第三章复变函数的积分[答案解析].pdf

9 / 6 复变函数练习题第三章复变函数的积分系专业班姓名学号 1 复变函数积分的概念4原函数与不定积分一选择题1设C为从原点沿2yx至1i的弧段 ,则2()Cxiydz A1566iB1566iC1566iD1566i2. 设C是(1)zi t,t从 1 到 2 的线段 , 则argCzdz A4B4iC(1)4iD1i3设C是从0到12i的直线段 , 则zCze dz A12eB12eC12eiD12ei4设( )f z在复平面处处解析且( )2iifz dzi,则积分()iifz dz A2 iB2 iC0D 不能确定二填空题1 设C为沿原点0z到点1zi的直线段 ,则2Czdz22 设C为正向圆周|4| 1z,则2232(4)Czzdzz10. i三解答题1计算下列积分1 2 3 4 2计算积分|Czdzz的值 ,其中C为正向圆周：1 2 3分别沿yx与2yx算出积分10()iiz dz的值解： 沿 y=x 的积分曲线方程为则原积分.10 / 6 2 沿2yx的积分曲线方程为则原积分4计算下列积分2()Cxyix dz,C:从0到1 i的直线段；C 的方程：则原积分2()Czzz dz,C：| 1z上沿正向从1 到1。

C 的方程：则原积分复变函数练习题第三章复变函数的积分系专业班姓名学号 2 柯西古萨基本定理 3 基本定理的推广复合闭路定理一、选择题1 设( )f z在单连通区域B内解析 ,C为B内任一闭路 ,则必有 AIm( )0Cf z dz BRe ( )0Cf z dzC|( )|0Cf zdz DRe( )0Cf z dz2设C为正向圆周1|2z,则321cos2(1)Czzdzz A2(3cos1sin1)iB0C6cos1iD2sin1i3设( )f z在单连通域B内处处解析且不为零,C为B内任何一条简单闭曲线,则积分( )2( )( )( )Cfzfzf zdzf z A2 i B 2 i C0 D 不能确定二、填空题1设C为正向圆周| 3z,则|Czzdzz6. i2闭曲线:| 1Cz取正方向 ,则积分122(2)(3)zCedzzz0三、解答题利用柯西积分公式求复积分1 判断被积函数具有几个奇点；2 找出奇点中含在积分曲线内部的, 若全都在积分曲线外部,则由柯西积分定理可得积分等零；.11 / 6 若只有一个含在积分曲线内部,则直接利用柯西积分公式；若有多个含在积分曲线内部,则先利用复合闭路定理,再利用柯西积分公式. 1计算下列积分1221,:|(0);Cdz Czaa aza.22111121111=20.22CCCCdzdzzaazazaidzdziazazaaa解：22,:| | 2;1Czdz Czz解法二：211zCzz被积函数在内部具有两个奇点，分别作两个以1, -1 为心 ,充分小的长度为半径的圆周C1、 C2, 且 C1和 C2含于 C 内部。

由复合闭路定理, 3 同上题中的解法二, 42cos4Czdzz,其中22:4Cxyx正向2计算积分2(1)Cdzz z,其中 C 为下列曲线：11:|2Cz; 解法二：201221zIiiz23:|2Czi; 解法二：20112221()zz iIiiiiizz zi31:|2Czi; 解法二：12()ziIiiz zi43:|2Cz12 / 6 解法二：3计算LnCzdz,其中1Lnln |arg ,:| 1zziz Cz; C 的方程：2Lnln |arg2,:|zziziCzR. C 的方程：复变函数练习题第三章复变函数的积分系专业班姓名学号5柯西积分公式 6 解析函数的高阶导数一选择题1设C是正向圆周2220 xyx,则2sin()41Czdzz A22i B2 iC0D22i2设C为正向圆周| 2z,则2cos(1)Czdzz Asin1Bsin1 C2sin1iD2sin1i3设| | 4( )efzdz,其中| 4z,则()fi A2 iB1 C2 iD14设C为不经过点1与1的正向简单闭曲线,则2(1)(1)Czdzzz为 A2iB2iC0D 以上都有可能二填空题：1闭曲线:|3Cz取正方向 ,积分3(2).(1)zCedzeiz z2设| | 2sin()2( )f zdz,其中|2z,则(1)f0,(3)f0。

三解答题：1设( )fzuiv是解析函数且222uvxyxy,求( )f z13 / 6 2计算2(1)(1)Czdzzz,C 分别为：1|1|2z；1|1|2z； |2z. 解：1120042zziIi211022().4222zzzziiIiii3111222()0.44222zzzzzziiIiiii33()zCedzza,其中a为| 1a的任何复数 ,:| 1Cz为正向解：1| 1a（）当时，4计算下列积分的值,C 为由2,2xy所围的矩形边界正向2()2zCedziz 复变函数练习题第三章复变函数的积分系专业班姓名学号 7 解析函数与调和函数的关系综合练习题一、选择题1下列命题正确的是 A 设12,v v在区域D内均为u的共轭调和函数,则必有12vvB 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数C 若( )f zuiv在区域D内解析 ,则ux为D内的调和函数D 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数2函数( )f z在闭路C上及其内部解析,0z在C的内部 ,则有 .14 / 6 A02200( )1()()()CCf zdzfzdzzzzz B200( )( )()CCfzfzdzdzzzzzC0200()( )1()2!CCf zf zdzdzzzzzD0200()( )()CCf zf zdzdzzzzz二、填空题1若函数32( ,)u x yxaxy为某一解析函数的虚部,则常数a-3。

2设( , )u x y的共轭调和函数为( , )v x y,那么( ,)v x y的共轭调和函数为-u3设C为负向圆周 ,且|4z,则5()12zCeidzzi三、解答题1由下列各已知调和函数求解析函数( ).fzuiv122,(2)0yvfxy2arctan,0yvxx解法二：2求具有下列形式的所有调和函数u：(),uf axbya与b为常数 ,且不全为零 解：2()yufx解：3计算积分3cos()2Czdzz z,C 为以下曲线：1|4z；1|24z；| 2z. 4. 设sinpxvey, 求p的值使v为调和函数 , 并计算解析函数( )f zuiv。