多自由度体系近似计算方法.ppt

多自由度体系近似计算方法3-1 邓柯莱(Dunkerly)法邓柯莱（Dunkerly法）迹法确定系统基频的估算公式方法特点：简单实用定义系统的动力矩阵为n个自由度系统的特征值问题为标准特征值问题若将特征值按降序排列系统的基频为标准特征值问题的特征行列式为动力矩阵的对角线元素由代数方程理论，多项式根与系数关系的韦达定理动力矩阵A的迹若质量矩阵M为对角阵，动力矩阵的迹为对角线元素M 对角线元素1设弹性系统只保留第 i 个质量 mi 及相应的弹簧δii ,则系统视为单自由度 系统的固有频率为 邓柯莱法计算系统的基频为精确解的下限 只有当时，迹法可给出比较准确的基频估算值 算例表明，梁结构通常具有以上的特点举例三自由度梁弯曲的固有频率与主振型m2mm系统的质量矩阵与柔度矩阵举例均质等直梁，试估算梁中央附加集中质量M时的基频MmEJ均质简支梁的基频记简支梁的基频为不计简支梁质量时系统的固有频率为均质梁中央附加集中质量M时的基频M=mDunkerly法Rayleigh法精确解3-2 矩阵迭代法工程中的振动问题的响应分析中，系统的低阶固有频率及主振型占有 重要地位矩阵迭代法是求解系统低阶固有频率和主振型的一种简单实用的方法 第一阶固有频率及主振型向量向量给定一个初始迭代向量 x1，由展开定理x1 与 Φ(1) 不正交所占比重增加所占比重减少动力矩阵迭代一次后，扩大了第一阶主振型在迭代向量中的优势第一阶主振型在迭代向量中的优势继续扩大随着迭代次数的增加，第一阶主振型的优势越来越大。

当迭代次数 充分大时，可近似地得到迭代后的新向量与原向量个对应元素间仅相差一常数倍 λ1 迭代过程中应对迭代向量作归一化处理 迭代过程收敛速度取决于比值趋于零的速度 迭代次数取决于系统本身的物理参数和试算向量的选取举例矩阵迭代法计算系统的基频及主振型mm2mkk2kx1x2x3系统质量矩阵和刚度矩阵系统动力矩阵选取初始迭代向量rxr12837.2547.18965557.18465267.18424577.184210系统的第一阶固有频率和主振型rxr12737.22857247.18972357.18471867.18425377.184214系统的第一阶固有频率和主振型试算向量取系统静载作用时的静变形 较高阶固有频率及主振型采用动力矩阵迭代的过程，总是不断 扩大第一阶主振型的比重能否求出第二阶以上的系统固有频率 和主振型？对于试算初始向量左乘动力矩阵迭代取 不包含有的成分由于计算过程中的舍入误差，x2内仍有可能存在 的残余成分b1尽管很小，但若直接用动力矩阵A 继续迭代仍然会不断扩大 的比重必须继续剔出它！设于是有只要在迭代计算中用矩阵A1取代A，迭代的结果会收敛到 和且矩阵A1的特征值为λ2，特征向量为 而相应于 的特征值变为零证明当 i=1 时即从以上的分析，若已知系统的特征值相应的特征向量。

欲求出第 l+1 阶特征值 和特征向量 ，可构造迭代矩阵第 l+1 阶固有频率 和主振型 由于迭代过程中的误差，因此，矩阵迭代法只适宜求解系统的低阶固有频率和主振型特征值相等的情形设初始试算向量经 r 次迭代后取线性组合选取不同的初始迭代向量取线性组合将进行正交化处理，即可得到重根的主振型半正定系统的情形K-1不存在，动力矩阵A不存在取一较小的正数 α“动力矩阵” 以其为迭代矩阵将得到半正定系统 非零特征值所对应的主振型以上过程称为带移频的矩阵迭代法举例矩阵迭代法计算系统的高阶固有频率及主振型mm2mkk2kx1x2x3求系统第二阶固有频率及主振型设初始迭代向量rxr12-0.35504630.513506150.572769160.57277017……系统的第二阶固有频率及主振型3-3 瑞利(Rayleigh)法对于运动微分方程系统的主振动由机械能守恒如果Φ是系统的第 j 阶主振型Φ(j )如果假设系统的主振动为X 是系统的假设振型称为瑞利商瑞利商的性质 若X就是系统的第 j 阶主振型 若X为任意 n 维向量 瑞利商对振型选择不敏感假设振型 X 比较接近第 r 阶主振型，由展开定理假设振型 X与第 r 阶主振型 Ψ (r) 相差一阶微量瑞利商 R(X)与第r阶固有频率的平方 相差二阶微量瑞利商在系统真实振型处取驻值（相应各阶固有频率的平方 ）原则上 瑞利商可以计算系统的任意阶固有频率实际上 系统的高阶主振型很难做出合理假设工程中，瑞利法用来估算系统的基频，而不宜计算系统 的高阶固有频率；所得结果为精确解的上限对于运动微分方程系统的主振动由机械能守恒系统的动能系统的势能可表示为外力 f 所作的功系统作自由振动时，作 用于系统的只有惯性力系统位移瑞利商对应于位移方程系统的第 r 阶固有频率由展开定理，假设振型可以证明记动力矩阵隐含着一次矩阵迭代可以推论由柯西-许瓦兹不等式可以证明举例采用瑞利法计算系统的基频mm2mkk2kx1x2x3设误差瑞利商设误差瑞利商3-4 里兹(Ritz)法对于复杂工程问题，动力分析需要计算系统的前几阶固有频率及 相应的主振型Ritz 法对 Rayleigh 法进行了修正，以实现计算低阶固有频率与振 型的目的Ritz 法是一种减缩系统自由度的近似计算方法Ritz 法对系统的近似振型 X 给出更合理的假设为选取的 k 个线性无关的假设振型待定常数向量代入瑞利商瑞利商成为a的函数利用瑞利商在真实主振型处取驻值的性质，由极值条件特征值问题的阶数 k nRitz 法实际是一种减缩系统自由度数求解固有振动的 近似计算方法Ritz 法的基本思想利用 k 个线性无关的假设振型为基底 在 n 维振型空间中构成一个 k 维子空间确定瑞利商在该子空间的 k 个极值将所得 k 个极值作为原系统前 k 阶固有频率平方的近似值n自由度系统的固有频率系统的前 k 阶主振型证明所得近似主振型关于 M 和 K 具有正交性Ritz 法的一些性质 若假设振型恰好是主振型Ritz 法求出的 就是系统的前 k 阶固有 频率的精确值 若假设振型线性无关，且均可表示为系统前 k 阶主振型的线性组合构成 k 维子空间 Rk 的基底构成 k 维子空间 Tk 的基底子空间Tk与Rk等同Ritz 法仍可求出系统的前 k 阶固有频率 和主振型 的精确解Ritz 法只要选取的假设振型 能够使子空 间 Tk 接近于子空间 Rk ，就能求得系统前 k 阶固有频率和主 振型较好的近似解 Ritz 法计算的固有频率与精确解有如下关系Ritz 法一般只能用来估算系统的前几阶固有频率及主振型难点是 k 维子空间的任一组基不知道Ritz 法计算的固有频率中只有前一半的精度较高。

实际 计算中若要求系统的前 k 阶固有频率，假设的振型数目应取 为2k计算精度取决于假设的近似振型对真实振型的逼近程度举例采用 Ritz 法计算系统的钱而阶固有频率和主振型mm2mkk2kx1x2x3假设振型3-2 矩阵迭代法3-3 瑞利(Rayleigh)法3-4 里兹(Ritz)法3-5 子空间迭代法3-6传递矩阵法 逐步积分法？逐步积分法的基本思想：将计算的时间区间分割， 以已知运动量的点为开始时刻，递增地逐点求出各个时间点所对应的运动量增加时间，以下介绍几种对加速度的变化规律进行假设的逐步积分法特点是利 用运动微分方程，由某时刻 t 的已知位移，速度，加速度计算出时刻 t+△t 相应的各量，并依次进行，逐点求出系统的响应? 对于运动量 ，如何对其中的一个量进行假设? 对近似计算结果（或计算方法）的优劣线加速度法将时间区间[ a , b ]剖分成若干个分点：a = t0 t1· · · · · · tn= b时间步长等时间步长假设在第 i 时间间隔[ ti , ti+1 ]内，加速度呈线性变化，即 当当τ∫∫补充运动微分方程线加速度法的递推公式Δt ΔtΔt 线加速度法的计算精度高 线加速度法的计算结果是条件稳定时间步长Δt一般要小于振动周期的1/6~1/10计算量大！Lagrange中值定理若f(x）在[a，b]上连续，在（a，b）可微，则在（a，b）间 至少有一点c，使Newmark法 在区间[ ti , ti+1 ]内，由微分中值定理假设速度Lagrange中值定理由Tayloy级数展开假设位移Newmark法的递推公式 β 值影响算法精度即为线加速度法 当Newmark法无条件稳定 当算法引起附加阻尼（数值解周期延长、振幅缩减） 当算法精度高，但条件稳定算法精度低，但无条件稳定Wilson-θ 法基本思想 引入一个参数在更大的时间间隔内，对线加速度法进行修正。

 在区间[ ti , ti+θ h ]内，假设∫∫令τ =θ h令τ =h该算法无条件稳定，但算法也引起附加阻 尼（数值解周期延长、振幅缩减） 当一般取1-3-4 等效阻尼等效粘滞阻尼在一个振动周期内消耗的能量等于要 简化的非粘滞阻尼在同一周期内消耗的能量 等效原则假设简谐激励非粘滞阻尼 的稳态响应为简谐运动等效粘滞阻尼一个 周期所消耗的能量非粘滞阻尼一个周 期所消耗的能量粘滞阻尼消耗的能量等效粘滞阻尼力在一个周期振动内所消耗的能量。