文科第六章数列第2节数列的通项公式与求和.doc

题型74数列通项公式的求解1. （2013安徽文19）设数列｛%｝满足％=2,们+ ＜妇=8，且对任意〃EN*,函数/3） =（Q〃-Si+Q”2）x+Q*2，co^—%—2sinx满足力 -=0.（1）求数列｛%｝的通项公式；;⑵若如= 2"、求数列您｝的前乃项和关.1 .分析 （1）求导，代入f ? =0,并对所得式子进行变形，从而证明数列是等差数 V ）列,再由题目条件求基本量，得通项公式.（2）将"代入化简，利用分组求和法，结合等差、等比数列的前石项和公式计算.解析 （1）由题设可得 f（x）=an-a^ +q函一q* smx-a+, cosx.对任意ne N*, f - =%-命+命一知=，即皿-4 =皿-七“，故｛《｝为等差 、乙）数列.由q=2，%+%=8，可得数列｛《｝的公差d = 1,所以q =2 + 1・（〃一 1） = 〃 + 1.i A 1 1(2)—— =2 〃 + l +——=2〃——+ 2知, 2a J I 2-) 2”〃(〃 + l) 2= 2〃 + 2・——+-21i-T21-==〃+ 3〃 + 1-上2"2. （2013广东文19）设各项均为正数的数列｛为｝的前石项和为S.，满足4&=《］一4〃一1, ，任N*,且％，务，气构成等比数列.（1）证明：a2 =』4% +5 ； ⑵求数列｛%｝的通项公式;1 1 1 1（3）证明：对一切正整数儿有——+——+ •・• + <-.Cln-\an 22.分析（1）把〃 =1代入递推式4=《]一4〃一1,可以得到们和％的关系式，变形可得q=j4%+5. （2）鉴于递推式4&=《|一4〃一1含有的特点，常用公式V 〃 = 1Q = ，5 一 进行化异为同，得到〃 |和〃的递推式，构造等差数列，进而求出[s〃-St 心 2 山"数列的通项.（3）要证的不等式的左边是一个新数列的前乃项和，因此要求和、化简，因为一!一是一个分式，常常通过裂项相消法逐项相消，然后再通过放缩，得出结 "+1论.解析 （1）证明：由4=《]一4〃一1,得4=公一4一1,即4已=/一4一1,所以cq =4ci｝ +5.因为a” > 0，所以% =』倾+5.（2）因为4&=《]一4〃一1 ①所以当时，4&_]=就一4（〃一1）一1 ②由①•②得物〃 =Vi-或一4,即 41 =片 +4弓 +4 =（弓 + 2）2 》2）.因为白〃 >0，所以 an+i = an + 2 ,即= 2（〃 3 2）.因为"成等比数列，所以公=%知，即（。

2+32）2 =向（务+12x2）,解得% =3.又由（1 ）知2 = J%] +5 ,所以％ = 1 ,所以白2 -6/）=2.综上知=2（/76 N*）,所以数列｛%｝是首项为1,公差为2的等差数列.所以 q =1+2（〃一1） = 2〃一1.所以数列｛%｝的通项公式为/=2〃—l（〃cN*）.1 1 )H 2/7 — 1 2/7 +1 /（3）证明：由（2）知一!一1 1 1所以——+——+•••+ a\ai a2a3 anan+\1 1 < —. 4〃 + 2 23. （2013 江西文 16）正项数列｛%｝满足：a^-（2n-l）an-2n=Q.（1） 求数列｛右｝的通项公式％；〃 +1（2） 令々=~~ ,数列｛如｝的前石项和为写.（〃+2） an3 .分析（1）根据已知的〃和〃的关系式进行因式分解，通过q >0得到数列仇｝的通项公 式；（2）把数列｛%｝的通项公式代入如的表达式，利用裂项法求出数列｛如｝的前〃项和.解析 （1）由片-（2〃-1）0〃-2〃 = 0,得（七-2〃）（《+1） = 0.由于｛%｝是正项数列，所以 % = 2〃 •(2) 由=2〃,如= !———， 则人 =——-! = — !— (〃 +1)q ” 2〃 (〃 + 1) 2 V n n + \ J/ 1|\ 1 1 1 1 1 1 1 )_ 1七 1 〃2 \ 2 2 3 n -1 n n n + 1) 2 \ n + 1 J 2(〃+ 1)4. (2013 重庆文 16)设数列{qj 满足：％ = 1, 6tw+1 = 3an, n g N + .（1） 求｛%｝的通项公式及前入项和s“；（2） 已知｛々?｝是等差数列，7”为其前为项和，且/?! = a2i打=c\ +白，+ %，求Ko,4.分析 根据等比、等差数列的通项公式及前石项和公式直接运算求解.解析 （1）由题设知｛%｝是首项为1,公比为3的等比数列，所以1-3" 1。

〃=3〃一低=古=项3〃-1）.(2) S=Q? = 3,如= 1 + 3 + 9 = 13,Z?3-Z?]=10 = 2d, 所以公差 d = 5 ,8. （2014江西文17）（本小题满分12分）已知数列｛""｝的前为项和3疽-n20x19故皿20x3+ — x5 = 1010.5. （2013湖南文19）设S〃为数列｛%｝的前项和，己知①0 ,22“〃-皿=N*.（1） 求S，%,并求数列｛%｝的通项公式；（2） 求数列｛〃％｝的前■项和.5.分析 根据q〃=S〃 — S〃t（"，2）消去S.得到关于气的关系式，求其通项；利用错位相 减法求前入项和.解析⑴令〃 =1 ,得2弓一％ =酒，即1=酒.因为《莉，所以67, =1.令 〃 =2,得 2% _ 1 = S? = 1 +2，解得= 2 •当"N2 时，由 2a n - lan_. = an，即L = .于是数列｛%｝是首项为1.公比为2的等比数列.因此，an = 2n-[.所以｛《｝的通项公式为％ =2T（2）由（1）知，比z〃=〃・2j.记数列的前冷页和为B”，于是皂7 = 1+2x2+3x2~+• •・+〃x2〃 1, ①28〃 = Ix2+2x2」+3x2,+• •・+/7x2”. ②①-②，得—用=1+2+2? +...+顼—〃・2〃 = 2〃 — 1—〃 • 2〃.从而8〃 =1+（〃一1）・2〃・6. （2014陕西文4）根据如图所示框图，对大于2的整数不，输出的数列的通项公式是（ ）.a. an =2/t B.q=2（〃-1） c. an = T d. an = X~x7. （2014 新课标 II 文 16）数列｛%｝满足。

〃+1= —, 4=2,贝IJ1一％（1）求数列｛〃“｝的通项公式;（2）求证：对任意〃>1,都有〃任N,使得？，七,，％成等比数列.9. （2014大纲文17）（本小题满分10分）数列｛%｝满足 4=1，句=2, %+2=瓦1-％=2.（1） 设bn =aft+｝ -an,证明｛"｝是等差数列；（2） 求｛%｝的通项公式.10. （2014广东文19）（本小题满分14分）设各项均为正数的数列｛%｝的前石项和为SH ,且sn满足 S；-（/?2+/?-3）S/;-3（/22+7?） = 0,He N\⑴求1的值；]血+1)⑵求数列｛%｝的通项公式;（3）求证：对一切正整数儿有11. （2014湖南文16）（本小题满分12分）已知数列｛〃｝的前斤项和& =n2 +nhgN.⑴求数列｛〃”｝的通项公式；⑵设bn = Tn +(—1)0，求数列如｝的前2n项和•12. (2015陕西文16)观察下列等式：1-1 = 12 2111111 — + — = + 2 3 4 3 41 1 1 1 1 _ 1 1 123456456据此规律，第入个等式可为.12. 解析 观察等式知，第石个等式的左边有2〃个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1,分母是1到2〃的连续正整数，等式的右边是-L+—n +1 n + 2 In故答案为 i__L+_L__L+...+ =_L+_L+...+_L（〃 n）2 3 4 2〃一1 2〃 〃 + 1 〃 + 2 2/7v 713. （2015江苏卷11）设数列｛%｝满足0=1，且财一前10项的和为•13. 解析 解法一：可以考虑算出前10项，但运算化简较繁琐.解法二：由题意得"，-白］=2 , 白】- =3 , , a - a .= n （n..2,HG N ）故累加得an — ax = 2 + 3 + 4+ ・・・ + 〃 ，从而= l + 2 + 3 + 4+…+ 〃II〃（/2 + 1） -2-2xfl—L1\n 〃 +1JMG N1 1 1 C+ —— + — +•••+— =2x。

1 1 1 1 1、=2xr i、i——纶 ％ %< 2 2 3 10 11>L nJ2011510 W —1 2当〃 =1时，满足通项.故—=———714. （2015安徽理18）已知数列｛%｝是递增的等比数列，且％+句=9，6Z2r/3 = 8.（1）求数列｛%｝的通项公式;（2）设；为数列｛%｝的前入项和，如=捋」，求数列也｝的前为项和7； .14. 解析（1）因为｛%｝是等比数列，且弓％ = 8,所以皿=8.联立［%+“4=9,又｛%｝为递增的等比数列，即叫＞/.《0 = 8解得,=1或,=8 （舍），可得/=鱼=8,得0 = 2.4 = 8 q = 1 ］所以 4=60〃t=2"T（〃eN*）.1（1一矿）］一2〃（2）由（1）可知 S = ~ =L^_ = 2n-\,2〃〃 1—g 1-2所以人= = !—〃 （2〃-1）（2〃袒-1） 2"-1 2,,+1 -1所以T =1-- + + + •••+ :—= 1 一 一= —." 3 3 7 7 15 2" -1 2/,+1 -1 2 -1 2 -1＜）/1+1 C— Z — Z/故写=顼匚H〃eN）.15. （2015北京文16）己知等差数列｛%｝满足c\+“2 = 10，=（1） 求｛%｝的通项公式；（2） 设等比数列｛々｝满足知=%,久=。

7；问：久与数列｛%｝的第儿项相等？15. 解析（1）依题意，设等差数列｛%｝的公差为比aA + a2 = 2% + d = 1 0 ①a4 - a3 = 2 — d ②得 d = 2 , %=4.数列｛%｝的通项公式为％ =% +（〃一 1）1 = 4 + 2（〃一 1） = 2〃 + 2（〃e N*）.（2）等比数列他｝叶％*3=8，如*疽16,设等比数列的公比为0 = ? = 2,bn= b2 •矿’一2 = 8x2〃一2 = 2〃刊（〃 N*）也=2, = 128 = 2〃+2,得 〃 =63 ,则久与数列｛%｝的第63项相等.16. （2015福建文17）在等差数列｛%｝中，“2=4，4 +知=15・（1） 求数列｛%｝的通项公式；（2） 设々=2"*+〃，求们+如+如+…+呢的值.16. 分析（1）利用基本量法可求得们，（1 ,进而求｛%｝的通项公式；（2）求数列前为项和, 首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题勿=2〃+〃, 故可采取分组求和法求其前10项和.解析 （1）设等差数列｛为｝的公差为d・q +d = 4 (a =。