差分方程的解法1.doc

第三节 差分方程常用解法与性质分析高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析江西省高中数学课程标准研究组 舒昌勇 (341200)在高中数学新课标选修系列 4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程Xn+1=kXn+b (1)是讨论的重点，其一般形式为Xn+1=kXn+f(n) (2)其中k为已知的非零常数，f(n)为n的已知函数.当f(n)丰0时，方程(2)称为非齐次的， f(n)=0时，方程Xn+1 =kX n (3)称为齐次的，并称(3)为(2)相应的齐次方程.方程(1)是方程(2)当f(n)为常数的情 况，是方程(2)能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种.我们来讨论方程(1)和(3)通解的求法.1求一阶齐次差分方程 Xn+1 = kXn的通解用迭代法，给定初始值为 X0,则一阶齐次差分方程 Xn+1 = kXn的通解为X1 = kX 0, X2=kX1=k2X0, X3=kX2=k3X0, …，一般地，有Xn= kX 0-1= k(k n-1X0)= k nX0, n = 1 , 2,…，由于X0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用 c来表示.又根据 差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常 数，则为其通解，故一阶线性齐次方程 Xn+1=kXn的通解可表为Xn=knc (c为任意常数).对于每一个任意给定的初始值 X0,都能得到方程相应于该初始值的一个特解 .而求特解只要将给定的初始值 X0代入通解求出待定常数 c即可.2求一阶非齐次差分方程 Xn+1 = kXn+b的通解2. 1探索一阶非齐次差分方程 Xn+1 = kXn+b通解的结构设数列{ yn } , { zn }为方程(3)的任意两个解，则yn+1=k y n +b (4)Zn+1= k Z n +b (5)(4) — (5) 得 yn +1 — Zn +1=k(yn — Z n )这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解. 从而，若an为非齐次方程(3)的任意一个解，bn为非齐次方程(3)的一个特解，则 an-bn就为相应齐次方程的一个解.为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解 an作适当变形：an=a n+b n- b n= b n +( an - bn)这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个 解的和的形式.从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解.2. 2求一阶非齐次差分方程(3)的通解①用迭代法，设给定的初始值为 X0,依次将n=0, 1, 2,…代入(3),有X1=kX 0+bx2=kx1+b=k(kx 0+b)+b =k2x0+b(1+k)x3=kx2+b= k[k 2x0+b(1+k)]+b= k 3x0+b(1+k+k 2)xn=knx0+b(1+k+k 2+ ••• +k n-1)i)当 k丰 1 时，1+k+k2+ •••+k n-1 = 1 kn1 k此时 xn=knx0+ b（1 kb =kn（x0 -上）+ 上1 k 1 k 1 kb由于x。

表示初始值，可任意给定，故可设其为任意常数，从而 x0 也为任意常1 k数.令x0- _\=c，则（3）的通解可表为1 kxn = knC+ —（ C为任意常数）1 kii）当 k=1 时,1+k+k2+ •••+k n-1=n此时 xn=x0+nb由于x°可任意给定，即其可为任意常数，故（ 3）的通解可写为xn=c+nb （c为任意常数）②待定系数法与求解常微分方程类似，待定系数法也是求非齐次线性差分方程一个特解的一种较为简便、常用的方法.其基本思想是：根据方程的非齐次项 f（n）的特点，用与f（n）形式相同但系数为待定的函数，作为方程的特解（称为试解函数） ，然后将该试解函数代入方程，以确定试解函数（特解）中的待定系数，从而求出方程的一个特解.i） 当k乒1时，设方程（3）有一特解xn =A，其中A为待定常数，将其代入（3）,有A=kA+b , A=^^ , 即 xn=^-1 k 1 k知此时方程（3）的通解为xn= knC+ 一卜 （C为任意常数）1 kii） 当k=1时，方程（3）为xn+1=xn+b,知其解数列的一阶差分为常数，可设其有形如xn =An的特解，代入（3）,有A（n+1）=An+b , 得 A=b , 即 xn=bn知此时方程（3）的通解为xn= knc+bn= c+bn （c 为任意常数）例1求差分方程2yt+1+5yt= 0的通解，并求满足 y0=2的特解.解 将原方程改写成yt+1 = （- - ） yt ,2故其通解为yt =（- — ）t c , c为任意常数.2用y°=2代入通解：2= （- 5 ） °c ,得c = 2 .2满足初值y0=2的特解为yt=2（- -）t.2例2求下列差分方程的通解（1） xn+1=xn+4(2) Xn+1+Xn=4解(1)方程中有k=1, b=4 .其通解为Xn=c+4n , (c为任意常数).(2)原方程可化为 Xn+1= — Xn+4 ,方程中k= — 1, b=4 ,其通解为 Xn= ( — 1)nc+ 一4一=(-1) nc+2 , (c为任意常数).例3某学术报告厅的座位是这样的安排的：每一排比前一排多 2个座位.已知第一排有30个座位，(1)若用yn表示第n排的座位数，试写出用 yn表示yn+1的公式.(2)第10排的座位是多少个？ ( 3)若用Sn表示前n排的座位数，试写出用 Sn表示Sn+1的公式.(4)若该报告厅共有20排，那么一共有多少个座位？解(1) yn+1= y n+2 n =1,2, ••-(2) 解上述差分方程，其中 k=1,b=2 , 通解为 y n=2n+c , c为任意常数. 由已知y1=30,代入，得c = 28 .特解为 yn=2n+28 , y 10=2X 10+28=48(个).(3) S+1=S+yn+1=S+[2(n+1)+28]可得表达式为 S n+1=Sn+2n+30 , n=1 , 2, ••-(4) 先解上述差分方程，由 Sn+1- Sn=2n+30 ,即^ Sn=2n+30,知 Sn 的表达式为 n 的二次函数，设 Sn=An2+Bn+C, 则^ Sn =A (n+1) 2+B (n+1) +C— An2— Bn— C=2A n+ A+B = 2n+30 .可得 A=1 , B=29 . 又由初始条件 y 1= 30= S 1, 有 30 =A+B+C，故 C=0 .因此本问题的特解 Sn= n2+29n , n =1,2, ••-&0= 20 2+29X 20=980 (个).注意：在本例小题(1)中每排座位数的表达式 yn+1=yn+2 y n+1- yn=2，与小题(2)中前n+1排座位数表达式 Sn+1=S+2n+30即S+1-Sn=2n+30都属一阶非齐次线性差分方程 Xn+1=kXn+f(n)类型，但前者属f(n)为常数的情况，而后者属 f(n)为n的一次函数的情况，利用差分有关知 识，知Sn的表达式是关于 n的二次函数.参考文献[1] 教育部.普通高中数学课程标准(实验) [S].北京：人民教育出版社，2003.83-85.[2] 严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学课程标准(实验)解读 [M].南京：江苏教育出版社， 2004.218-228.[3] 张银生，安建业.微积分[M].北京：中国人民大学出版社， 2004. 431, 448-460.[4] 黄立宏，戴斌祥.大学数学(一)[M].北京：高等教育出版社，2002.380-389 .(本文刊于中学数学教学(合肥)，2006, 6.)1、常系数线性差分方程的解(8)方程 a0Xn k a1Xn k 1 … akXn b(n)其中20,务,...,机为常数，称方程（8）为常系数线性方程。

9)木旱 a0Xn k aiXn k 1 … ak xn 0为方程（8）对应的齐次方程如果（9）有形如Xnn的解,带入方程中可得:k k 1a 0 a1 ... a k 1ak 0(10)称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解 基本结果如下：（1） 若（10）有k个不同的实根，贝U （ 9）有通解：n n nXn C1 1 C2 2 ... Ck k（2） 若（10）有m重根，则通解中有构成项：/一 - - _ _ m 1、 n（G c2 n ... cm n ）(3)若(10)有一对单复根2 2 ., arctan —,则(9)的通解中有构成项:Clcos n C2 n sin(4)若有m重复根:(9)的通项中有成项:m 1、c2 n ... cm n )cos n(Cm 1 Cm 2 nm 1 n _c2m n ) sin n综上所述，由于方程(10)恰有k个根，从而构成方程(9)的通解中必有k个独立的任意常数通解可记为：Xn如果能得到方程(8)的一个特解:Xn则(8)必有通解:*(11)Xn Xn + Xn(1) 的特解可通过待定系数法来确定。

例如：如果b(n) bnPm(n)，Pm(n)为n的多项式，则当b不是特征根时，可设成形如bqm(n)形式的特解，其中qm(n)为m次多项式；如果b是r重根时，可设特解:bnnrqm(n)，将其代入(8)中确定出系数即可2、差分方程的z变换解法对差分方程两边关于取Z变换，利用Xn的Z变换F(Z)来表示出Xnk的Z变换，然后通过解代数方程求出 F (z)，并 把F(z)在2=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的Xn例 1 设差分方程 Xn 2 3Xn 1 2Xn 0,X0 0,X1 1,求Xn解：解法1：特征方程为2 3 2有根：1 1，2 2故：Xn C1( Dnc2( 2)为万程的解由条件 X0 QX1 1 得：Xn ( 1)n ( 2)n解法2:设F (z) =Z(Xn)，方程两边取变换可得:2 1z2(F(z) X0 X1 -) 3z(F(z) x°) 2F(z) 0z由条件X0 0，X1 1得F(z)厂云由F (z)在z 2中解析，有k1 1 1 1 k 1 2k k k kF(z) z(— —) — 「 ( 1)k-k ( 1)r ( 1)k(1 2k)zkz 1 z 2 1 2 k 0 z k 0 z k 0I — I —z z所以，冷(1)0 ( 2)03、二阶线性差分方程组设z(n)(Xn) yna bA ( ), c d ,形成向量方程组z(n1) Az(n)(12)则z(n1) Anz(1)(13)(13)即为(12)的解。

为了具体求出解(13),需要求出An,这可以用高等代数的方 法计算常用的方法有：(1) 如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线 上的元素就是A的特征值，相似变换矩。