，这是飞机的高度为__________ 03． （浙江）珠穆朗玛峰海拔 8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________ 【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15） 【解法指导】应用加法运算简化运算，－83 与－17 相加可得整百的数，＋26 与－26 互为相反数， 相加为 0， 有理数加法常见技巧有： ⑴互为相反数结合一起； ⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起. 解： （－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）] ＋[（＋26）＋（－26）] ＋15＝（－100）＋15＝－85 【变式题组】 01． （－2.5 ）＋（－312）＋（－134）＋（－114） 02． （－13.6 ）＋0.26 ＋（－2.7 ）＋（－1.06 ） 03．0.125 ＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25 ） 【例３】计算11111 22 33 42008 2009  【解法指导】依111(1)1n nnn 进行裂项，然后邻项相消进行化简求和. 解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009   ＝111111112233420082009       ＝112009＝20082009 【变式题组】 01．计算 1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100） 02．如图，把一个面积为 1 的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环8 -a-b0ba方形等分成两个面积为14的正方形， 再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256  ＝__________. 【例４】如果 a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（ ） A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－bC．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a 【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论. 解：∵a＜0，b＞0，∴a＋b 是异号两数之和又 a＋b＜0，∴a、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将 a、b、－a、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a＞b＞－b＞a 【变式题组】 01．若 m＞0，n＜0，且|m |＞|n |，则 m＋n ________ 0.（填＞、＜号） 02．若 m＜0，n＞0，且|m |＞|n |，则 m＋n ________ 0.（填＞、＜号） 03．已知 a＜0，b＞0，c＜0，且|c |＞|b |＞|a |，试比较 a、b、c、a＋b、a＋c 的大小 【例５】425－（－33311）－（－1.6 ）－（－21811） 【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算. 解：425－（－33311）－（－1.6 ）－（－21811）＝425＋33311＋1.6 ＋21811 ＝4.4 ＋1.6 ＋（33311＋21811）＝6＋55＝61 【变式题组】 01．21511()()()()( 1 )32632  02．434－（＋3.85 ）－（－314）＋（－3.15 ） 03．178－87.21 －（－43221）＋1531921－12.79 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环9 【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第 10 个数是多少？第 n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和. 【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第 n 个数的规律，再用其它的数来验证. 解：⑴第 10 个数为 7，第 n 个数为 25－2( n－1) ⑵∵n＝13 时，25－2(13 －1) ＝1，n＝14 时，25－2(14 －1) ＝－1 故这列数有 13 个数为正数，从第 14 个数开始就是负数. ⑶这列数中的正数为 25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169 【变式题组】 01．( 杭州) 观察下列等式 1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题. ⑴写出第 5 个等式；⑵第 10 个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？ 02．观察下列等式的规律 9－1＝8,16 －4＝12,25 －9＝16,36 －16＝20⑴用关于 n（n≥1 的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于 2008 时求 n. 【例７】 （第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋4950） 【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成 1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了. 解：设 S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（150＋250＋…＋4850＋4950） 则有 S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋ … ＋（4950＋4850＋…＋250＋150） 将原式的和倒序再相加得 2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋ … ＋（150＋表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环10 250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150） 即 2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49 (491)2＝1225 ∴S＝12252 【变式题组】 01．计算 2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210 02．（第8届希望杯试题） 计算 （1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004） （12＋13＋14＋…＋12003） 演练巩固·反馈提高 01．m 是有理数，则 m＋| m| （ ） A．可能是负数 B．不可能是负数 C．必是正数 D．可能是正数，也可能是负数 02．如果| a| ＝3，| b| ＝2，那么| a＋b| 为（ ） A． 5 B．1 C．1 或 5 D．±1 或±5 03．在 1，－1，－2 这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ） A． 1 B．0 C．－1 D．－3 04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ） A．两数一定都是正数 B．两数都不为 0 C．至少有一个为负数 D．至少有一个为正数 05．下列等式一定成立的是（ ） A．| x| － x＝0 B．－x－x＝0 C．| x| ＋| －x| ＝0 D．| x| －| x| ＝0 06． 一天早晨的气温是－6℃， 中午又上升了 10℃， 午间又下降了 8℃， 则午夜气温是 （ ） A．－4℃ B．4℃ C．－3℃ D．－5℃ 07．若 a＜0，则| a－(－a)| 等于（ ） A．－a B．0 C．2a D．－2a 08．设 x 是不等于 0 的有理数，则||||2xxx值为（ ） A．0 或 1 B．0 或 2 C．0 或－1 D．0 或－2 09． （济南）2＋( －2) 的值为__________ 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环11 10．用含绝对值的式子表示下列各式： ⑴若 a＜0，b＞0, 则 b－a＝__________，a－b＝__________⑵若 a＞b＞0， 则| a－b| ＝__________ ⑶若 a＜b＜0， 则 a－b＝__________ 11．计算下列各题： ⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4 ＋0.2 －0.6 ＋0.35 －0.25 ⑶－0.5 －314＋2.75 －712 ⑷33.1 －10.7 －（－22.9 ）－| －2310| 12．计算 1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99 13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从 A 地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离 A 地多远？⑵若每千米耗油 0.2 千克，问从 A地出发到收工时共耗油多少千克？ 14．将 1997 减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？ 15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为 1 的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等. 现有 90 个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出 10 个，加上正、负号，使它们的和等于－1 吗？ 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环12 培优升级·奥赛检测 01． （第 16 届希望杯邀请赛试题）1 23414 1524682830         等于（ ） A．14 B．14 C．12 D．12 02． 自然数 a、 b、 c、 d 满足21a＋21b＋21c＋21d＝1， 则31a＋41b＋51c＋61d等于 （ ） A．18 B．316 C．732 D．1564 03． （第 17 届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d 是互不相等的正整数，且 abcd＝441，则 a＋b＋c＋d 值是（ ） A．30 B．32 C．34 D．36 04． （第 7 届希望杯试题）若 a＝1995199519961996，b＝1996199619971997，c＝1997199719981998，则 a、b、c大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b 05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1 32 43 51998 200019992001的值得整数部分为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 06．( －2)2004＋3×( －2)2003的值为（ ） A．－22003 B．22003 C．－22004 D．22004 07． （希望杯邀请赛试题）若| m| ＝m＋1，则(4 m＋1)2004＝__________ 08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求 32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知( a＋b)2＋| b＋5| ＝b＋5，且|2 a－b－1| ＝0，求 ab 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环13 256320152010512 161584124109826543215343332313 13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1) 14．请你从下表归纳出 13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出 13＋23＋33＋43＋…＋1003的值. 第 03 讲 有理数的乘除、乘方 考点·方法·破译 1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算. 2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算. 3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算. 4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算. 5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算. 经典·考题·赏析 【例１】计算⑴11()24 ⑵1124 ⑶11()()24  ⑷25000 ⑸3713()()(1 )()5697   【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积. 解：⑴11111()()24248   ⑵11111()24248  ⑶11111()()()24248   ⑷250000  表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环14 ⑸3713371031()()(1 )()()569756973       【变式题组】 01．⑴( 5)( 6)  ⑵11() 124  ⑶( 8)(3.76)( 0.125)  ⑷( 3)( 1)2 ( 6)0 ( 2)      ⑸111112 (2111)42612  2．24( 9)5025 3．1111(23 4 5)()2345      4．111( 5)32 3( 6)3333    【例２】已知两个有理数 a、b，如果 ab＜0，且 a＋b＜0，那么（ ） A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0 C．a、b 异号 D．a、b 异号且负数的绝对值较大 【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故 a、b 异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断. 解：由 ab＜0 知 a、b 异号，又由 a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选 D． 【变式题组】 01．若 a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（ ） A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞0 02．已知 a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则 a___________0，b___________0，|a|_________|b|. 03．( 山东烟台) 如果 a＋b＜0，0ba，则下列结论成立的是（ ） A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 04．( 广州) 下列命题正确的是（ ） A．若 ab＞0，则 a＞0，b＞0 B．若 ab＜0，则 a＜0，b＜0 C．若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0 D．若 ab＝0，则 a＝0 且 b＝0 【例３】计算 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环15 ⑴( 72)( 18) ⑵11 ( 2 )3 ⑶13()()1025 ⑷0 ( 7) 【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则 1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算. 若能整除，应用法则 2，可直接确定符号，再把绝对值相除. 解：⑴( 72)( 18)72 184 ⑵17331 ( 2 )1 ()1 ()3377   ⑶131255()()()()10251036 ⑷0( 7)0  【变式题组】 01．⑴( 32)( 8) ⑵112( 1 )36 ⑶10( 2 )3 ⑷13( )( 1 )78 02．⑴12933  ⑵311()( 3 )( 1 )3524  ⑶530()35  03．113()(10.2)( 3)245   【例４】 （茂名）若实数 a、b 满足0abab，则abab＝___________. 【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出 a、b 的取值范围，进一步代入结论得出结果. 解：当 ab＞0，2(0,0)2(0,0)abababab；当 ab＜0，0abab，∴ab＜0，从而abab＝－1. 【变式题组】 01．若 k是有理数，则(|k|＋k)÷ k的结果是（ ） A．正数 B．0 C．负数 D．非负数 02．若 A．b 都是非零有理数，那么abababab的值是多少？ 03．如果0xyxy，试比较xy与xy的大小. 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环16 【例５】已知223( 2) ,1xy ⑴求2008xy的值； ⑵求32008xy的值. 【解法指导】na表示 n 个 a 相乘，根据乘方的符号法则，如果 a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果 a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 解：∵223( 2) ,1xy ⑴当2,1xy 时，200820082( 1)2xy  当2,1xy  时，20082008( 2)( 1)2xy   ⑵当2,1xy 时，332008200828( 1)xy,2,1xy  时，3320082008( 2)8( 1)xy  【变式题组】 01． （北京）若2(2)0mnm ，则nm的值是___________. 02．已知 x、y 互为倒数，且绝对值相等，求()nnxy的值，这里 n 是正整数. 【例６】（安徽） 2007 年我省为 135 万名农村中小学生免费提供教科书， 减轻了农民的负担，135 万用科学记数法表示为（ ） A．0.135 ×106B．1.35 ×106C．0.135 ×107D．1.35 ×107 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的 a×10n 的形式，其中 a 的整数位数是 1 位. 故答案选 B． 【变式题组】 01． （武汉）武汉市今年约有 103000 名学生参加中考，103000 用科学记数法表示为（ ） A．1.03 ×105B．0.103 ×105C．10.3 ×104D．103×103 02． （沈阳）沈阳市计划从 2008 年到 2012 年新增林地面积 253 万亩，253 万亩用科学记数法表示正确的是（ ） A．25.3 ×105亩 B．2.53 ×106亩 C．253×104亩 D．2.53 ×107亩 【例７】 （上海竞赛） 222222221299110050002200500010050009999005000kkk   【解法指导】找出21005000kk的通项公式＝22(50)50k  原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50kk   ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50  表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环17 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50＝49222+1 个＝99 【变式题组】 13333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006 A．31003B．31004C．1334D．11000 2 ．（ 第10届 希 望 杯 试 题 ） 已 知111111111.2581120411101640  求111111112581120411101640   的值. 演练巩固·反馈提高 01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．1 个或 3 个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ） A．互为相反数 B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数 C．都是负数 D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知 abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（ ） A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0 04．若| ab| ＝ab，则（ ） A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜0 05．若 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值为 2，则代数式abmcdm的值为（ ）A．－3 B．1 C．±3 D．－3 或 1 06．若 a＞1a，则 a 的取值范围（ ） A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0 或 a＞1 07．已知 a、b 为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④1ab ，其中能判断 a、b 互为相反数的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环18 08．若 ab≠0 ，则abab的取值不可能为（ ） A．0 B．1 C．2 D．－2 09．1110( 2)( 2)的值为（ ） A．－2 B．( －2)21C．0 D．－210 10．( 安徽)2010 年一季度，全国城镇新增就业人数 289 万人，用科学记数法表示 289 万正确的是（ ） A．2.89 ×107B．2.89 ×106C．2.89 ×105D．2.89 ×104 11．已知 4 个不相等的整数 a、b、c、d，它们的积 abcd＝9，则 a＋b＋c＋d＝___________. 12．21221( 1)( 1)( 1)nnn（n 为自然数）＝___________. 13．如果2xyxy，试比较xy与 xy 的大小. 14．若 a、b、c 为有理数且1abcabc，求abcabc的值. 15．若 a、b、c 均为整数，且321abca . 求accbba    的值. 培优升级·奥赛检测 01．已知有理数 x、y、z 两两不相等，则,,xy yz zxyz zx xy中负数的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．0 个或 2 个 02．计算12345211,213,217,2115,2131     归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021的个位数字是（ ） A．1 B．3 C．7 D．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（ ） A．abcde＜0 B．ab2cd4e＜0 C．ab2cde＜0 D．abcd4e＜0 04． 若有理数 x、y 使得,,,xxy xy xyy这四个数中的三个数相等， 则| y| －| x| 的值是 （ ） A．12B．0 C．12D．32 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环19 05．若 A＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)，则 A－1996 的末位数字是（ ） A．0 B．1 C．7 D．9 06．如果20012002()1,()1abab ，则20032003ab的值是（ ） A．2 B．1 C．0 D．－1 07．已知5544332222 ,33 ,55 ,66abcd，则 a、b、c、d 大小关系是（ ） A．a＞b＞c＞dB．a＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．a＞d＞b＞c 08． 已知 a、b、c 都不等于 0， 且abcabcabcabc的最大值为 m， 最小值为 n， 则2005()mn＝___________. 09． （第 13 届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________. 第一组：15,3 ,4.25,5.753第二组：1 12,3 15第三组：52.25,, 412 10．一本书的页码从 1 记到 n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和 2002，这个被加错了两次的页码是多少？ 11． （湖北省竞赛试题）观察下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，23，42，51，16，…(＊) ，在(＊) 中左起第 m 个数记为 F(m)，当 F(m)＝12001时，求 m 的值和这 m 个数的积. 12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列 9 个数：1 1,,1,2,4,8,16,32,644 2填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求 x 的值. 32 x 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环20 64 13．( 第 12 届“华杯赛”试题) 已知 m、n 都是正整数，并且 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233Amm   111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233Bnn   证明：⑴11,;22mnABmn ⑵126A B ，求 m、n 的值. 第 04 讲 整式 考点·方法·破译 1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念. 2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式. 4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值. 经典·考题·赏析 【例 1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数. (1)ᵆ + 1 (2)1ᵆ(3)ᵰᵅ2(4) −32ᵄ2ᵄ 【解法指导】 理解单项式的概念: 由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为 0，π 是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数. 解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与 x 的商； ⑶是，它的系数为π，次数为 2；⑷是，它的系数为32，次数为 3. 【变式题组】 01．判断下列代数式是否是单项式 (1)ᵄ (2) −12(3)1 + ᵆ2(4)ᵆᵰ(5)ᵆᵆ (6)2ᵰᵆ 02．说出下列单项式的系数与次数 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环21 (1) −23ᵆ2ᵆ (2)ᵅᵅ (3)5ᵄ2(4) −72ᵄᵄ2ᵅ 【例２】如果2ᵆᵅᵆ4与12ᵅ2ᵆ2ᵆ|ᵅ−ᵅ |都是关于 x、y 的六次单项式且系数相等，求 m、n 的值. 【解法指导】 单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对 x 或 y 或 x、y 等是有区别的，该题是针对 x 与 y 而言的，因此单项式的次数指 x、y 的指数之和，与字母 m 无关，此时将 m 看成一个要求的已知数. 解：由题意得ᵅ+ 4 = 6,2 + |ᵅ−ᵅ | = 6,2 =12ᵅ2 ∴ᵅ= −2,ᵅ= 2 【变式题组】 01．一个含有 x、y 的五次单项式，x 的指数为 3. 且当 x＝2, y＝－1 时，这个单项式的值为32，求这个单项式. 02． （毕节）写出含有字母 x、y 的五次单项式______________________. 【例３】 已知多项式−45ᵆ2ᵆ2+23ᵆ4ᵆ3−ᵆᵆ + 1 ⑴这个多项式是几次几项式？ ⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？ 【解法指导】 n 个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数. 解：⑴这个多项式是七次四项式；(2) 最高次项是23ᵆ4ᵆ3,二次项系数为－1，常数项是 1. 【变式题组】 01．指出下列多项式的项和次数 ⑴ᵄ3−ᵄ2ᵄ + ᵄᵄ2−ᵄ3 (2)3ᵅ4−2ᵅ2+ 1 02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项 ⑴ᵆ3+ ᵆ2−ᵆ −2 (2)−4ᵆ3−ᵆ2+ ᵆ −4 【例４】多项式7ᵆᵅ+ ᵅᵆ2−(3ᵅ+ 1)ᵆ + 5是关于 x 的三次三项式，并且一次项系数为－7.求 m+n－k的值 【解法指导】 多项式的次数是单项式中次数最高的次数， 单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数. 解：因为7ᵆᵅ+ ᵅᵆ2−(3ᵅ+ 1)ᵆ + 5是关于 x 的三次三项式，依三次知 m＝3，而一次项系数为－7， 即－ （3n+1）＝－7，故 n＝2. 已有三次项为7ᵆ3, 一次项为－7x， 常数项为 5，又多项式为三次三项式，故二次项的系数 k＝0，故 m+n－k＝3+2－0＝5. 【变式题组】 01．多项式3ᵆ|ᵅ|ᵆ2+ (ᵅ+ 2)ᵆ2ᵆ −1是四次三项式，则 m 的值为（ ） A．2 B．－2 C．± 2 D．± 1 02．已知关于 x、y 的多项式ᵄᵆ2+ 2ᵄᵆᵆ+ ᵆ2−ᵆ −2ᵆᵆ + ᵆ 不含二次项，求 5a－8b 的值. 03． 已知多项式−56ᵆ2ᵆᵅ+2+ ᵆᵆ2−12ᵆ3+ 6是六次四项式， 单项式23ᵆ3ᵅᵆ5−ᵅᵆ 的次数与这个多项式的次数相同，求 n 的值. 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环22 【例５】 已知代数式3ᵆ2−2ᵆ+ 6的值是 8, 求32ᵆ2−ᵆ + 1的值. 【解法指导】 由3ᵆ2−2ᵆ+ 6 = 8，现阶段还不能求出 x 的具体值，所以联想到整体代入法. 解：由3ᵆ2−2ᵆ+ 6 = 8得由3ᵆ2−2ᵆ= 2 32ᵆ2−ᵆ + 1 =12（3ᵆ2−2ᵆ+ 2) =12×(2 + 2) = 2 【变式题组】 01．( 贵州) 如果代数式－2a+3b+8 的值为 18，那么代数式 9b－6a+2 的值等于（ ） A．28 B．－28 C．32 D．－32 02． （同山）若ᵄ2+ ᵄ= 0, 则2ᵄ2+ 2ᵄ+ 2008 的值为_______________. 03． （潍坊）代数式3ᵆ2−4ᵆ+ 6的值为 9, 则ᵆ2−43ᵆ + 6的值为______________. 【例６】 证明代数式16 + ᵅ−{8ᵅ−[ᵅ−9 −(3 −6ᵅ)]}的值与 m 的取值无关. 【解法指导】证代数式的值与 m 的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可. 证明：原式＝16 + m −8m + [m −9 −(3 −6m) ] = 16 + m −8m + m −9 −3 + 6m = 4 ∴无论 m 的值为何，原式值都为 4. ∴原式的值与 m 的取值无关. 【变式题组】 01．已知ᵃ= 2ᵆ2+ 3ᵄᵆ −2ᵆ−1,ᵃ= −ᵆ2+ ᵄᵆ −1, 且3ᵃ+ 6ᵃ 的值与 x 无关，求 a 的值. 02．若代数式(ᵆ2+ ᵄᵆ −2ᵆ+ 7) −(ᵄᵆ2−2ᵆ+ 9ᵆ−1)的值与字母 x 的取值无关，求 a、b的值. 【例７】 （北京市选拔赛）同时都含有 a、b、c，且系数为 1 的七次单项式共有（ ） A．4 B．12 C．15 D．25 【解法指导】 首先写出符合题意的单项式ᵄᵆᵄᵆᵅᵆ,x、y、z 都是正整数，再依 x+y+z＝7 来确定 x、y、z 的值. 解： ᵄᵆᵄᵆᵅᵆ为所求的单项式， 则 x、 y、 z 都是正整数， 且 x+y+z＝7.当 x＝1 时， y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当 x＝2 时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当 x＝3 时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4 时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5 时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为 5+4+3+2+1＝15，故选 C． 【变式题组】 01．已知 m、n 是自然数，ᵄᵅ−3ᵄ2ᵅ −17ᵄ2ᵄᵅ−3ᵅ4+112ᵄᵅ+1ᵄᵅ−1ᵅ 是八次三项式，求 m、n 值. 02．整数 n＝___________时，多项式5ᵆᵅ+2−2ᵆ2−ᵅ+ 2是三次三项式. 演练巩固·反馈提高 01．下列说法正确的是（ ） A．ᵆ−ᵆ2是单项式 B．3ᵆ2ᵆ3ᵆ 的次数为 5C．单项式ᵄᵄ2系数为 0D．ᵆ4−1是四次二项式 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环23 02．a 表示一个两位数，b 表示一个一位数，如果把 b 放在 a 的右边组成一个三位数. 则这个三位数是（ ）A．100b+a B．10a+b C．a+bD．100a+b 03．若多项式2y2+ 3x的值为 1，则多项式4ᵆ2+ 6ᵆ−9的值是（ ） A．2 B．17 C．－7 D．7 04．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为 n 元，降低 m元后，又降低 20% ，那么该电脑的现售价为（ ） A．(15ᵅ+15ᵅ) 元B．(45ᵅ−45ᵅ) 元C．(1 −15ᵅ) 元D．(15ᵅ−ᵅ) 元 05．若多项式ᵅ (ᵅ −1)ᵆ2−ᵅᵆ + ᵆ −3是关于 x 的一次多项式，则 k的值是（ ） A．0 B．1 C．0 或 1 D．不能确定 06．若（1 −ᵅ2)ᵆᵅᵆ3是关于 x、y 的五次单项式，则它的系数是____________. 07． 电影院里第 1 排有 a 个座位， 后面每排都比前排多 3 个座位， 则第 10 排有_____个座位. 08．若3ᵄᵅᵄ3+ 4ᵄᵅ+1ᵄᵅ+2= 7ᵄᵆ+1ᵄᵆ, 则代数式 xy+mn 值为________. 09．一项工作，甲单独做需 a 天完成，乙单独做需 b 天完成，如果甲、乙合做 7 天完成工作 量是____________. 10．( 河北) 有一串单项式ᵆ, −2ᵆ2,3ᵆ3,−4ᵆ4,⋯,−10ᵆ10,⋯(1) 请你写出第 100 个单项式；⑵请你写出第 n 个单项式. 11． （安徽）一个含有 x、y 的五次单项式，x 的指数为 3, 且当 x＝2，y＝－1 时，这个单项式值为 32，求这个单项式. 12． （天津）已知 x＝3 时多项式ᵄᵆ3+ ᵄᵆ + 5的值为－1，则当 x＝－3 时这个多项式的值为多少？ 13．若关于 x、y 的多项式2x2y −23x3y4+ (2a −3)x3y5与多项式−ᵆ2ᵄᵆ4+ 3ᵆ2ᵆ −1的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求 a－b 的值. 14．某地拨号入网有两种方式，用户可任取其一. A：计时制：0.05 元/分 B：包月制：50 元/月（只限一部宅电上网）. 此外，每种上网方式都得加收通行费 0.02 元/ 分. ⑴某用户某月上网时间为 x 小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2) 若某用户估计一个月内上网时间为 20 小时，你认为采用哪种方式更合算. 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环24 培优升级·奥赛检测 01． （扬州）有一列数ᵄ1、ᵄ2、ᵄ3⋯ᵄᵅ, 从第二个数开始，每一个数都等于 1 与它前面那个数的倒数的差. 若ᵄ1= 2, 则ᵄ2007为（ ） A．2007 B．2 C．12D．－1 02． （华师一附高招生）设记号*表示求 a、b 算术平均数的运算，即a ∗ b =a+b2, 则下列等式中对于任意实数 a、b、c 都成立的是（ ） ①ᵄ + (ᵄ ∗ ᵅ ) = (ᵄ + ᵄ ) ∗ (ᵄ+ ᵅ) ②ᵄ ∗ (ᵄ + ᵅ ) = (ᵄ + ᵄ ) ∗ ᵅ ③ᵄ ∗ (ᵄ + ᵅ ) = (ᵄ ∗ ᵄ ) + (ᵄ∗ ᵅ) ④(ᵄ ∗ ᵄ ) + ᵅ =ᵄ2+ (ᵄ∗ 2ᵅ) A．①②③B．①②④C．①③④D．②④ 03． 已知−1< ᵄ< 0,0 < ᵄ< 1, 那么在代数式ᵄ−ᵄ, ᵄ+ ᵄ, ᵄ + ᵄ2,ᵄ2+ ᵄ 中， 对任意的 a、 b，对应的代数式的值最大的是（ ） A．ᵄ −ᵄ B．ᵄ + ᵄ C．ᵄ + ᵄ2D．ᵄ2+ ᵄ 04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大 1 米，需增加 m 米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大 1 米，需增加 n 米长的铁丝，则 m 与 n 大小关系（ ） A．m＞nB．m＜nC．m＝n D．不能确定 05． （广安）已知4ᵅ= ᵄ, 4ᵅ= ᵄ, 则42ᵅ+ᵅ−1=_____________. 06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过 3 天，每天租金 a 元，租期超过 3 天，从第 4 天开始每天另加收 b 元，如果租看 1 本书 7 天归还，那么租金为____________元. 07．已知ᵄ −ᵄ= 2004, ᵄ −ᵅ = 2005, ᵅ −ᵅ= 2007. 则(ᵄ−ᵅ)(ᵄ−ᵅ)ᵄ−ᵅ＝_____________. 08．有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，|a + b| + |c −a| + |b −c|化简后的结果是______________. 09．已知−ᵅ+ 2ᵅ= 5,则 5(ᵅ −2ᵅ)2+ 6ᵅ= 3ᵅ−60＝______________. 10． （全国初中数学竞赛）设 a、b、c 的平均数为 M,a、b 的平均数为 N,又 N、c 的平均数为 P，若 a＞b＞c，则 M 与 P 大小关系______________. 11． (资阳)如图， 对面积为 1 的△ABC 逐次进行以下操作： 第一次操作， 分别延长 AB， BC，CA 至点 A1，B1，C1，使得 A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接 A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为 S1；第二次操作，分别延长 A1B1，B1C1，C1A1至点 A2，B2，C2，使得 A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接 A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为 S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积 S5＝________________． 12． （安徽）探索 n×n 的正方形钉子板上(n 是板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当 n＝2 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 1 与2，表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环25 所以不同长度值的线段只有 2 种， 若用 S 表示不同长度值的线段种数， 则 S＝2； 当 n＝3 时，钉子板上所连不同线段的长度值只有 1，2， 2，5， 22五种， 比 n＝2 时增加了 3 种，即 S＝2+3＝5. 1.观察图形，填写下表： 2.写出(n－1)× (n－1)和 n× n 的两个钉子板上， 不同长度值的线段种数之间的关系； (用式子或语言表述均可) 3.对 n×n 的钉子板，写出用 n 表示 S 的代数式. 13． （青岛） 提出问题： 如图①， 在四边形 ABCD 中， P 是 AD 边上任意一点， △ PBC 与△ ABC和△ DBC 的面积之间有什么关系？ 探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手： ⑴当 AP＝12AD 时（如图②） ： ∵AP＝12AD，△ ABP 和△ ABD 的高相等， ∴S△ ABP＝12S△ ABD． ∵PD＝AD－AP＝12AD，△ CDP 和△ CDA 的高相等， ∴S△ CDP＝12S△ CDA． ∴S△ PBC ＝S四边形ABCD－S△ ABP－S△ CDP＝S四边形ABCD－12S△ ABD－12S△ CDA ＝S四边形ABCD－12(S四边形ABCD－S△ DBC)－12(S四边形ABCD－S△ ABC)＝12S△ DBC＋12S△ ABC ． 钉子数(n×n) S 值 2× 2 2 3× 3 2+3 4× 4 2＋3＋( ) 5× 5 ( ) n=2 n=3 n=4 n=5 图①PDCBAABCDP图②表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环26 ⑵当 AP＝13AD 时，探求 S△ PBC与 S△ ABC和 S△ DBC之间的关系，写出求解过程； ⑶当 AP＝16AD 时，S△ PBC与 S△ ABC和 S△ DBC之间的关系式为：________________； ⑷一般地， 当 AP＝1nAD（n 表示正整数）时， 探求 S△ PBC与 S△ ABC和 S△ DBC之间的关系，写出求解过程； 问题解决：当 AP＝mnAD（0≤mn≤1 ）时，S△ PBC与 S△ ABC和 S△ DBC之间的关系式为：___________． 第 05 讲 整式的加减 考点·方法·破译 1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算. 2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算. 3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征. 经典·考题·赏析 【例１】 （济南）如果3231yxa和1233-byx是同类项，那么 a、b 的值分别是（ ） A．21ba B．20ba C．12ba D．11ba 【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，且相同字母的指数是否相同有关. 解：由题意得31232ba，∴21ba 【变式题组】 01. （天津）已知 a＝2, b＝3, 则（ ） A．ax3y2与 bm3n2是同类项 B．3xay3与 bx3y3是同类项 C．Bx2a＋1y4与 ax5yb＋1是同类项 D．5m2bn5a与 6n2bm5a是同类项 02．若单项式 2X2ym与－31xny3是同类项，则 m＝___________，n＝___________. 03．指出下列哪些是同类项 ⑴a2b 与－ab2⑵xy2与 3y2x(3) m－n 与 5（n－m） ⑷5ab 与 6a2b 【例２】若多项式合并同类项后是三次二项式，则 m 应满足的条件是___________. 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环27 【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变. 解：因为化简后为三次二项式，而 5x3＋3 已经为三次二项式，故二次项系数为 0，即－2m－2＝0, ∴m＝－1 【变式题组】 01. 计算：－（2x2－3x－1) －2( x2－3x＋5) ＋( x2＋4x＋3) 02．( 台州）31（2x－4y）＋2y03． （佛山）m－n－( m＋n) 【例３】 （泰州）求整式 3x2－5x＋2 与 2x2＋x－3 的差. 【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项． 解： （3x2－5x＋2) －（2x2＋x－3) ＝3x2－5x＋2－2x2－x＋3＝x2－6x＋5 【变式题组】 01．一个多项式加上－3x＋2xy 得 x2－3xy＋y2, 则这个多项式是___________． 02．减去 2－3x 等于 6x2－3x－8 的代数式是___________． 【例４】当 a＝43-，b＝21时，求 5（2a＋b)2－3(3 a＋2b)2＋2(3 a＋2b) 的值. 【解法指导】将（2a＋b)2， （3a＋2b) 分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值. 解：5（2a＋b)2－3(3 a＋2b) －3(2 a＋b)2＋2(3 a＋2b) ＝(5 －3)(2 a＋b)2＋(2 －3)(3 a＋2b) ＝2(2 a＋b)2－(3 a＋2b) ∵a＝43-，b＝21∴原式＝413 【变式题组】 01． （江苏南京）先化简再求值： （2a＋1)2－2(2 a＋1) ＋3, 其中 a＝2. 02．已知 a2＋bc＝14, b2－2bc＝－6, 求 3a2＋4b2－5bc． 【例５】证明四位数的四个数字之和能被 9 整除，因此四位数也能被 9 整除. 【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被 9 整除. 证明：设此四位数为 1000a＋100b＋10c＋d, 则 1000a＋100b＋10c＋d－（a＋b＋c＋d) ＝999a＋99b＋9c＝9(111 a＋11b＋c) ∵111a＋11b＋c 为整数，∴1000a＋100b＋10c＋d＝9(111 a＋11b＋c) ＋（a＋b＋c＋d) ∵9(111 a＋11b＋c) 与（a＋b＋c＋d) 均能被 9 整除 ∴1000a＋100b＋10c＋d 也能被 9 整除 【变式题组】 01．已知 a＜b＜c, 且 x＜y＜z, 下列式子中值最大的可能是（ ） A．ax＋by＋cz B．ax＋cy＋bz C．bx＋cy＋az D．bx＋ay＋cz 02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为 9 的倍数. 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环28 【例６】将（x2－x＋1)6展开后得 a12x12＋a11x11＋……＋a2x2＋a1x＋a0, 求 a12＋a10＋a8＋……＋a4＋a2＋a0的值. 【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有 x 项，如何消去 x 项，可采用赋特殊值法. 解：令 x＝1 得 a12＋a11＋……＋a1＋a0＝1 令 x＝－1 得 a12－a11＋a10－……－a1＋a0＝729 两式相加得 2（a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0）＝730 ∴a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0＝365 【变式题组】 01. 已知 （2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0(1) 当 x＝0 时， 有何结论; (2) 当 x＝1 时，有何结论;(3) 当 x＝－1 时，有何结论;(4) 求 a5＋a3＋a1的值. 02. 已知 ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝( x－2)4(1) 求 a＋b＋c＋d＋e. (2)试求 a＋c 的值. 【例７】( 希望杯培训题）已知关于 x 的二次多项式 a( x3－x2＋3x) ＋b(2 x2＋x) ＋x3－5, 当 x＝2 时的值为－17. 求当 x＝－2 时，该多项式的值. 【解法指导】设法求出 a、b 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含 a、b 的等式. 解：原式＝ax3－ax2＋3ax＋2bx2＋bx＋x3－5 ＝( a＋1) x3＋(2 b－a) x2＋(3 a＋b) x－5 ∵原式中的多项式是关于 x 的二次多项式∴0201aba ∴a＝－1 又当 x＝2 时，原式的值为－17. ∴(2 b＋1)22＋521-3b）（＝－17, ∴b＝－1 ∴原式＝－x2－4x－5∴当 x＝－2 时，原式＝－（－2）2－4（－2）－5＝－1 【变式题组】 01． （北京迎春杯）当 x＝－2 时，代数式 ax3－bx＋1＝－17. 则 x＝－1 时，12ax－3bx3－5＝___________． 02．( 吉林竞赛题）已知 y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e, 其中 a、b、c、d、e 为常数，当 x＝2, y＝23, x＝－2, y＝－35, 则 e 为（ ） A．－6 B． 6 C．－12 D．12 演练巩固·反馈提高 01． （荆州）若－3x2my3与 2x4yn是同类项，则nm的值是（ ） A．0 B．1 C．7 D．－1 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环29 02．一个单项式减去 x2－y2等于 x2＋y2, 则这个单项式是（ ） A．2x2 B．2y2 C．－2x2 D．－2y2 03．若 M 和 N 都是关于 x 的二次三项式，则 M＋N 一定是（ ） A．二次三项式 B．一次多项式 C．三项式 D．次数不高于 2 的整式 04． 当 x＝3 时， 多项式 ax5＋bx3＋cx－10 的值为 7. 则当 x＝－3 时， 这个多项式的值是 （ ） A．－3 B．－27 C．－7 D．7 05．已知多项式 A＝x2＋2y2－z2, B＝－4x2＋3y2＋2z2, 且 A＋B＋C＝0, 则多项式 c 为（ ） A．5x2－y2－z2 B．3x2－y2－3z2C．3x2－5y2－z2 D．3x2－5y2＋z2 06．已知3xy，则xyx3等于（ ）A．34 B．1 C．32 D．0 07．某人上山的速度为 a 千米/ 时，后又沿原路下山，下山速度为 b 千米/ 时，那么这个人上山和下山的平均速度是（ ） A．2ba 千米/ 时 B．2ab千米/ 时 C．abba2千米/ 时 D．baab2千米/ 时 08． 使 （ax2－2xy＋y2) －( －ax2＋bxy＋2y2) ＝6x2－9xy＋cy2成立的 a、 b、 c 的值分别是 （ ） A．３，７，１ B．－３，－７，－１C．３，－７，－１ D．－３，７，－１ 09．k＝___________时，多项式 3x2－2kxy＋3y2＋xy21－4 中不含ｘy 项． 10．( 宿迁）若 2a－b＝2, 则 6＋8a－4b＝___________ 11 某项工程， 甲单独做需 m 天完成， 甲乙合作需 n 天完成， 那么乙独做需要_______天完成． 12．x2－xy＝－3,2 xy－y2＝－8, 则 2x2－y2＝___________． 13．设ａ表示一个两位数，ｂ表示一个三位数，现在把ａ放ｂ的左边组成一个五位数，设为ｘ，再把ｂ放 a 的左边，也组成一个五位数，设为 y, 试问 x－y 能被 9 整除吗？请说明理由. 14．若代数式（x2＋ax－2y＋7) －( bx2－2x＋9y－1) 的值与字母 x 的取值无关，求 a、b 的值. 15．设 A＝x2－2xy－y2, B＝－2x2＋xy－y2, B＝－2x2＋xy－y2, 当 x＜y＜0 时，比较 A 与 B 的值的大小. 培优升级·奥赛检测 01．A是一个三位数，b 是一位数，如果把 b 置于 a 的右边，则所得的四位数是（ ） A．ab B．a＋bC．1000b＋a D．10a＋b 02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大 9，这样的两位数中，质数有（ ） 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环30 A．1 个 B．3 个 C．5 个 D．6 个 03．有三组数 x1, x2, x3; y1, y2, y3; z1, z2, z3, 它们的平均数分别是 a、b、c，那么 x1＋y1－z1, x2＋y2－z2, x3＋y3－z3的平均数是（ ） A．3cba B．3-cba C．A＋b－c D．3(a＋b－c) 04． 如果对于某一特定范围内 x 的任何允许值 P＝x21＋x3-1＋……＋x9-1＋x10-1的值恒为一常数，则此值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5 05． （江苏竞赛）已知 a＋b＝0, a≠0, 则化简) 1() 1(bbaaab得（ ） A．2a B．2bC．2 D．－2 06．如果 a 个同学在 b 小时内共搬运 c 块砖, 那么 c 个同学以同样速度搬 a 块砖，所需的小时数（ ） A．bac22 B．abc2C．2cab D．22cba 07．如果单项式 3xa＋2yb－2与 5x3ya＋2的和为 8x3ya＋2, 那么abba＝_________． 08．（第１６届 “希望杯” 邀请赛试题） 如果 x2＋2x＝3 则 x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝_________． 09．将 1,2,3 ……100 这 100 个自然数，任意分为 50 组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作 a, 另一个记作 b, 代入代数式21（baba）中进行计算，求出其结果，50 组数代入后可求的 50 个值，则这 50 个值的和的最大值时_________． 10．已知两个多项式 A和 B，A＝nxn＋4＋x3－n－x3＋x－3, B＝3xn＋4－x4＋x3＋nx2－2x－1, 试判断是否存在整数 n, 使 A－B 为五次六项式． 11．设 xyz 都是整数，且 11 整除 7x＋2y－5z. 求证：11 整除 3x－7y＋12z. 12． ( 美国奥林匹克竞赛题） 在一次游戏中， 魔术师请一个而你随意想一个三位数abc( a、 b、c 依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出 5 个数acb，bac，bca，cab与cba的和 N，把 N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc，现在设 N＝3194，请你当魔术师，求出abc来. 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环31 13．( 太原市竞赛题）将一个三位数abc的中间数去掉，成为一个两位数ac，且满足abc＝9ac＋4c（如 155＝915＋45）. 试求出所有这样的三位数. 第 06 讲 一元一次方程概念和等式性质 考点·方法·破译 1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析． 2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用． 经典·考题·赏析 【例１】下面式子是方程的是( ) A．x＋3 B． x＋y＜3 C．2x2＋3 ＝0 D．3＋4 ＝2＋5 【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2＋3 ＝0 是一个无解的方程，但它是方程，故选择 C． 【变式题组】 01 在①2x＋3y－1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－13x＝x＋1，④2x＋y＝3 中方程的个数是( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 02． （安徽合肥）在甲处工作的有 272 人，在乙处工作的有 196 人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的13， 应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处， 则下列方程正确的是( ) A． 272＋x＝13 (196－x) B．13 (272－x) ＝196 – x C．12×272 ＋x＝196－xD．13 (272 ＋x) ＝196－x 03．根据下列条件列出方程： ⑴3 与 x 的和的 2 倍是 14 ⑵x 的 2 倍与 3 的差是 5 ⑶x 的15与 13 的差的 2 倍等于 1 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环32 【例２】下列方程是一元一次方程的是( ) A．x2－2x－3＝0 B．2x－3y＝4 C．1x＝3 D．x＝0 【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是 1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择 D． 【变式题组】 01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x＋3 ＝17；③xy；④x＝2；⑤3x＝1；⑥3xx＝4x；⑦ （a＋b） c＝ac＋bc； ⑧ax＋b 其中等式有_______个； 一元一次方程有__________个． 02． （江油课改实验区）若（m－2）23mx＝5 是一元一次方程，则 m 的值为( ) A．±2 B．－2 C．2 D．4 03． （天津）下列式子是方程的是( ) A．3×6＝ 18 B．3x－8 c．5y＋6 D．y÷5＝1 【例 3】若 x＝3 是方程－kx＋x＋5 ＝0 的解，则 k的值是( ) A．8 B．3 C．83D．83 【解法指导】方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3 ＋5 ＝0，k＝83故选择 D． 【变式题组】 01． （海口）x＝2 是下列哪个方程的解( ) A．3x＝2x－1 B．3x －2x＋2 ＝0 C．3x －1 ＝2x＋1 D．3x＝2x－2 02． （自贡）方程 3x＋6 ＝0 的解的相反数是( ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 03． （上海）如果 x＝2 是方程112xa  的根，那么 a 的值是( ) A．0 B．2 C．－2 D．－6 04． （徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解： (1)某数的 3 倍比这个数大 4； (2)小明年龄的 3 倍比他的爸爸的年龄多 2 岁，小明爸爸 40 岁，问小明几岁？ (3)一个商店今年 8 月份出售 A 型电机 300 台，比去年同期增加 50%，问去年 8 月份出售 A型电机多少台？ 【例 4】 （太原）c 为任意有理数，对于等式12a＝2×0.25a 进入下面的变形，其结果仍然是表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环33 等式的是( ) A．两边都减去－3cB．两边都乘以1cC．两边都除以 2cD．左边乘以 2 右边加上 c 【解法指导】 等式的性质有两条： ①等式两边都加 （或减） 同一个数 （或式子） 结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等，故选择 A． 【变式题组】 01． （青岛）如果 ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是( ) A．ma＋1＝mb＋1 B．ma− 3＝mb− 3 C．12ma＝12mbD．a＝b 02． （大连）由等式 3a− 5 ＝2a＋b 得到 a＝11 的变形是( ) A．等式两边都除以 3 B．等式两边都加上（2a－5） C．等式两边都加上 5 D．等式两边都减去（2a－5） 03． （昆明）下列变形符合等式性质的是( ) A．如果 2x− 3 ＝7，那么 2x＝7− xB．如果 3x− 2＝x＋1，那么 3x− x＝1− 2 C．如果－2x＝5，那么 x＝－5＋2 D．如果－13x＝1，那么 x＝－3 【例 5】利用等式的性质解下列方程： ⑴ x＋7 ＝19 ⑵－5x＝30 ⑶－13x− 5 ＝4 ⑴解：两边都减去 7 得 x＋7 −7 ＝19 −7合并同类项得 x＝12 ⑵解：两边都乘以15得 x＝－6 ⑶解：两边都加上 5 得－13x− 5＋5 ＝4 ＋5 合并同类项得－13x＝9 两边都乘以－3 得 x＝－27 【解法指导】要使方程 x＋7 ＝19 转化为 x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的 7，因此要减 7，类似地考虑另两个方程如何转化为 x＝a 的形式． 【变式题组】 01． （黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是1v，回来的速度是2v，则他的平均速度为( ) A．122vvB．1 2122vvvvC．121 22vvvvD．1 212vvvv 02． （杭州）已知11xy 是方程 2x− ay＝3 的一个解，那么 a 的值是( ) A．1 B．3 C．－3 D．－1 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环34 03． （郑州）下列变形正确的是( ) A．由 x＋3＝4 得 x＝7 B．由 a＋b＝0，得 a＝b C．由 5x＝4x－2 得 x＝2 D．由6x＝0，得 x＝0 04． （南京）解方程2332x ( ) A．同乘以23B．同除以32C．同乘以－32D．同除以32 【例 6】 根据所给出的条件列出方程： 小华在银行存了一笔钱， 月利率为 2%， 利息税为 20%，5 个月后，他一共取出了本息 1080 元，问他存人的本金是多少元？（只列方程） 【解法指导】 生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型， 应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的 20%扣除作为税上交国家． 解：设他存入的本金是 x 元，则 5 个月的利息是 2%×5x＝0.1x 元，需交利息税 0.1x×20%＝0.02x 元，根据题意得：x＋0.1x− 0.02x＝ 1080． 【变式题组】 01． （甘肃）商场在促销活动中，将标价为 200 元的商品，在打八折的基础上，再打八折销售，则该商品现在售价是( ) A．160 元 B．128 元 C．120 元 D．8 元 02． （辽宁） 根据下列条件， 列出方程并解之： (1)某数的 5 倍减去 4 等于该数的 6 倍加上 7，求某数；(2)长方形的周长是 50 厘米，长与宽之比为 3∶2，求长方形面积， 【例 7】 （ “希望杯”邀请赛试题）已知 p、q 都是质数，并且以 x 为未知数的一元一次方程px＋5q＝97 的解是 1．求代数式 40p＋101q＋4 的值． 【解法指导】用代入法可得到 p、q 的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数． 解：把 x＝1 代入方程 px＋5q＝97，得 p＋5q＝97，故 p 与 5q 中必有一个数是偶数： (1)若 p＝2，则 Sq＝ 95，q＝19，40p＋l01q＋4 ＝40×2 ＋101×19 ＋4＝ 2003； (2)若 5q 为偶数，则 q＝2，p＝87，但 87 不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p＋l01q＋4的值为 2003. 【变式题组】 01． （广东省竞赛题）已知x＝3x＋1，则（64x2＋48x＋9）2009＝_______． 02． （第 18 届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数 a、b、c、d，定义新运算：abcd＝表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环35 ad− bc，已知241xx＝18，则 x＝( )A．－1 B．2 C．3 D．4 演练巩固 反馈提高 01．下面四个式子是方程的是( ) A．3 ＋2 ＝5 B．x＝2 C．2x− 5 D．a2＋2ab≠b2 02，下列方程是一元一次方程的是( ) A．x2− 2x− 3＝0 B．2x− 3y＝3 C．x2− x− 1＝x2＋1 D．110x  03． “x 的一半比省的相反数大 7”用方程表达这句话的意思是( ) A．12x＝7− xB．12x＋7 ＝− xC．12＋7 ＝xD．12＝x＋7 04． （石家庄）把 1200g 洗衣粉分别装入 5 个大小相同的瓶子中，除一瓶还差 15g 外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有 xg 洗衣粉，列方程为( ) A．5x＋15＝ 1200 B．5x－15 ＝1200 C．4x＋15＝ 1200 D．4（x＋15)＝1200 05．在方程①3x− 4 ＝7；②2x＝3；③5x− 2 ＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为 x＝1 的方程是( ) A．①②B．①③C．②④D．③④ 06．如果方程 2n＋b＝n− 1 的解是 n＝－4，那么 b 的值是( ) A．3 B．5 C．－5 D．－13 07．若“△”是新规定的某种运算符号，设 a△b＝a2＋b 则（－2）△x＝10 中 x 为( ) A．－6 B．6 C．8 D．－8 08． （武汉）小刚每分钟跑 am，用 6 分钟可以跑完 3000m，如果每分钟多跑 l0m，则可以提前 1 分钟跑完 3000m，下列等式不正确的是( ) A．(a＋10)(b－1) ＝abB． （a− 10)(b＋l) ＝3000 C．30001b＝a＋10 D．300010a ＝b− 1 09．已知关于 x 的方程(m＋2)xm＋4 ＝2m－1 是一元一次方程，则 x＝_______． 10．在数值 2，－3，4，－5 中，是方程 4x− 2＝ 10 ＋x 的解是_______． 11． （福州）已知34m− 1＝34n，试用等式的性质比较 m、n 的大小． 12.（西宁）已知方程 a− 2x＝－4 的解为 x＝4，求式子 a3− a2− a 的值． 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环36 13．三个连续自然数的和是 33，求这三个数． 14．某班有 70 人，其中会游泳的有 52 人，会滑冰的有 33 人，这两项都不会的有 6 人，这两项都会的有多少人？ 15．甲车队有司机 80 人，乙车队有 50 人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机到乙车队？ 培优升级 奥赛检测 01．下列判断中正确的是( ) A．方程 2x－3 ＝1 与方程 x(2x－3)＝x 同解， B．方程 2x－3 ＝1 与方程 x(2x－3)＝x 没有相同的解． C．方程 x(2x－3)＝x 的解是方程 2x－3 ＝1 的解． D．方程 2x− 3 ＝1 的解是方程 x(2x－3)＝x 的解． 02．方程20091 22 320092010xxx •••的解是 ( ) A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 03． （江苏省竞赛题）已知 a 是任意有理数，在下面各题中 (1)方程 ax＝0 的解是 x＝1 (2)方程 ax＝a 的解是 x＝1 (3)方程 ax＝1 的解是 x＝1a (4)a xa的解是 x＝±1 结论正确的的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3 04． （ “希望杯”邀请赛）已知关于 x 的一元一次方程(3a＋8b)x＋7 ＝0 无解，则 ab 是( ) A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 05． （第十一届 “希望杯” 邀请赛试题） 已知 a 是不为 0 的整数， 并且关于 x 的方程 ax＝2a3− 3 a2− 5a＋4 有整数解，则 a 的值共有( ) A．1 个 B．3 个 C．6 个 D．9 个 06． （ “祖冲之杯”邀请赛）方程5x＋（x− 5）＝0 的解的个数为( ) A．不确定 B．无数个 C．2 个 D．3 个 07． 若 x＝9 是方程123xa 的解， 则 a＝______； 又若当 a＝1 时， 则方程123xa 的解是______． 08．方程1322035yy  的解是_____，方程 3115xx  的解是_____． 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环37 09． （北京市“迎春杯”竞赛试题）已知39901995x＝1995，那么 x＝____． 10． （ “希望杯”邀请赛试题）已知2xx ，那么 19x99＋3x＋27 的值为____． 11． （广西竞赛）解关于 x 的方程xabxbcxaccab   ＝－3． 12．a 为何值，方程16326a xxax 有无数个解． 13． （ “五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人 m 本，则余 14 本；每人 9 本，则最后一人只得 6 本，问小朋友共有几人？有多少本书？ 14． （上海市竞赛题）甲队原有 96 人，现调出 16 人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的 k（是不等于 1 的正整数）倍还多 6 人，问乙队原有多少人？ 第 07 讲 一元一次方程解法 考点·方法·破译 1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用． 2．会用一元一次方程解决实际问题 经典·考题·赏析 【例１】解方程：5x＋2＝7x－8 【解法指导】 当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号． 解：移项，得 5x－7x＝－8－2 合并同类项，得 －2x＝－10 系数化为 1，得 x＝5 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环38 【变式题组】 01．( 广东) 关于 x 的方程 2( x－1) －a＝0 的根是 3，则 a 的值是（ ） A．4 B．－4 C．2 D．－1 02． （陕西）如果 a、b 是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b 的解是（ ） A．a－bB． －a－bC．b－aD．b＋a 03．解下列方程：⑴2x＋3x＋4x＝18 (2)3x＋5＝4x＋1 【例２】解方程： 11 －2( x＋1) ＝3x＋4(2 x－3) 【解法指导】 此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－” ，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为 1，从而求出方程的解． 解： 去括号，得 11－2x－2＝3x＋8x－12 移项，得 －2x－3x－8x＝－12－11＋2 合并同类项，得 －13x＝－21 系数化为 1，得 1321x 【变式题组】 01． （广州）下列运算正确的是（ ） A． －3（x－1）＝－3x－1 B． －3( x－1) ＝－3x＋1 C． －3( x－1) ＝－3x－3 D． －3( x－1) ＝－3x＋3 02．( 黄冈) 解方程：－2( x－1) －4( x－2) ＝1 去括号结果，正确的是（ ） A． －2x＋2－4x－8＝1 B． －2x＋1－4x＋2＝1 C． －2x－2－4x－8＝1 D． －2x＋2－4x＋8＝1 03． （广州）方程 2x＋1＝3( x－1) 的解是（ ） A．x＝3 B．x＝4 C．x＝－3 D．x＝－4 04．解下列方程：⑴7(2 x－1) －3(4 x－1) ＝5(3 x＋2) －1 (2)3(100－2x) ＝400＋15x 【例３】解方程：14126110312xxx 【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项 解： 去分母时，得 4(2x－1) －2(10 x＋1) ＝3(2 x＋1) －12 去括号，得 8x－4－20x＝6x＋3－12 移项，得 8x－20x－6x＝3－12＋4＋2 合并，得 －18x＝－3 系数化为 1，得 61x 回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤： （1）. 去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为 1．这五个步骤要注意灵活运用． 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环39 【变式题组】 01． （厦门）如果关于 x 的方程5432bxax的解不是负值，那么 a 与 b 的关系是（ ） A．ba53B．ab53C． 5 a≥3bD． 5 a＝3b 02．( 银川) 甲、乙两船航行于 A、B 两地之间，由 A 到 B 航行的速度为每小时 35 千米，由B 到 A航速为每小时 25 千米，今甲船由 A地开往 B 地，乙船由 B 地开往 A地，甲先航行 2小时，两船在距 B 地 120 千米处相遇，求两地的距离，若设两地的距离为 x 千米，根据题意可列方程（ ） A．22512035120xB．25120235120x C．23512025120xD．35120225120x 03． （四川）解方程：2121364xx 04． （大连）若方程12151221xxx与方程xaxax23262的解相同，求aaa22的值． 【例４】解方程：35 . 0102. 02 . 01 . 0xx 【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错． 解：原方程变形为： 35 . 010) 1(1002. 0100) 2 . 01 . 0(100xx 即 50 （0.1 x－0.2 ）－2( x＋1) ＝3 去括号，得 5 x－50－2x－2＝3 移项，得 5 x－2x＝3＋10＋2 合并，得 3 x＝15 系数化为 1，得 x＝5 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环40 【变式题组】 01．对方程7 . 02 . 01 . 023 . 01xxx变形正确的是（ ） A．72231xxxB．722031xxx C． 7223110xxxD．72231010xxx 02． （郑州）解方程：2 . 15 . 023 . 01xx 【例５】解方程：14981522097211012xxxx 【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量． 解：移项得 20971521498211012xxxx 两边分别通分得： 602535427x 即125761x 解得 x＝1 【变式题组】 01．( 大连) 解方程7)3045(54x，较简便的是（ ） A．先去分母 B．先去括号 C． 先两边都除以54D． 先两边都乘以54 02．解方程：18] 6) 432(51[7191x 03．解方程：6422012621xxxxx 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环41 【例６】有一些分别标有 6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大 6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为 342．1. 小明拿到了哪 3 张卡片？ 2. 你能拿到相邻 3 张卡片，使得这些卡片上的数之为是 86 吗？ 【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略． 解：设小明拿到的三张卡上的数字为 x, x＋6, x＋12 （1） 依题意得： x＋x＋6＋x＋12＝342 合并，得 3 x＋18＝342 移项，得 3 x＝324 系数化为 1，得 x＝108 答：这三个数为 108，114，120 （2） 不能使这三张卡片上的数字和为 86，理由是 （3） 假设 x＋x＋6＋x＋12＝86 合并，得 3x＋18＝86 移项，得 3x＝324 系数化为 1，得 368x 因为这些卡片上的数字都是 6 的倍数，故不可能为368． 【变式题组】 01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表： 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 … ⑴用一方框按上图框的样子，任意框住 9 个数，若这 9 个数的和是 549，求方框中最后一个数； ⑵若按如图所示的斜框任意框住 9 个数， 且这 9 个数的和是 360， 则斜框中的第一个数是什么？ × × × × × × × × × 【例７】 （河南省竞赛题）关于 x 的方程 9x－17＝kx的解为正整数，则 k的值为 k＝_____ 【解法指导】把 x 的值用 k的代数式表示，利用整除性求出 k的值. 解：∵ 9 x－17＝kx ∴ (9 －k) x＝17 ∴ kx917 ∵ x 为正整数，∴9－k为 17 的正整数因数 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环42 ∴ 9 －k＝1 或 9 －k＝17∴ k＝8 或 k＝－8 故 k＝±8 【变式题组】 01．( 成都) 要使一元一次方程－kx＝k的解为 x＝－1，必须满足的条件是（ ） A．可取一切数 B．k＜ 0 C．k≠0 D．k＞0 02．( “五羊杯”竞赛题) 已知关于 x 的方程 9x－3＝kx＋14 有整数解，那么满足条件的所有整数 k＝___________ 演练巩固·反馈提高 01． （苏州）某商品现在售价为 34 元，比原售价降低了 15% ，则原价是（ ） A． 40 元 B．35 元 C． 28.9 元 D． 5.1 元 02． （新疆） 汽车以 72 千米/ 时的速度在公路上行驶， 开向寂静的山谷， 驾驶员按一下喇叭，4 秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为 340 米/ 秒，汽车离山谷 x 米，根据题意，列出方程为（ ） A． 2 x＋4×20＝4×340 B．2x－4×20＝4×340 C． 2 x＋4×72＝4×340 D． 2 x－4×20＝4×340 03．( 陕西) 一件标价为 600 元的上衣，按 8 折销售仍可获利 20 元，设这件上衣的成本为 x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） A．600×0.8 －x－20 B.600×0.8 ＝x－20 C．600×8－x＝20D．600×8＝x－20 04．( 长沙) 一轮船往返于 A、B 两港之间，逆水航行需 3 小时，顺水航行需 2 小时，水流速度是 3 千米/ 时，则轮船在静水中速度是（ ） A． 18 千米/时 B． 15 千米/时 C． 12 千米/时 D． 20 千米/时 05． （武汉）已知关于 x 的方程 4x－3m＝2 的解是 x＝m，则 m 的值是（ ） A．2 B．－2 C． 72 D．72 06． （陕西）中国人民银行宣布，从 2007 年 6 月 5 日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到 3.06%．某人于 2007 提 6 月 5 日存入定期为 1 年的人民币 5000 元（到期后银行将扣除 20% 的利息税） ， 设到期后银行向储户支付现金为 x 元， 则所列方程正确的是 （ ） A． x－5000＝5000×30.6% B．x＋5000×20% ＝5000(1 ＋3.06%) C． x＋5000×3.06%×20% ＝5000(1 ＋3.06%) D．x＋5000×3.06%×20% ＝5000×30.6% 07．( 南通) 关于 x 的方程 mx－1＝2x 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） A． m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2 08．若 x＝2 不是方程 2x＋b＝3x 的解，则 b 不等于（ ） A．21 B．21 C．2 D．－2 09． （天津）若3223kkxk是关于 x 的一元一次方程，则这个方程的解为 x＝_______ 10．( 广东) 若 2x－1＝3,3 y＋2＝8，则 2x＋3y＝_________ 11．( 南京) x 为何值时，式子32x与式子13x满足下列条件⑴相等⑵互为相反数⑶式子表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环43 32x比式子13x的值小 1 12． （随州）一个两位数，个位数是十位上的数的 2 倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位数大 36，求原两位数，根据下列设法列方程求解． ⑴设十位数上的数为 x；⑵设个位数上的数为 y. 13．( 北京) 国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多 2.01 cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的43少 0.34 cm，求甲、乙两组同学平均身高的增长值． 14． （北海）某校一、二两班共有 95 人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是60% ，如果一班达标率是 40% ，二班达标率是 78% ，求一、二班的人数各是多少？ 15．某车间有 60 名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓 15 个或螺帽 10 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每 螺栓配两个螺帽） 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环44 培优升级·奥赛检测 01． （南昌）把 a 千克的纯酒精溶在 b 千克水里，再从中取 b 千克溶液，在这 b 千克溶液中含酒精的千克数为（ ） A． a B． bab2 C．baab D．bab2 02．下列四组变形中属于移项变形的是（ ） A． 5x＋4＝0 则 5x＝－4 B． 52y得 y＝10 C． 4)23(51yy则42351yy D．3x＝4 则34x 03． （第 18 届“希望杯”赛题）方程12007200535153xxxx的解是 x＝____ A． 20072006 B． 20062007 C． 10032007 D．20071003 04．( 广西竞赛题) 若方程( m2－1) x2－mx＋8＝x 是关于 x 的一元一次方程，则代数式 m－| m－1| 的值为（ ） A． 1 或一 1 B．1 C． －1 D．2 05．如果 2005－200.5 ＝x－20.05 ，那么 x 等于（ ） A．1814.25 B． 1824.55 C．1774.45 D．1784.45 06．若 x＝0 是关于 x 的方程 x－3n＝1 的根，则 n 等于（ ） A．31 B．31 C．3 D．－3 07． （ “五羊杯”竞赛题）五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走 4500 米， 一列火车以每小时 120 千米的速度迎面开来， 测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过 60 秒，如果队伍长 500 米，那么火车长（ ）米 A． 2070 B． 1575 C． 2000 D．1500 08．（武汉市选拔赛试题） 一只小船从甲港到乙港逆流航行需 2 小时， 水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需 3 小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行（ ） A．0.5 小时 B．1 小时 C． 1.2 小时 D．1.5 小时 09． （北京市“迎春杯”竞赛题）光明中学初中一年级一、二、三班，向希望学校共捐书 385本，一班与二班捐出的本数之比为 4：3，班与三班捐书的本数之比为 6：7，那么二班捐出_________本． 10． （武汉市选拔赛试题）甲、乙两地相距 70 千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行 30 千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行 40 千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了__________千米． 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环45 11．（宁波） 已知关于x的方程332bxxa的解是x＝2， 其中a≠0且b≠0, 求代数式abba的值． 12． （湖北孝感市竞赛题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行 30 千米，那么比火车开车时间早到 15 分钟，若每小时行 18 千米，则比火车开车时间迟到 15 分钟，现在此人打算在火车开车前 10 分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？ 13． （ “希望杯”邀请赛）铁路旁有一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为 3.6 千米/ 时，骑车人速度为 10.8 千米/ 时，如果有一列火车从他们背后过来，它通过行人用 22 秒，通过骑车人用 26 秒，问这列火车的车身长为多少米？ 第 08 讲 实际问题与一元一次方程 考点·方法·破译 1．会分析实际问题中的数量关系，从而建立数学模型• 2．熟练掌握运用方程解决实际问题• 经典·考题·赏析 【例１】（贵阳）根据调查的统计，个体服装店销售衣服只要高出进价的 20% 便可盈利，但老板们常以高出进价 50%～100％标价，假如购买一件衣服标价为 300 元的服装，应在什么范围内还价？ 【解法指导】市场营销中涉及的数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润率＝商品进价商品利润；⑶商品售价＝进价×（1+利润率） 解：设原进价为 x 元，根据题意得 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环46 ① 当利润为 50% 时： （1+50%)x＝300 解得 x＝200 ② 当利润为 100% 时： （1+100%)x＝300 解得 x＝150 所以：150×（1+20% ）＝180 元） 200×（1+20% ）＝240（元） 答：应在 180～240 元范围内还价• 【变式题组】 01． （黑龙江）某超市推出如下的优惠方案：⑴一次性购物不超过 100 元不享受优惠；⑵一次性购物超过 100 元但不超过 300 元一律九折； ⑶一次性购物超过 300 元一律八折， 王波两次购物分别付款 80 元、 252 元。

如果王波一次性购买与上两次相同的商品， 则应付款 （ ） A．288 元 B．322 元 C．288 或 316 元 D．332 或 363 元 02． （北京市海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件 8 元售价是每件 10 元，为了扩大销售量把每件商品的售价降低百分之 x 出售要求卖出一件所获得的利润是降价前所获得的利润的百分之 90，则 x 等于（ ） A．1B．1. 8C．28D．29 03． （菏泽）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利 20% ，若该书的进价为 21 元，则标价为（ ） A．26 元 B．27 元 C．28 元 D．29 元 【例２】 （南京）某停车场收费标准如下：中型汽车的停车费为 6 元/ 辆，小型汽车的停车费为 4 元/ 辆，某天有 45 辆中小型车中、小型汽车，这些车共缴纳停车费 230 元，停车场中、小型汽车各有多少辆？ 【解法指导】本题中的等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费 解：设中型车辆有 x 辆，则小型车辆有( 50－x) 辆，根据题意得 6x+4( 50－x) ＝230，解得 x＝1550－x＝35 答：中小型车辆分别是 15 辆、35 辆。

【变式题组】 01．( 东营) 学校计划将若干名学生平均分成 24 个读书小组, 若每个小组比原计划多 1 人,则要比原计划少分出 6 个小组, 那么学生总数是（ ） A．144 人 B．72 人 C．48 人 D．36 人 02．( 湖南) 某学校在对口援助边远山区学校活动中, 原计划赠书 3000 册, 由于学生的积极响应, 实际赠书 3780 册 其中初中部比原计划多赠了 20%,高中部比原计划多赠了 30%,问该校初、高中原计划各赠书多少册 03．( 佛山) 小敏准备用 21 元钱买笔和笔记本，已知每只笔 3 元，每本笔记本 2 元 2 角，他买了两本笔记本之后，还可以买几支笔（ ） A．1 支 B．2 支 C． 3 支 D．4 支 【例 3】( 北京) 京津城际铁路于 2008 年 8 月 1 日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行的时间为半小时 某次试车时， 试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了 6 分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同如果这次试车时，由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶 40 千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程＝速度×时间”关系探求数量关系和相等关表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环47 系 解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时 x 千米，由天津返回北京的平均速度是每小时( x+40) 千米 根据题意得2160630x（x+40）解得 x＝200 答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时 200 千米• 【变式题组】 01．( 长沙) 汽车在中途受阻耽误了 6 分钟，然后将时速由原来的每小时 40 千米提为每小时50 千米，那么要想将耽误的时间补上，则需要这样走（ ） A．10 千米 B．20 千米 C．40 千米 D．50 千米 02．( 南昌) 某市出租车的收费标准时：起步价 5 元， （即路程不超过 3km 的车费为 5 元） ，3km后每千米收费1.2元， 某人乘出租车共付了11元， 那么此人坐车行驶的路程最多是 （ ）A．8km B．9km C．6km D．10km 03．( 南宁)小李骑自行车从 A 地到 B 地，小明骑自行车从 B 地到 A 地二人都均速前进，已知二人在上午 8 时同时出发，到上午 10 时，两人还相距 36km，到中午 12 时，二人又相距36km，求 A、B 两地间的路程• 【例４】 ( 课本变形题)有一些相同的房间需要粉刷墙面， 一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有 50 平方米墙面未来的及粉刷； 同样时间内， 5 名二级技工粉刷了 10 个房间之外，还多刷了另外的 40m2墙面• 每名一级技工比二级技工一天多粉刷 10m2墙面，求每名一级技工比二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？ 【解法指导】在工程运用问题中，通常要运用“工作量＝工作效率 x 工作时间”关系探求数量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作 1• 解：设每一名一级技工一天刷 xm2的墙面，则每名二级技工一天刷( x－10) m2的墙面. 根据题意得8503 x＝1040)10( 5x解得 x＝122 则 x－10＝122－10＝112 答：每一名一级技工一天刷 122m2的墙面，则每名二级技工一天刷 112m2的墙面. 【变式题组】 01．( 随州) 某城市计划用两年时间增加全市绿化面积，若平均每年绿化面积比上一年增长20% ，则两年后城市绿化面积是原来的（ ） A．1.2 倍 B．1.4 倍 C．1.44 倍 D．1.8 倍 02．( 天津) 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，2 小时可把空池灌满，单独开乙水龙头， 3小时可把空池灌满， 则灌满水池的322/ 3要同时开甲、 乙两龙的时间 （ ） A．38小时 B．34小时 C．4 小时 D．58小时 03．( 乐山) 某蔬菜公司收购到某种蔬菜 140 吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环48 是：每天可以精加工 6 吨或者粗加工 16 吨，现计划用 15 天完成加工任务，该公司应安排几天精加工、几天粗加工？ 【例５】在一次有 12 个队参加的足球单循环赛中（每两队之间只比赛一场） ，规定胜一场得3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，某队在打完循环赛后，所胜场数比负场数多 2 场，而总积分为 18 分，问：该队战平了几场？ 【解法指导】 根据题意分别用含一个未知数的式子表示胜的场次和负的场次， 再根据总共几分列出方程• 解：设该队负 x 场，则胜( x+2) 场，平的场数为 11－x－( x+2) ＝ ( 9－2x) 场 根据题意得 3( x+2)+1x( 9－2x) ＝18 解得 x＝3 ∴9－2x＝9－2×3＝3 答：该队战平了 3 场. 【变式题组】 01．( 长沙) 足球比赛的积分规则为胜一场得 3 分, 平一场得 1 分，负一场得 0 分, 一支足球队赛 14 场，负 5 场共得 19 分，那么这支球队胜了（ ） A．3 场 B．4 场 C．5 场 D．6 场 02．在一场篮球比赛中，某队员得了 23 分（不含发球得分）已知他投进的 3 分球比 2 分球少 4 个，则他投进了几个 3 分球和几个 2 分球？ 【例６】( 聊城) 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为 1000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达 4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至 7500 元，当地一家农工商公司收购这种蔬菜 140 吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工 16 吨，如果进行精加工，每天可加工 6 吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在 15 天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工. 方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及加工的在市场直接销售. 方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好 15 天完成. 你认为选择哪种获利多？为什么？ 【解法指导】理解本题的题意是解本题的前提，按照三种方式分别计算出利润，在比较三种利润的大小即可求解• 解：对方案一：获利为 4500X140＝630000( 元) 对方案二： 15天细加工： 6X15＝90( 吨) 说明还有50吨需要在市场上直接销售，故可获利 7500X90+1000X50＝725000( 元) 对方案三：设将 x 吨蔬菜进行细加工，则( 140－x) 吨进行粗加工，根据题意得 解得 x＝60140－x＝140－60＝80 故获利为 7500×60+4500×80＝810000( 元) 由此，选择方案三 【变式题组】 01．( 第 17 届“希望杯”竞赛题) 老师带两名学生到离校 36 千米的博物馆参观、老师骑一辆表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环49 摩托车，车速为 25 千米/ 时，这辆摩托车可带一名学生，带人速度为 20 千米/ 时，学生步行速度为 5 千米/ 时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到博物馆的时间不超过 3 小时。

02. A市和 B 市分别有某种机器 12 台和 6 台，现决定支援 C 市 10 台，D 市 8 台，已知从 A市调一台到 C 市和 D 市的运输费分别为 400 元和 800 元； 已知从 B 市调一台到 C 市和 D 市的运输费分别为 300 元和 500 元，问共有几种调运方案？其中最低费用是多少元？ 【例７】( 黄冈竞赛) 某人沿电车路线行走，12 分钟有一辆电车后面开来，4 分钟迎面有一辆电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，4 分钟迎面有一辆电车开来，电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？ 【解法指导】根据“路程＝速度×时间” ，所以当路程相同时与时间成正比• 解：设站点每隔 x 分钟开出一辆 根据题意，得121244xx，解得 x＝6 答：电车是每隔 6 分钟从起点站开出一辆• 【变式题组】 01． （美国纽约中学生数学竞赛）一列火车长 x 米，以等速前进，它进入 300 米的隧道经历了 25 秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了 10 秒，求 x 02． （武汉选拔赛）若关于x的方程||x－2| －1| ＝a有三个整数解，则a的值为（ ） A． 0 B． 2 C．1 D．3 03． （第 16 届江苏竞赛）如果| x－2|+ x－2＝0, 那么 x 的取值范围是（ ） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 演练巩固·反馈提高 01． （天津）东方商场把进价为 1980 元的商品按标价的八折出售，仍可获利 10%,则该商品的标价为（ ） A． 2160 元 B．2613.6 元 C．2640 元 D．2722.5 元 02．（武汉） 某商店有两个进价不同的计算器都卖 64 元， 其中一个盈利 60% ， 另一个亏本 20% ，在这次买卖中，这家商店（ ） 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环50 A．不赔不赚 B．赚了 8 元 C．赔了 8 元 D．赚了 32 元 03． （太原）国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20% ，银行一年定期储蓄的年利率为 2. 25% ，今年小刚取出一年到期的本息时，交纳了 13. 5 元的利息税，则小刚一年前存入银行的本金为（ ） A．1000 元 B．2000 元 C．4000 元 D．3000 元 04． （宁夏）某乡中学现有学生 500 人，计划一年后女生增加 3% ，男生在校生增加 4% ，这样在校学生将增加 3. 6% ，那么该校现有女生和男生人数分别是（ ） A．200 和 300 B．300 和 200 C．320 和 180 D．180 和 320 05． （石家庄）课外活动中，一些学生分别参加活动，原来每组 8 人，后来由于器材不够重新编组，每组 12 人，这样比原来少 2 组，问这些学生有（ ） A． 48 人 B．24 人 C．36 人 D．60 人 06．（银川） 一列火车通过 890 米的大桥需要 55 秒， 同样的速度穿过 690 米隧道需要 45 秒，则这列火车长（ ） A．210 米 B．230 米 C．250 米 D．270 米 07． （重庆）国家规定个人发表文章，出版著作所获稿费应纳税，其计算方法是：⑴稿费不高于 800 元不纳税； ⑵稿费高于 800 元， 但不高于 4000 元应缴纳超过 800 的那一部分的 14%的税；⑶稿费高于 4000 元缴纳全部稿费的 11% 的税。

今知王教授出版了一本著作获得了一笔稿费，他缴纳了 550 元的税，王教授的这笔稿费是_______元 08． （重庆）含有同种果蔬但浓度不同的 A、B 两种饮料，A 种饮料重 40 千克，B 种饮料重60 千克，现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合 如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同， 那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_________千克• 09． （福州）小明去文具店购买 2B 铅笔，店主说“如果多买一些给你打八折•”小明算了一下，如果买 50 支，比按原价购买便宜 6 元，那么每支铅笔的原价是多少？ 10． （北京）甲、乙两地相距 416 千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行 32 千米，汽车开出 1 小时后，一辆摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的 1. 5 倍，摩托车开出几小时后，才能与汽车相遇？ 11． （山西）某通信运营商的短信收费标准如下：发送网内短信 0. 1 元/ 条，发送网际短信0. 15 元/ 条，该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计 150 条，依照该收费标准共支出短信费 19 元，小王该月发送网内、网际短信息各多少条？ 12．某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是 0. 7：1: 2: 4. 7，现要配制这种中药 2100 克，四种草药成分分别需要多少克？ 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环51 13．某企业生产一种产品，每件成本价是 400 元，销售价是 500 元，本季度销售了 m 件，为了进一步扩大市场，该企业决定在降低售价的同时降低生产成本，经过市场调查，预测下季度这种商产品每件销售价降低 4% ，销售量提高 10% ，要使利润保持不变，该产品每件的成本应该降低多少元？ 14．某商品出售一种会员卡，花 20 元买这种会员卡后，凭会员卡在该品牌店享受折上折优惠，若 1 月份八折优惠，则什么情况下买会员卡购物合算• 15． 已知某电脑公司有 A型、 B 型、 C 型三种型号的电脑， 其价格分别为 A型每台 6000 元，B 型每台 4000 元，C 型每台 2500 元，学校计划将 100500 元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑 36 台，请你帮助设计购买方案，并说明理由• 培优升级·奥赛检测 01． （第十五届江苏省竞赛）某服装厂生产某种定型冬装，9 月份销售冬装的利润是出厂价的 25% ，10 月份将每件冬装的出厂价调低 10% （每件冬装成本不变） ，销售数比 9 月份增加80% ，那么该厂 10 月份销售这种冬装的利润比 9 月份的利润总额增长（ ） A．2% B．8% C．40.5% D．60% 02． （北京市竞赛题）甲、乙两种茶叶，以 x：y（重量比）相混合成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤 50 元，乙种茶叶的价格每公斤 40 元，现在甲种茶叶的价格上调了 10% ，乙种茶叶的价格下调了 10% ，但混合茶的价格不变，则 x：y 等于（ ） A．1：1 B．5：4 C．4：5 D．5：6 03． （全国初中数学联赛题）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过 60 立方米，按每立方米 0. 8 元收费；如果超过 60 立方米，超过部分按每立方米 1. 2 元收费，已知某户 4 月份的煤气费平均每立方米 0. 88 元，那么 4 月份这用户应交煤气费（ ） A． 60 元 B．66 元 C．75 元 D．78 元 04． （四川省竞赛题）植树节时，某班平均每人植树 6 棵，如果只由女同学完成，每人应植树 15 棵；如果只由男同学完成，每人应植树（ ）棵• A．9 B．10 C．12 D．14 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环52 05．已知四个矿泉水空瓶子可换一瓶矿泉水，现有 15 个矿泉水空瓶子，若不交钱则最多可以喝矿泉水（ ） A．3 瓶 B．4 瓶 C．5 瓶 D．6 瓶 06．某商场的电视机按原价 9 折销售，要使销售总收入不变，那么销售量应增加（ ） A．111 B．101 C． 91 D．81 07． （黑龙江省竞赛题）一个六位数abcde1的 3 倍等于1abcde，则这个六位数为______ 08． （ “希望杯”邀请赛试题）某人以 4 千米/ 时的速度步行由甲地到乙地，然后又以 6 千米/时的速度从乙地返回甲地，那么此人往返一次平均速度是______千米/ 时• 09． （重庆市竞赛）某出租车汽车停车站已有 6 辆出租车，第一辆出租车出发后，每隔 4 分钟就有一辆出租车开出，在第一辆车开出 2 分钟后，有一辆出租车进站，以后每隔 6 分钟就有一辆出租车回站， 回站的出租车， 在原有的出租车依次开出之后又依次每隔 4 分钟开出一辆，问：第一辆出租车开出后，经过最少多少时间，车站不能正常发车？ 10． （第十三届“希望杯”邀请赛试题）为鼓励居民用电，某电力公司规定了如下电费计算方法：每月用电不超过 100 度，按每度 0. 5 元元计算；每月用电超过 100 度，超出部分每度0. 40 元计算•⑴若某用户 2002 年 1 月份交电费 68 元，那么该用户 1 月份用电多少度？⑵若某用户 2002 年 2 月份平均每度电费 0. 48 元， 那么该用户 2 月份用电多少度？应交电费多少元？ 11． （安徽）某人将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖价 1200 元，盈利 20% ，乙种股票卖家也是 1200 元，但亏损 20% ，此人此次交易共盈利多少元？ 12． （江西）剃须刀由刀片和刀架组成，某时期，甲、乙两厂分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式剃须刀（刀片可以更换）有关销售策略与售价等信息如下表所示： 老式剃须刀 新式剃须刀 刀架 刀片 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环53 售价 2. 5 元/ 把 1 元/ 把 0. 55 元/ 片 成本 2 元/ 片 5 元/ 片 0. 05 元/ 片 某段时间内，甲厂家销售了 8400 把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的 50 倍，乙厂获得的利润是甲厂的两倍，问这段时间内，乙厂销售了多少把刀架？多少片刀片？ 13． （孝感）要把 100 克浓度为 80% 的酒精配制成浓度为 60% 的酒精，某同学未经考虑先加300 克水•⑴试通过计算说明该同学加水是否过量？⑵如果加水不过量，则还应加入浓度 20%的酒精多少克？如果加水过量，则需要再加入浓度为 95% 的酒精多少克？ 第 09 讲 多姿多彩的图形 考点·方法·破译 1．会识常见的几何图形，并了解它们的名称． 2．会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，以根据三视图描述 基本几何体或实物原型． 3．了解基本几何体与其三视图、展开图之间的关系． 经典·考题·赏析 【例 1】根据下图回答问题(1)请说出①～⑥中几何体的名称，并简要叙述它们的一些特征． (2)将①～⑥中的几何体分类． 【解法指导】认识几何体，以直观观察为主，一般特征也以观察者获得的形象加以表述即可．但对几何体尽可能地进行深入观察，全方位发现每个几何体的特征，从而逐步揭示其本质． 解： (1)①圆柱：特征如，两个底面是圆的几何体．②圆锥：特征如，像锥体，且底面是圆．③正方形：特征如，所有面都是正方形．④长方体：特征如，其侧面均为长方形． ⑤棱柱：特征如，底面为多边形，侧面为长方形．⑥球：特征如，圆的实体． (2) ①③④⑤为一类，它们都是柱体．②是一类，它是锥体．⑥是一类，它是球体． 【变式题组】 01． (黄冈)下图四个几何体分别为长方体、圆柱体、球、三棱柱，这四个几何体中有三个从某个角度看到 的图形都是一种几何图形，则另一个几何体是( ) 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环54 02． (宜昌)下列物体的形状类似于球体的是( ) A．茶杯 B．羽毛球 C．乒乓球 D．白炽灯泡 03． (广东茂名)用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是( ) A．球 B．圆锥 C．圆锥 D．正方体 04． (武汉)如图，立方体各面上的数字是连续的整数，如果相对的两个面上的两个数的和都相等，那么这三对数的总和是( ) A．76 B．78 C．80 D．81 【例 2】 (深圳)如图所示，仔细观察图中的两个物体，则它的俯视图是( ) A． B． C． D． 【解法指导】 注意结合立体图形的形状并注意从某一方向看到图形的对应关系， 抓住其主要特征，同时要分清不同视图的异同．故选择 A． 【变式题组】 01．(重庆)由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是( ) A． B． C． D． 02．(昆明)如图，这个几何体从上面看到的平面图形是( ) 03．(沈阳)如图所示，圆柱从上面看到的图形是图中的( ) 04． (成都)如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从正面、 左面、 上面看到的图形，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是( ) A．3 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 正面151411表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环55 从正面看 从左面看 从上面看 【例 3】 (湛江)将如右图所示的 Rt△ABC 绕直角边 BC 旋转一周， 所得几何体从左面看到的是( ) 【解法指导】以直角三角形的直角边 AC、BC 为旋转轴得到的都是圆锥，故选择 A． 【变式题组】 01．(广州)将右图所示的直角梯形绕直线 l 旋转一周，得到的立体图形是( ) 02．(南京)若一个棱柱有 12 个顶点，则在下列说法正确的为( ) A．这个棱柱有 5 个侧面 B．这个棱柱有 5 条侧棱 C．这个棱柱的底面是六边形 D．这个棱柱的是一个 12 棱柱 03．(安徽)四棱柱的顶点数、棱数、面数分别为( ) A．8，12，6 B．8，10，6 C．6，8，12 D．8，6，12 【例 4】 (福建泉州)观察下列图形，其中不是正方体的展开图的为( ) A． B． C． D． 【解法指导】学习立体图形的展开图，要养成动手实验的好习惯，动手折一下往往会一目了然，故本题选择 D． 【变式题组】 01．(武汉)一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下图中的( ) A．只有图① B．图①、图② C．图②、图③ D．图①、图③ ① ② ③ 02．(唐山)如图所示的是一个由白纸拼成的立体图形，但有两面刷上黑色，将该立体图形展开后应该是 ( ) 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环56 A． B． C． D． 03．(陕西)下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体盒的是( ) A． B． C． D ． 04．(北京)如图所示是三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是 ( ) A． B． C． D． 【例 5】 (山西)一个画家有 14 个边长为 1 米的正方体，他在地面上把它们摆成如右图的形状，然后他把露出的表面涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为( ) A．19 平方米 B．21 平方米 C．33 平方米 D．34 平方米 【解法指导】本题把涂上颜色的面积一块一块加起来计算很麻烦，应从整体角度出发，把立体转化为平面，观察题图所给的几何体，从前、后、左、右四个方向都只能看到 6 个 1×1的正方形，从上面看可以看到一个 3×3 的大正方形轮廓，所以被涂上颜色的总面积应为 4×6×1×1+3×3×1×1＝33(平方米)，故选 C． 【变式题组】 01．(宜宾)如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体．那么其三种视图中面积最小的是 ( ) A．正视图 B．左视图 C．俯视图 D．三种一样 02．(益阳)将一个底面直径为 2cm，高为 2cm 的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面积 为( ) A．2π cm2 B．3π cm2 C．4π cm2 D．5π cm2 03． (青岛)一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的， 如果每个小长方体的长、 宽、高分别是 3， 1，1 那么这个大长方体的表面积可能有______种不同的值，其中最小值为______． 【例 6】李明为好友制作一个(右图)正方形礼品盒，六个面上各有一字，连起来就是“ 预祝中表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环57 考成功” ， 其中“ 预” 的对面是“ 中” ， “ 成” 的对面是“ 功” ， 则它的平面展开图可能是( ) 【解法指导】 本例主要考查立方体的展开图中对面、 邻面的分布规律， 可动手折叠发现答案，故应选择 C． 【变式题组】 01．(资阳)已知一个正方体的每一面都填有唯一一个数字，且各相对面上所填的数互为倒数，若这个正方体的平面展开图如右图所示，则 A、B 的值分别是( ) A．13，12 B．13，1 C．12，13 D．1，13 02．(南宁)在下图中添加一个小正方形，使该图经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有( ) A．7 种 B．4 种 C．3 种 D．2 种 03．(沈阳)将一张长与宽的比为 2：1 的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折后，然后沿图③中的虚线裁剪， 得到图④， 最后将图④的纸片再展开铺平， 则所得到的图案是( ) 【例7】 (第21届江苏省竞赛题)设5 cm×4 cm×3 cm长方体的一个表面展开图的周长为ncm，则 n 的最小值是______． 【解法指导】 把展开图的周长用相应的代数式表示． 长方体的展开图的周长为 8c +4b +2a． 故周长最小值为 8×3+4×4+2×5＝50，故填 50 cm． 【变式题组】 01．(广州)将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，如图现有一个边长为 4 厘米，宽为 3 厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体积分别是多大? 02．(南京)如图是几个小立方块所搭成的几何体．从上面看图形，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，那么是这个几何体从正面看的图形的是( ) A． B． C． D． 03．(烟台)如图①是由若干个小正方体所搭成的几何体，②是①从上面看到的图形，则①从左面看到的图形是( ) 1122BA31 21表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环58 ① ② A． B． C． D． 演练巩固 反馈提高 01．(连云港)水平位置的下列几何体，从正面看的图形不是长方形的是( ) 02．(邯郸)有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造从外部看不到，当分别用一组平面沿水平方向(自上而下)和竖直方向(自左而右)截这个物体时(如图)，得到了如图所示的(1)、(2)两组形状不同的截面，则 这个物体的内部构造是( ) A．空心圆柱 B．空心圆锥 C．空心球 D．空心半球 03．(唐山)将如图所示图形折叠成立方体后，下面四个选项正确的是( ) 04．(河南)由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形的数字表示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是( ) A． B． C． D． 05．(湖州)一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“ ★” 所在面的对面所标的字是( ) A．上 B．海 C．世 D．博 006．(芜湖)一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( ) A． B． C． D． 21 231★会博世海上表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环59 07． (安徽)如图， 下列四个几何体中， 其主视图、 左视图、 俯视图中只有两个相同的是( ) 08．(哈尔滨)如下图所示的某一几何体的三视图，则这个几何体是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．正方体 D．球 正视图 左视图 俯视图 09．(泰州)如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据(单位：cm)可求得这个几何体的体积为 ( ) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 主视图 左视图 俯视图 10．如图所示是无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计)则盒子的容积为( ) A．4 B．6 C．12 D．15 11．(宜黄)宜黄素有“ 华南虎之乡” 的美誉，将“ 华南虎之乡美” 六个字填写在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“ 虎” 字相对的字是______． 12．(黄冈)如图是由棱长为 1 的正方体搭成的积木三视图，则图中棱长为 1 的正方体的个数是______． 主视图 左视图 俯视图 13．设有一个边长为 1 的正三角形，记作 A1，将 A1的每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形， 去掉中间的线段后所得到的图形记作 A2；将 A2的每条边三等分，重复上述过程，所得到的图形记作 A3，现将 A3的每条边三等分，重复上述过程，所得到的图形记作 A4，则 A4的周长是多少? 14．(温州)由 3 个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请画出它的主视图和俯视图． 121211美乡之虎南华表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环60 15．一个五棱柱如图，它的底面边长都是 4 厘米，侧棱长 6 厘米，回答下列问题． (1)这个五棱柱一共有多少个面?它们分别是什么形状?哪些面的形状、面积完全相同？ (2)这个五棱柱一共有多少条棱?它们的长度分别是多少? 培优升级 奥赛检测 01．(成都)如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的从正面看到的图形为( ) A． B． C． D． 02．(鄂尔多斯)将圆柱形纸筒沿母线 AB剪开铺平，得到一个矩形(图 1)；如果将这个纸筒沿线路 BMA(图 2)剪开铺平，得到的图形是( ) A．平行四边形 B．矩形 C．三角形 D．半圆 03．(长春)一根单线从纽扣的 4 个孔中穿过(每个孔只穿过一次)，其正面情形如图所示，下面 4 个图形可能 是其背面情形的是( ) 04．(河北)用 M、N、P、Q 各代表四种简单几何图形(线段、正三角形、正方形、圆)中的一种，下图①至④是由 M、N、P、Q 中的两种图形组合而成的(组合用“&”表示)．那么下列组合图形表示 P&Q 的是 ( ) 主视方向211423表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环61 05． (第 11 届“ 华罗庚杯” 竞赛试题)如图是一个立体图形的主视图， 左视图(图中单位为厘米)，则立体图形的体积为( )立方厘米． A．π B．2π C．3π D．4π 06．(太原)如下左图是一个正方体的平面展开图，这个正方体是( ) A． B． C． D． 07．(第 18 届“ 希望杯” 邀请赛试题)某人特制了 4 个同样的立方块，并将它们如图(a)放置，然后又如图(b)放置，则图(b)中四个底面正方形中的点数之和为( ) A．11 B．13 C．14 D．16 08．(重庆市竞赛题)把 10 个相同的小正方形按如图的位置堆放，它的外表会有若干个小正方形，如果将图 中标有字母 P 的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形的个数与搬运前相比( ) A．不增不减 B．减少 1 个 C．减少 2 个 D．减少 3 个 09．(威海)如图，可以沿线折叠成一个带数字的立方体，每三个带数字的面交于立方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小值是______． 10． (第21届江苏省竞赛)设5cm×4cm×3cm长方体的一个表面展开图的周长为ncm，则 n 的最小值是______． 11．画出如图的几何体从正面、上面、左面看到的平面图形． 12．下面图形如图，线直线 l 旋转一周后形成什么图形? P654321表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环62 13．(杭州)已知直四棱柱的底面是边长为 a 的正方形，高为 h，体积为 V，表面积等于 S． (1)当 a＝2， h＝3 时，分别求 V和 S； (2)当 V＝12，S＝32 时，求2a+1h的值． 第 10 讲 直线、射线、线段 考点·方法·破译 1．会正确地画出和表示直线、射线、线段；会用中点解题． 2．应用“两点之间，线段最短”解决实际问题，会求两点之间的距离． 经典·考题·赏析 【例 1】指出图中的直线、射线和线段． 【解法指导】本题紧扣直线、射线、线段的概念及性质，注意它们的表示方法的不同，找直线、射线时，注意直线两端可以无限延伸，而射线只有一端可以无限延长，线段是无法延长的，只有当两条射线的端点和方向相同时，两条射线才表示同一条射线，在同一直线上，不同两点间的部分表示不同的线段． 解：直线有一条是直线 AD，射线有六条，分别是射线 BA、BD、CA、BE、CD、EF．线段有三条，分别是线段 BC、BE、CE． 【变式题组】 01． （兰州）下列语句表述正确的是（） A．延长射线 OC B．射线 BA与射线 AB是同一条射线 C．作直线 AB＝BC D．已知线段 AB，作线段 CD＝AB 02． （南京）如图，可以用字母表示出来的不同射线有（） A．4 条 B．6 条 C．5 条 D．1 条 FEDCBAABC表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环63 03． （秦皇岛）如图，直线 l、线段 a 及射线 DA，能相交的图形是（） A．①③④ B．①④⑥ C．①④⑤ D．②③⑥ 【例 2】 （云南）在同一平面内不在同一直线上的 3 个点，过任意 2 个点作一条直线，则可作直线的条数为________． 【解法指导】因为 3 点不共线，任意两点都可能确定一条直线，从政个点中任选出两个点，共有 3 种情况，所以共可作直线的条数为 3 条． 【变式题组】 01． （丹东）根据语句“点 M 在直线 a 外，过 M 有一直线 b 交直线 a 于点 N，直线 b 上另一点 Q 位于 M、N 之间”画图，正确的是（） 02． （北京）根据下列语句画出图形⑴直线 AB 经过点 C；⑵经过点 M、N 的射线 NM； ⑶经过点 O 的两条直线 m、n；⑷经过三点 E、F、G 中的每两点画直线． 03． （温州）如图 A、B、C 表示 3 个村庄，它们被三条河隔开，现在打算在每两个村庄之间都修一条笔直公路，则一共需架多少座桥？请你在图上用字母标明桥的位置． 【例 3】已知：线段 AB＝10cm，M 为 AB 的中点，在 AB 所在直线上有一点 P，N 为 AP 的中点，若 MN＝1.5cm，求 AP 的长． 【解法指导】题中已说明 P 在 AB 所在直线上，即说明 P 点可能段 AB 上，也可能在 AB 的延长线上（不可能在 BA的延长线上） ，故应分类讨论． 解：⑴如图①，当点 P 段 AB上时，点 N 在点 M 的左侧，则 AP＝2AN＝2（AM－MN）＝2（12AB－MN）＝2×（5－1.5）＝7（cm） ； ⑵当点 P 段 AB 的延长线上时，N 点在 M 点的右侧如图②，则 AP＝2AN＝2（AM＋MN）＝2（12AB＋MN）＝2×（5＋1.5）＝13（cm） ； ① ② ③ ④ ⑤ ⑥lDAADlaDAADaallaA． B． C． D．bbbbMQNMQNMQNaaaaNQM①PNMBA表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环64 所以 AP 的长为 7cm 或 13cm 【变式题组】 01． （昆明）已知 A、B、C 为直线 l 上的三点，线段 AB＝9cm，BC＝1cm，那么 A、C 两点间的距离是（） A．8cm B．9cm C．10cm D．8cm 或 10cm 02． （十堰）如图 C、D 是线段 AB 上两点，若 CB＝4cm，DB＝7cm，且 D 是 AC 的中点，则 AC 的长等于（） A．3cm B．6cm C．11cm D．14cm 03． （青海）已知线段 AB，C 是 AB的中点，D 是 BC 的中点，下面等式不正确的是（） A．CD＝AB－BD B．CD＝AD－BC C．CD＝12AB－BD D． CD＝13AB 【例 4】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问：⑴要有多少种不同的票价？ ⑵要准备多少种车票？ 【解法指导】 首先要能把这个实际问题抽象成一个数学问题， 把车站和三个停方点当作一条直线上的五个点， 票价视路程的长短而变化， 实际上就是要找出图中有多少条不同的线段． 因为不同的线段就是不同的票价， 故求有多少种票价即求有多少条线段， 而要求有多少种车票即是求有多少条射线． 解：因为图中有 10 条不同的线段，故票价有 10 种；有 20 条不同的射线，故应准备 20种车票． 【变式题组】 01． （河南）如图从 A 到 C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中、从 A到 B 有 2条水路、2 条陆路；从 B 地到 C 地有 3 条陆路可供选择；走空中从 A 不经 B 地直接到达 C 地，则从 A地到 C 地可供选择的方案有（） A．20 种 B．8 种 C．5 种 D．13 种 02． （海南）如图，在菱形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是菱形四边的中点，连接 EG 与 FH 交于点 O，则图中的菱形共有（） A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 3． （佛山实验区）A 车站到 B 车站之间还有 3 个车站，那么从 A 车站到 B 车站方向发出的车辆，一共有多少种不同的车票（） A．8 B．9 C．10 D．11 【例 5】如图，B、C 两点把线段 AD 分成 2∶3∶4 的三部分，M 是 AD 的中点，CD＝8，求MC 的长． ②ANMPBABDCEDCBADCBAOHGFABCDE表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环65 【解法指导】 由 AB∶BC∶CD＝2∶3∶4， 可设 AB＝2x， CD＝3x， CD＝4x， 由 CD＝4x＝8，而求得 x 的值，进而求出 MC 的长． 解：设 AB＝2x，由 AB∶BC∶CD＝2∶3∶4，得 CD＝4x，CD＝3x，AD＝（2＋3＋4）x＝9x，∵CD＝8，∴x＝2，∴AD＝9x＝18，∵M 是 AD 的中点，∴MC＝MD－CD＝AD－CD＝×18－8＝1 【变式题组】 01．（河北） 如图， 长度为 12cm 的线段 AB的中点为 M， C 点将线段 MB 分 MC∶CB＝1∶2，则线段 AC 的长度为（） A．2cm B．8cm C．6cm D．4cm 02． （随州）已知线段 AB＝16cm，点 C 段 AB 上，且 BC＝AC，M 为 BC 的中点，则AM 的长为________. 03． （黄冈） 已知线段 AB＝12cm， 直线 AB 上有一点 C， 且 BC＝6cm， M 是线段 AC 的中点，求线段 AM 的长． 【例 6】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点 A爬行相距它最远的另一个顶点 B，哪条路径最短？说明理由． 【解法指导】解答此类题的方法是将立方体展开，再根据两点之间，线段量短． 解：将立方体展开成如图⑵，由两点之间线段最短知线段 AB 即为最短路线． 【变式题组】 01． （天津）下列直线的说法错误的是（） A．经过一点可以画无数条直线 B．经过两点可以画一条直线 C．一条直线上只有两个点 D．两条直线至多只有一个公共点 02． （湘潭）如图所示，从 A地到 B 地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路线，这是因为（） A．两点之间线段最短 B．两直线相交只有一个交点 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【例 7】 （第五局“华罗庚金杯”赛试题）摄制组从 A 市到 B 市有一天的路程，计划上午比下午多走 100 千米到 C 市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了 400 千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从 C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问 A、B 两市相距多少千米？ 【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形思考它们之间的关系． 解：设小镇为 D，傍晚汽车在 E 休息，则 AD＝12DC，EB＝12CE，AD＋EB＝12DE＝200， ∴AB＝AD＋EB＋DE＝200＋400＝600． MCBA图（2）图（1）BABAEDCBA表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环66 答：A、B 两市相距 600 千米． 【变式题组】 01． （哈尔滨）已知点 O 在直线 AB 上，且线段 OA 的长度为 4cm，线段 OB 的长度为 6cm，E、F 分别为线段 OA、OB 的中点，则线段 EF 的长度为____cm． 02． （银川）AB、AC 是同一条直线上的两条线段，M 是线段 AB的中点，N 是线段 AC 的中点，线段 BC 与 MN 的大小有什么关系？请说明理由． 03． （河南）如图，线段 AB＝4，点 O 是线段 AB 上一点，C、D 分别是线段 OA、OB 的中点，小明据此，很轻松地求得 CD＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点 O 运动到 AB 的延长线上，原有的结论“CD＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由． 演练巩固 反馈提高 01．当 AB＝5cm，BC＝3cm 时，A、C 两点间的距离是（） A．无法确定 B．2cm C．8cm D．7cm 02．下列说法正确的是（） A．延长直线 AB B．延长线段 AB C． 延长射线 AB D．延长线段 AB 03．若 PA＋PB＝AB，则（） A．P 点一定段 AB上 B．P 点一定段 AB外 C．P 点一定在 AB的延长线上 D．P 点一定段 BA的延长线上 04．已知点 C 是线段 AB上的一点，下列说法中不能说明点 C 是线段 AB 的中点是（） A．AC＝BC B．AC＝12AB C．AC＋BC＝AB D．2AC＝AB 05．如图，已知线段 AD＞BC，则线段 AC 与 BD 的关系是（） A．AC＞BD B．AC＝BD C．AC＜BD D．不能确定 06． （黄冈）某公司员工分别在 A、B、C 三个住宅区，A区有 30 人，B 区有 15 人，C 区有10 人， 三个区在一条直线上， 位置如图所示， 该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（） A．A区 B．B 区 C．C 区 D．A、B 两区之间 07． （广州）线段 AB＝4cm，在直线 AB上截取 BC＝1cm，则 AC＝________. 08． （云南）延长线段 AB 到点 C，使 BC＝13AB，D 为 AC 的中点，且 DC＝6cm，则 AB 的长是________cm． 09．在直线 l 上任取一点 A，截取 AB＝16cm，再截取 AC＝40cm，求 AB的中点 D 与 AC 的中点 E 的距离． ODCBAABCD表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环67 10． 线段 AB上有两点 M、 N， 点 M 将 AB 分成 2∶3 两部分， 点 N 将 AB分成 4∶1 两部分，且 MN＝3cm，求 AM、NB 的长． 11．如图，C 是线段 AB 上一点，D 是线段 BC 的中点，已知图中所有线段长度之和为 23，线段 AC 与线段 CB 的长度都是正整数，则线段 AC 的长度是多少？ 12．如图 B、C 两点把线段 AD 分成 2∶3∶4 的三部分，M 是 AD 的中点，CD＝8，求 MC的长． 13．指出图中的射线（以 O 为端点）和线段． 14．判断下列语句是否正确：⑴直线 l 有两个端点 A、B； ⑵延长射线 OA 到 C；⑶已知 A、B 两点，经过 A、B 两点只有一条线段． 15．已知 A、B、C 三点：⑴AB＝10cm，AC＝15cm，BC＝5cm；⑵AB＝5.2cm，AC＝9cm，BC＝3.8cm；⑴AB＝3.2cm，AC＝1.5cm，BC＝4.5cm．A、B、C 三点是否在一条直线上？ 培优升级 奥赛检测 01． （全国初中数学联赛试题）在一条直线上已知四个不同的点依次是 A、B、C、D 的距离之和最小小的点（） A．可以是直线 AD 外的某一点 B．只有点 B 或点 C ACDBMABCDABCO表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环68 C．只是线段 AD 的中点 D．有无穷多个 02． （ “五羊杯”邀请赛）如图，已知 B 是线段 AC 上一点，M 是线段 AB 的中点，N 是线段AC 的中点，P 为 NA 的中点，Q 为 MA 的中点，则 MN∶PQ 等于（） A．1 B．2 C．3 D．4 03． （海南省竞赛题）如图，点 A、B、C 顺次在直线 l 上，M 是线段 AC 的中点，N 是线段BC 的中点，若想求出 MN 的长度，则只需条件（） A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 04． （第 18 届江苏省竞赛题）已知数轴上的三点 A、B、C 所对应的数 a、b、c 满足 a＜b＜c，abc＜0 和 a＋b＋c＝0，那么线段 AB 与 BC 的大小关系是（） 05． （江苏省竞赛题）如图，C 是线段 AB上的一点，D 是线段 CB 的中点，已知 AC＝p，且p、q、r 为质数，p＜q，p＋q＝r，又知图中所有线段长度之和为 27，则线段 AB的长是（） A．8 B．7 C．6 D．非上述答案 06． （襄樊）下列四个生活、生产现象： ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从 A 地到 B 地架设电线，总是尽可能沿着线段 AB 架设； ④把弯曲的公路改直， 就能缩短路程， 其中可用公理 “两点之间，线段最短”来解释的现象有（） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 07．平面上有四个点，经过其中每两点画一条直线，那么一共可以画直线（） A．6 条 B．1 条或 3 条或 6 条 C．1 条或 4 条 D．1 条或 4 条或 6 条 08． （第十六届江苏省竞赛题）如图，在一条笔直的公路上有 7 个村庄，其中 A、B、C、D、E、F 离城市的距离分别为 4，10，15，17，19，20 公里，而村庄 G 正好是 AF 的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（） A．A处 B．C 处 C．G 处 D．E 处 09．如图，A、B、C、D 四点在同一直线上，M 是 AB 的中点，N 是线段 DC 的中点，MN＝a，BC＝b，则 AD＝（） A．a＋b B．a＋2b C．2b－a D．2a－b 10．如图 AC＝AB，BD＝AB，且 AE＝CD，则 CE 为 AB长的（） A． B． C． D． Q PBMNAClMNBACDABCGFEDABCNMDABCEDABC表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环69 11． （ “希望杯”邀请赛试题）平面内两两相交的 6 条直线，其交点个数最少为_____个，最多为______个． 12 把线段 AB延长到 D 使 BD＝AB，再延长 BA到 C，使 CA＝AB，则 BC 是 CD 的___倍. 13．已知 A、B、C 三点在一条直线上，若线段 AB＝60，其中点为 M，线段 BC＝20，其中点为 N，求 MN 的长． 第 11 讲角 考点• 方法• 破译 1．进一步认识角，会比较角的大小，会计算角度的和差，认识度、分、秒，会进行简单的换算． 2．了解角平分线及其性质，了角余角、补角，知道等角的余角相等，等角的补角相等． 经典• 考题• 赏析 例 1：如图 AOE 是直线，图中小于平角的角共有（） A．7 个 B．9 个 C．8 个 D．10 个 【解法指导】公共端点的两条射线组成的图形叫做角，数角注意抓住概念，表示角用大写字母表示或希腊字母及数字表示，故选择 B． 【变式题组】 01．在下图中一共有几个角？它们应如何表示． 02．下列语句正确的是（） A．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角 B．两条直线相交组成的图形叫做角 C．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角 D．两条线段相交组成的图形叫做角 03．关于平角和周角的说法正确的是（） A．平角是一条直线 B．周角是一条射线 C．反向延长射线 OA，就是成一个平角 D．两个锐角的和不一定小于平角 例 2：38.33° 可化为（） A．38°30′3〃 B．38° 33＇ C．38°30′30″〃 D．38°19′48″〃 【解法指导】注意度、分、秒是 60 进制的，把度转化成分要乘 60，把分转化成秒要乘 60；反之把秒化成分要除以 60，把分化成度要除以 60，把秒化成度要除以 3600，故选择 D． 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环70 【变式题组】 01．把下列各角化成用度表示的角： ⑴15°24′36″〃⑵36°59′96″〃⑶50°65′60″〃 02．⑴3.76° ＝度分秒⑵3.76° ＝分秒 ⑶钟表在 8：30 时，分针与时针的夹角为度． 03．计算：⑴23°45′36＋66°14′24″；⑵180° －98°24′30″；〃 ⑶15°50′42″×3； ⑷88°14′48″÷4 例 3：若∠α 的余角与∠α 的补角的和是平角则∠α ＝． 【解法指导】两个角的和等于 90° 叫做余角，两个角的和等于 180° 叫做互补，同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等． 解：根据题意得 90° －∠α ＋180° －∠α ＝180° ，所以∠α ＝45° 【变式题组】 01．如图所示，那么∠2 与12（∠1－∠2）之间的关系是（） A．互补 B．互余 C．和为 45° D．和为 22.5° 02．55° 角的余角是（） A．55° B．45° C．35° D．125° 03．如果∠α和∠β互补，且∠α ＞∠β ，则下列表示∠β的余角的式子中：①90° －∠β ；②∠α －90° ；③12（∠α ＋∠β ）④12（∠α －∠β ） （） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 例 4： 如图， 点 O 是直线 AB 上的点， OC 平分∠AOD，∠BOD＝30° ， 则∠AOC＝ ． 【解法指导】注意找出图中角的和、差、倍、分关系，图中有∠AOD＋∠BOD＝180° ，∠AOD＝2∠AOC． 解：因为∠AOD＝180° －∠BOD＝180° －30° ＝150° ，又因为 OC 平分∠AOD，所以∠AOC＝12∠AOD＝12× 150° ＝75° ． 【变式题组】 01．已知直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，∠EOC＝100° ，则∠BOD 等于（） A．20° B．40° C．50° D．80° 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环71 02．如图直线 a，b 相交于点 O，若∠1＝40° ，则∠2 等于（） A．50° B．60° C．140° D．160° 03．一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（） A．45° B．60° C．75° D．80° 例 5：如图是一块手表早点 9 时 20 分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（） A．160° B．180° C．120° D．150° 【解法指导】角此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确地把握时针、分针的旋转一圈12小时， 则它1小时转的角度为360° ×112＝30° ， 1分钟转过的角度为30° ×160＝0.5° ，分针转一圈是 1 个小时，分针每分钟转过的角度为 360° ×160＝6° ．故选择 A． 【变式题组】 01．钟表上 12 时 15 分，时针与分针的夹角为（ ） A．90° B．82．5° C．67.5° D．60° 02．由 2 点 15 分到 2 点 30 分，时钟的分针转过的角度是． 例 6：考点办公室设在校园中心 O 点，带队老师休息室 A位于 O 点的北偏东 45° ，某考室 B位于O 点南偏东 60° ，请在图中画出射线 OA，OB，并计算∠AOB 的度数． 【解法指导】此类问题紧扣方位角的概念作出射线 OA，OB 是关键． 解：如图，以 O 为顶点，正北方向线为始边向东旋转 45° ，得 OA，以 O 为顶点，正南方向线为始边向东旋转 60° ，得 OB，则∠AOB＝180° －（45° ＋60° ）＝75° ． 【变式题组】 01．如图所示，某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西 50° ，把这枚指针按顺时针旋转14周． ⑴指针所指方向为； 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环72 ⑵图中互余的角有对，与∠BOC 互补的角是． 02．轮船航行到 C 处时，观察到小岛 B 的方向是北偏西 35° ，同时从 B 观察到轮船 C 的方向是（） A．南偏西 35° B．北偏西 35° C．南偏东 35° D．南偏东 55° 03．如图下列说法不正确的是（） A．OA 的方向是东偏北 30° B．OB 的方向是西偏北 60° C．OC 的方向是西偏南 15° D．OD 的方向是西南方向 例 7：如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOD＝120° ，∠AOC＝90° ，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有对． 【解法指导】彼此互补的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关，从计算相应角的度数入手，故共有 6 对． 【变式题组】 01． 如图所示，A、O、B 在一条直线上， ∠AOC＝12∠BOC＋30° ， OE 平分∠BOC，则∠BOE＝ ． 02．如图，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108° ，求∠AOB、∠BOC、∠COD 的度数． 03． 如图， 已知∠AOB＋∠AOC＝180° ， OP、 OQ 分别平分∠AOB、 ∠AOC， 且∠POQ＝50° ，求∠AOB、∠AOC 的度数． 演练巩固 反馈提高 01．已知∠α ＝35° ，则∠α 的余角是（） A．55° B．45° C．145° D．135° 02．如图直线 l1与 l2相交于点 O，OM⊥l1，若∠α ＝44° ，则∠β 等于（） A．56° B．46° C．45° D．44° 03． 把一张长方形的纸片按图的方位折叠， EM、FM 为折痕， 折叠后的 C 点落在 MB＇的延长线上，则∠EMF 的度数是（） A．85° B．90° C．95° D．100° 04．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用 A、B、C 表示，书店在学校的北偏西30° ，食堂在学校的南偏东 15° ，则平面图上的∠ABC 应是（） A．65° B．35° C．165° D．135° 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环73 05．如果∠α ＝3∠β ，∠α ＝2∠θ ，则必有（） A．∠β ＝12∠θB ．∠β ＝23∠θC ．∠β ＝13∠θD ．∠β ＝34∠θ 06．某校初一年级在下午 3：00 开展“ 阳光体育” 活动，下午 3：00 这一时刻，时针上分针与时针所夹角等于° ． 07．已知∠AOB＝30° ，又自∠AOB 的顶点 O 引射线 OC，若∠AOC：∠AOB＝4：3，那么∠BOC 等于（） A．10° B．40° C．45° D．70° 或 10° 08．已知∠AOB＝120° ，OC 在它的内部，且把∠AOB 分成 1：3，那么∠AOC 的度数是（） A．40° B．40° 或 80° C．30° D．30° 或 90° 09． ⑴如图所示，已知∠AOB 是直角，∠BOC＝30° ，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC，求∠MON 的度数； ⑵如果⑴中∠AOB＝α ，其他条件不变，求∠MON 的度数； ⑶你从⑴⑵的结果中，能发现什么规律？ 10．如图，已知 OB、OC 是∠AOD 内部的两条射线，OM 平分∠AOB，ON 平分∠COD． ⑴若∠AOD＝70° ，∠MON＝50° ，求∠BOC 的大小； ⑵ 若∠AOD＝α ，∠MON＝β ，求∠BOC 的大小． （用字母 α、β 的式子表示） 11．如图所示，已知∠AOE＝100° ，∠DOF＝80° ，OE 平分∠DOC，OF 平分∠AOC，求∠EOF 的度数． 12．如图所示，O 是直线 AB上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线． ⑴求∠DOE 的度数；⑵若只将射线 OC 的位置改变，其他条件不变，那么∠DOE 的度数会改变吗？ 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环74 13．如图，根据图回答下列问题： ⑴∠AOC 是哪两个角的和； ⑵∠AOB 是哪两个角的差． 14．如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，根据图形回答问题： ⑴图中哪些角是∠2 的 2 倍； ⑵图中哪些角是∠3 的 3 倍； ⑶图中哪些角是∠AOD 的12倍； ⑶ 射线 OC 是哪个角的三等分线． 15．如图直线 AB与 CD 相交于点 O，那么∠1＝∠2 吗？试说明理由． 培优升级 奥赛检测 01．一个角的补角的117是 6° ，则这个角是（） A．68° B．78° C．88° D．98° 02．用一副三角板可以画出大于 0° 且小于 180° 的不同角度数有（ ）种． A．9 种 B．10 种 C．11 种 D．12 种 03．如图，∠AOB＝180° ，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设∠BOD＝α ，则与 α 余角相等的是（） A．∠COD B．∠COE C．∠DOAD．∠COA 04．4 点钟后，时针与分针第二次成 90° ，共经过（）分钟（答案四舍五入到整数） ． 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环75 A．60 B．30 C．40 D．33 05．OM、ON、OP 分别是∠AOB、∠BOC、∠AOC 的平分线，则下列各式中成立的是（） A．∠AOP ＞∠MON B．∠AOP＝∠MON C．∠AOP ＜∠MON D．以上情况都有可能 06．如图，∠AOC 是直角，∠COD＝21.5° ，且 OB、OD 分别是∠AOC、∠BOE 的平分线，则∠AOE 等于（） A．111．5° B．138° C．134．5° D．178° 07．下列说法不正确的是（） A．角的大小与角的边画出部分的长短无关 B．角的大小与它们的度数的大小是一至的 C．角的平分线是一条线段 D．角的和、差、倍、分的度数等于它们度数的和、差、倍、分 08．一艘轮船由 A 地向南偏西 45° 的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由 B 地向北偏西 15° 方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A、C 相距（）海里． A．30B．40C．50D．60 09．∠A的补角是 125° 12＇ ，则它的余角是（） A．54° 18＇B．35° 12＇C．35° 48＇D．54° 48＇ 10．如果一个角等于它的余角的 2 倍，那么这个角等于它补角的（） A．2 倍 B．12倍 C．5 倍 D．15倍 11．一个角的补角与这个角的余角的度数之比为 3：1，则这个角是度． 12．α 、β、γ 中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算115（α ＋β ＋γ ）的值时，有三位同学分别算出了 23° 、24° 、25° 这三个不同的结果，其中确有一个是正确答案，则 α＋β ＋γ ＝． 13．已知∠AOB＝50° ，∠BOD＝3∠AOB，OC 平分∠AOB，OM 平分∠AOD，求∠MOC 的表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环76 度数． 表示具有相反意义的量会进行有理的分类体会并运用数学中的分类思想理解数轴相反数绝对值倒数的意义会用数轴比较两个有理数的大小会求一个数的相反数绝对值倒数经典考题赏析例写出下列各语句的实际意义向前米收人元体重相反二是它们具有数量而且必须是同类两如向前与自后收入与支出增加与减少等等解向前米表示向后米收入元表示支出元体重增加千克表示体重减小千克变式题组如果表示增加那么减少可以记作金华如果吨表示运入仓库的大米吨数约时问是这四个数中有理数的个数例在个个个个解法指导有理数的分类按正负性分类有理数正有理数负有理数正整数正分数负整数负份数按整数分数分类有理数正整数整数负整数分数正分数负分数其中分数包括有限小数和无限循环。