《点集拓扑学》§4.5 道路连通空间.doc

第 1 页 ~~ 共 8 页§4.5　 道路连通空间较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些．我们先定义“道路”．定义 4.5.1　设 X 是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X 的每一个连续映射 f:[0，1]→X 叫做 X 中的一条道路，并且此时 f(0)和 f(1)分别称为道路 f的起点和终点．当 x＝f（0）和 y＝f（1）时，称 f 是 X 中从 x 到 y 的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并且这时，它的起点（也是它的终点）称为闭路的基点．如果 f 是 X 中的一条道路，则道路 f 的象集 f([0，l])称为 X 中的一条曲线或弧，并且这时道路 f 的起点和终点也分别称为曲线 f([0,1])的起点和终点．或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念．定义 4.5.2　设 X 是一个拓扑空间．如果对于任何 x，y，存在着 X 中的一条从 x 到 y 的道路（或曲线），我们则称 X 是一个道路连通空间．X 中的一个子集 Y 称为 X 中的一个道路连通子集，如果它作为 X 的子空间是一个道路连通空间．(Y 是否道路连通与 X 是否道路连通没有关系)实数空间 R 是道路连通的．这是因为如果 x，y∈R，则连续映射 f:[0，1]→R 定义为对于任何 t∈[0,1]有 f(t)=x+t(y-x)，便是 R 中的一条以 x 为起点以 y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的．定理 4.5.1　如果拓扑空间 X 是一个道路连通空间，则 X 必然是一个连通空间．第 2 页 ~~ 共 8 页证明　对于任何 x，y∈X，由于 X 道路连通，故存在从 x 到 y 的一条道路f:[0，l]→X 这时曲线 f（[0,1]），作为连通空间[0，l]在连续映射下的象，是 X 中的一个连通子集，并且我们有 x，y∈f（[0，1]）．因此根据定理 4.1.7可见 X 是一个连通空间． 连通空间可以不是道路连通的．我们已经指出例 4．4．l 中的 是一个连通空间．不难证明（留作习题，见习题第 3 题）它不是道路连通的．道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了．定理 4.5.2　设 X 和 Y 是两个拓扑空间，其中 X 是道路连通的，f:X→Y 是一个连续映射．则 f（X）是道路连通的． 证明　设 ．由于 X 是道路连通的，故 X 中有从 到 的一条道路 g：[0，1]→X．易见，映射 h：[0，1]→f(X)，定义为对于任意 t∈[0，1]有 h（t）=f g（t），是 f（X）中从 到的一条道路．这证明 f（X）是道路连通的．根据定理 4.5.2 可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可商性质.定理 4.5.3　设 是 n≥1 个道路连通空间．则积空间 也是道路连通空间．证明　我们只需要对 n＝2 的情形加以证明．设 对于 i=l，2，由于 是道路连通空间，故在 中有从 到 的一条道路 ：[0，1]→ ．定义映射 f：[0，1]→第 3 页 ~~ 共 8 页，使得对于任何 t∈[0，l]有 f（t）＝（ )．容易验证（应用定理 3．2.7）f 是连续的，并且有 f(0)=x,f(1)=y．这也就是说 f 是 中从 x 到 y 的一条道路．这证明 是一个道路连通空间．作为定理 4.5.3 的一个直接的推论立即可见：n 维欧氏空间 是一个道路连通空间．（这个结论也容易直接验证．）为了今后的需要我们证明以下引理，定理 4.5.4[粘结引理]　设 A 和 B 是拓扑空间 X 中的两个开集（闭集），并且有 X＝A∪B．又设 Y 是一个拓扑空间， ：A→Y 和 ：B→Y 是两个连续映射，满足条件：定义映射 f:X→Y 使得对于任何 x∈X， f（x）＝ 则 f 是一个连续映射．证明　首先注意，由于 ，映射 f 的定义是确切的．因为当x∈A∩B 时，有 ．其次，我们有：对于 Y 的任何一个子集 Z 有这是由于第 4 页 ~~ 共 8 页现在设 U 是 Y 的一个开集．由于 都连续，所以 分别是A 和 B 的开集．然而 A 和 B 都是 X 的开集，所以 也都是 X 的开集．因此 是 X 的一个开集．这便证明了 f 是一个连续映射．当 A 和 B 都是 X 的闭集时，证明是完全类似的．我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念．定义 4.5.3　设 X 是一个拓扑空间，x，y∈X．如果 X 中有一条从 x 到 y 的道路，我们则称点 x 和 y 是道路连通的．(注意:是“点”道路连通)根据定义可见，如果 x，y，z 都是拓扑空间 X 中的点，则（1）x 和 x 道路连通；（因为取常值的映射 f: [0，1]→X（它必然是连续的）便是一条从 x 到 x 的道路．）（2）如果 x 和 y 连通，则 y 和 x 也连通；(设 f:[0，1]→X 是 X 中从 x 到y 的一条道路．定义映射 j：[0，l]→X，使得对于任何 t∈[0，l]有 j（t）＝f（1－t）．容易验证 j 是一条从 y 到 x 的道路．)（3）如果 x 和 y 连通，并且 y 和 z 连通，则 x 和 z 连通．（设 ：[0，1]→X 分别是 X 中从 x 到 y 和从 y 到 z 的道路．定义映射 f:[0，1]→X 使得对于任何 t∈[0，l]，应用粘结引理立即可见 f 是连续的，此外我们有 f（0）＝ （0）=x 和f(1)= (1)=z．因此 f 是从 x 到 z 的一条道路．）以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系．第 5 页 ~~ 共 8 页定义 4.5.4　设 X 是一个拓扑空间．对于 X 中的点的道路连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间 X 的一个道路连通分支．如果 Y 是拓扑空间 X 的一个子集．Y 作为 X 的子空间的每一个道路连通分支称为 X 的子集 Y 的一个道路连通分支．拓扑空间 X 的每一个道路连通分支都不是空集；X 的不同的道路连通分支无交；以及 X 的所有道路连通分支之并便是 X 本身．此外，x，y∈X 属于 X的同一个道路连通分支当且仅当 x 和 y 道路连通．拓扑空间 X 的子集 A 中的两个点 x 和 y 属于 A 的同一个道路连通分支的充分必要条件是 A 中有一条从 x 到 y 的道路．根据定义易见，拓扑空间中每一个道路连通分支都是一个道路连通子集；根据定理 4.5.1，它也是一个连通子集；又根据定理 4．3．l，它必然包含在某一个连通分支之中．作为定理 4.5.l 在某种特定情形下的一个逆命题，我们有下述定理：定理 4.5.5　n 维欧氏空间 的任何一个连通开集都是道路连通的．证明 首先我们注意 n 维欧氏空间 中的任何一个球形邻域都是道路连通的，这是因为它同胚于 n 维欧氏空间 本身．其次证明 n 维欧氏空间 的任何一个开集的任何一个道路连通分支都是一个开集：设 U 是 的一个开集，C 是 U 的一个道路连通分支．设 x∈C．因为 U是一个包含 x 的开集，所以也包含着以 x 为中心的某一个球形邻域B（x，ε）．由于球形邻域 B(x,ε)是道路连通的，并且 B（x，ε）∩C 包含着 x，故非空,这导致 B（x，ε） C．所以 C 是一个开集．最后,设 V 是 的一个连通开集．如果 V ，则没有什么要证明的．下设V ．V 是它的所有道路连通分支的无交并，根据前一段中的结论，每一个道路连通分支都是开集．因此如果 V 有多于一个道路连通分支，易见这时 V 可以第 6 页 ~~ 共 8 页表示为两个无交的非空开集之并，因此 V 是不连通的，这与假设矛盾．因此 V只可能有一个道路连通分支，也就是说 V 是道路连通的．推论 4.5.6　n 维欧氏空间 中任何开集的每一个道路连通分支同时也是它的一个连通分支．证明　由于 n 维欧氏空间 是一个局部连通空间，根据定理 4．4．1，它的任何开集的任何连通分支都是开集.根据定理 4.5.5， 的任何开集的任何连通分支都是道路连通的，因此包含于这个开集的某一个道路连通分支之中．另一方面．任何一个集合的道路连通分支，由于它是连通的，因此包含于这个集合的某一个连通分支之中，本推论的结论成立．通过引进局部道路连通的概念，定理 4.5.5 和推论 4.5.6 的结论可以得到推广．（参见习题 5．）作业:P132 1. 2. 本章总结：（1）有关连通、局部连通、道路连通均为某个集合的概念，与这个集合的母空间是否连通、局部连通、道路连通无关．（2）掌握连通、局部连通、道路连通这三者之间的关系．（3）记住 中的哪些子集是连通、局部连通、道路连通的．第 7 页 ~~ 共 8 页（4）连通、局部连通、道路连通分支是一个分类原则，即每个集合都是若干个某某分支的并，任两个不同的分支无交，每个分支非空．若两个分支有交，则必是同一个分支．（5）连通是本章的重点．（6）掌握证明连通、不连通及道路连通的方法．特别注意反证法．（7）掌握连通性、局部连通性、道路连通是否是连续映射所保持的、有限可积的、可遗传的．第 8 页 ~~ 共 8 页。