初等函数的连续性.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、初等函数的连续性,1,、四则运算的连续性,定理,1,例如,2,、反函数与复合函数的连续性,定理,2,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数,.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续,.,定理,3,意义,1.,在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，,注,1.,定理的条件：,内层函数有极限，外层函数,在极限值点处连续,例,1,解,例,2,解,同理可得,例,3,例,4,例,5,例,6,定理,4,注意,定理,4,是定理,3,的特殊情况,.,例如,3,、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,(,均在其定义域内连续,),定理,5,基本初等函数在定义域内是连续的,.,定理,6,一切初等函数在其,定义区间,内都是连续的,.,定义区间是指包含在定义域内的区间,.,注意,1.,初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续,;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义,.,在,0,点的邻域内没有定义,.,注意,2.,初等函数求极限的方法,代入法,.,例,7,求,解,它的一个定义区间是,例,8,解,三、闭区间上连续函数的性质,闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。

下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的1,、最大值和最小值定理,定义,:,例如,定理,1(,最大值和最小值定理,),在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值,.,注意,:,1.,若区间是开区间,定理不一定成立,;,2.,若区间内有间断点,定理不一定成立,.,定理,2(,有界性定理,),在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界,.,证,2,、介值定理（中值定理）,定义,:,几何解释,:,a,b,A,B,M,m,C,几何解释,:,例,2,推论,在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值,.,例,1,判断方程 在,-1,2,上是否有根？,例,2,证,由零点定理,注,方程,f,(,x,)=0,的根,函数,f,(,x,),的零点,有关闭区间上连续函数命题的证明方法,1,0,直接法：先利用最值定理，再利用介值定理,2,0,间法）：先作辅助函数，,再利用零,接法（辅助函数,点定理,辅助函数的作法,（,1,）将结论中的,(,或,x,0,或,c,),改写成,x,（,2,）移项使右边为,0,，令左边的式子为,F,(,x,),则,F,(,x,),即为所求,区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，,余下只须验证,F,(,x,),在所讨论的区间上,连续，,再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于,F,(,x,),在所论闭区间上的最大值与最小值之间。

四、小结,连续函数的和差积商的连续性,.,反函数的连续性,.,复合函数的连续性,.,初等函数的连续性,.,定义区间与定义域的区别,;,求极限的又一种方法,.,。