八年级数学（上）勾股定理备课资料大全北师大版.doc

第一章 勾股定理综述：勾股定理是反映自然界基本归律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用.勾股定理的发现.验证和应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理从变的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过勾股定理的学习，同学们将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解.勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但在本章中不要求同学们从逻辑上对定理与逆定理进行一般的认识，因此，课本没有给出勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角形的判别条件.课本以历史上古埃及人做直角的方法引入“三角形的三边如果满足a2+b2=c2,是否能得到一个直角三角形”的问题，然后通过让学生按已知数据作三角形，从测量三角形的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关变的条件.为了让同学们更好的体会勾股定理在实际问题中的作用，课本提供了较为丰富的历史的或现实的例子来展示他们的应用，体会了它们的文化价值.限于同学们已有的知识，有关应用中涉及数均为完全平方数，本章更多关注的是对勾股定理的理解和实际应用，而不追求计算的复杂.在同学们学习了无理数之后，可以再用勾股定理解决一些涉及无理数的实际问题.1.1探索勾股定理应知必会1.培养合情推理.主动探究的习惯，进一步体会数形结合的思想.2.掌握勾股定理，知道该定理反映了直角三角形三边之间的关系，它是直角三角形的一个重要性质.3.能运用勾股定理由已知直角三角形的两边长求出第三边的长.新知提要1.勾.股.弦的概念：在我国古代，人们把直角角形中的较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.2.勾股定理：直角三角形两边的平方和等于斜边的平方.即c2=a2+b2(c为斜边，a.b为直角边). 3.勾股定理作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；（3）可用来证明线段平方关系的问题等等. 典例精析【例1】如图所示，隔湖有两点A,B,从与BA 方向成直角的BC上的C点，测得CA=50米，CB=40米.求：A,B两点的距离.（2） 你能知道B点到直线AC得最短距离吗？ 【分析】（1）由题意可知，三角形ABC是直角三角形，A,B两点间的距离就是AB的长，所以用勾股定理可以求出.（2）要问B到直线AC得最短距离，就是要求出B到AC的垂涎BD的长，运用面积公式可以解出. 【答案】解：由题意知ΔABC是直角三角形，勾股定理知AC2=BC2+AB2,又AC=50,BC=40,于是 AB2=502+402=900. 由AB为正，所以： AB=30米.ΔABC的面积=ABBC =AC BD.则ABBC=ACBD所以BD====24（米）.答：AB两地的距离为30米，B到AC 的最短距离为24米【例2】如图所示，一根旗杆在离地面9米的A处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处的C处，旗杆折断之前有多高？ 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题时需要把本题的问题设法转化为求直角三角形的三边问题，求解思路为先用勾股定理求AB,再由旗杆折断之前的高度=AC+AB,求出结果.【答案】如图，由题意AB2=92+122=225,所以AB=15故旗杆的高为15+9=24米. 过关练习1.11.选择题（1） 一个直角三角形的斜边长比直角边大2，另一直角边长为（ ） A.4 B.8 C.10 D.12(2) 斜边为17，一条直角边长为15的直角三角形的面积为（ ）A.60 B.30 .C90 D.120(3)直角三角形两直角边分别为5，12，则斜边上的高为（ ）A.6 B.8 C. D.2.填空题（1） 在Rt△ABC中，斜边 AB=2, 则 AB2+BC2+CA2= .（2） 直角三角形的周长是12CM，斜边的长是5CM ,则其面积为 .（3） 如果一个直角三角形的一条直角边是另一直角边的2倍，斜边长是5㎝，那么这个直角三角形的面积为 .3． 如图，图中阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积. 15㎝17㎝ 4.如图，是一个长方形的操场，今不绕长方形的操场的两边走（A→C→B）而取捷径沿对角线（A → B）走，省去了长方形长边的距离，求长方形短边与长边各是多少？C BB A D 5.已知旗杆AB 高17米，在离旗杆顶端B处1米的地方系一条绳索，绳索长20米，将绳索拉直，绳索的另一端恰好到地面上的C处，求：A.C间的距离.过关练习1.1参考答案 1．（1）C (2)A (3)D 2.(1)8 (2)6㎝2 (3) 5㎝23. 正方形的面积为S 所以，S=172-152=82=644. 设长方形长为 X,宽为y.则有：x2+y2=(x+y-)2, x2+y2=( +y)2x2+y2=x2+xy+y2x2=xy两边同除以x2得，=,故，长与宽的比为4：3. 5．A.C之间的距离是12米.1.2 能得到直角三角形吗应知必会1.通过实际做图得直角三角形的判定条件（即勾股定理的逆定理），弄清定理的条件和结论，并能与勾股定理相区别.2.会用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否是直角三角形，并能进行简单的应用.3.理解勾股定理的含义，探索常用勾股数的含义.新知提要1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a.b.c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.2.弄清勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系.① 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，其逆定理是判定定理.② 联系：勾股定理与其逆定理得题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.3.如何用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形：① 首先求出最大边（如c）② 验证c2与a2+b2是否具有相等关系.若c2=a2+b2,则∆ABC是∠C=900的直角三角形；若c2≠a2+b2,则∆ABC不是直角三角形.4.勾股数：满足a2+b2=c2的三个整数，称为勾股数.对于任何一组已知的勾股数，都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数.典例精析【例1】试判断：三边长分别为2n+2n,2n+1,2n+2n+1(n>0)的三角形是否为直角三角形.【分析】先确定最大边，再由勾股定理的逆定理判断.本题易错点是不先确定最大边而盲目判断.解题的关键是判定最大边.你可以用作差比较法来判断.【答案】解：因为（2n2+2n2+1）— (2n2+2n)=1>0(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2>0(n>o)所以，2n2+2n+1为三角形中的最大边.又因为，（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1所以，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1所以（2n2+2n+1）2=(2n2+2n)2+(2n+1)2根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形.【例2】如图，已知D是∆ABC边BC上的一点，且AC=AD+DC.小明说，由上面条件可得到AB2-AC2=BD2-CD2,你说小明说得对吗？为什么？【分析】先利用AC2=AD2+DC2得∆ACD 是直角三角形，且∠ADC=900从而，∠ADB=900,∆ABD也是直角三角形，再由勾股定理，即得.【答案】解：小明说的对.因为由AC2=AD2+DC2,知∆ADC是直角三角形，且∠ADC=900从而，∠ADB=1800-∠ADC=900 所以∆ADB也是直角三角形，从而，AB=AD+BD所以 AD2=AC2-DC 2,AD2=AB2-BD2 所以 AC2-DC2=AB2-DB2即AB2-AC2=BD2-DC2过关练习1.21．选择题（1）以下列各组线段为边作三角形，其中能做出直角三角形的式( )A.3,5,3 B.4,6,7 C.2,3,4 D.6,8,10（2）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（ ）A,∠A符合要求B. ∠BDC符合要求C. ∠A 和 ∠ BDC都符合要求 D. ∠A 和∠BDC都不符合要求（3）在△ABC中，a,b,c分别是∠A, ∠B, ∠C的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的式（ ）A. ∠A: ∠B:∠C =3:4:5 B. ∠A: ∠B:∠C=1:2:3C.a:b:c=3:4:5 D. .a:b:c=5:13:122.填空题（1）某三角形的三条边长为15，20，25，则此三角形最长边上的高为 .（2）△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，a+b+c是3得倍数，则c应为 ，此三角形为 三角形.（3）△ABC中，AC=13,BC=10,BC边上的中线AD=12,则AC= .3.如图，量的窗框AB 的长为160厘米，窗框BC的长为120厘米，又量得AC的长为200厘米，∠ABC是直角吗？为什么？4．如果a,b,c是一组勾股数，且a,b,c没有大于1的因子，那么我们称这一组勾股数为基础勾股数，如：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41都是基础勾股数.观察这些基础勾股数，你发现各数组中的勾与股及其积各有何特点？勾.股.弦三者的积有和特点?写出你的发现结果.5．如图△ABC中，∠ACB=900,CD⊥AB垂足为D, 若 ∠ B=300, CD=6 求AB的长.过关练习1.2参考答案1.(1)D (2)D (3)A2.(1)12 (2)13 直角（提示：7〈 C<17又C为奇数，所以C=9,11,13,15又a+b+c是3的倍数，只有C=13符合〉（3）13.提示：易知：△ACD也是直角三角形，由勾股定理得：AC=133. ∠ABC是直角.4.勾与股必为一奇一偶，勾与股的积能被4整除，勾.股.弦三数的积能被60 整除.5.81.3 蚂蚁怎么走最近应知必会1.能利用勾股定理解决简单的实际问题.2.构造直角三角形，运用勾股定理解决最短距离问题.3.经历问题解决的过程，培养将空间问题转化为平面问题去解决的能力.新知提要“蚂蚁怎样走最近”这个问题不仅是勾股定理的应用，而且体现了二.三维图形的转化，对发展空间观念很有好处，蚂蚁从棱柱下地面上的一点要爬到与之相对的上底面上的一点，且要求所走的距离最短，看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上可通过棱柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题.涉及知识点“两点之间的所有连线中，线段最短”的结论.典例精析【例1】甲.乙两位探险者在沙漠探险，某日早晨8：0甲先出发，他以6千米/时的速度向东。