可转债期权定价模型.doc

可转债期权定价模型可转债期权定价模型 （二叉树模型）（二叉树模型）业务说明业务说明1、可转换公司债券定价的理论基础可转换公司债券可以近似的看作是普通债券与股票期权的组合体首先，可转换公司债券的持有者可以按照债券上约定的转股价格，在转股期间内行使转股权利，这实际相当于以转股价格为期权执行价格的美式买权，一旦市场价格高于期权执行价格，债券持有者就可以行使美式买权从而获利其次，由于发行人在可转换公司债券的赎回条款中规定如果股票价格连续若干个交易日高于某一赎回启动价格（该赎回启动价要高于转股价格） ，发行人有权按一定金额予以赎回所以，赎回条款相当于债券持有人在购买可转换公司债券时就无条件出售给发行人的一张美式买权当然，发行人期权存在的前提是债券持有人的期权还未执行，如果债券持有人实施转股，发行人的赎回权对该投资者也归于无效第三，还有可转换债券中的回售条款规定，如果股票价格连续若干个交易日收盘价低于某一回售启动价格（该回售启动价要低于转股价格） ，债券持有人有权按一定金额回售给发行人所以，回售条款相当于债券持有人同时拥有发行人出售的一张美式卖权综上所述，可转换公司债券相当于这样一种投资组合：投资者持有一张与可转债相同利率的普通债券，一张数量为转换比例、期权行使价为初始转股价格的美式买权，一张美式卖权，同时向发行人无条件出售了一张美式买权。

所以，可转换公司债券的价值可以用以下公式近似表示：可转换公司债券价值≈纯粹债券价值+期权价值2、二叉树法理论（Binomial Theroy）根据衍生证券定价的二叉树法理论（Binomial Theroy） ，我们把衍生证券的有效期分为很多很小的时间间隔∆t，假设在每一个时间段内股票价格从开始的 S 运动到两个新值和中的一个一般情况下 u>1，d<1，因此 S 到是价格“上升”运动，S 到是SuSdSuSd价格“下降”运动价格上升的概率假设是 P，下降的概率则为 1—P当时间为 0 时，股票价格为 S；时间为∆t 时，股票价格有两种可能：和；时间为 2∆t 时，股票价格有SuSd三种可能：、和，以此类推，图 1 给出了股票价格的完整树图在 i∆t 时刻，2SuSud2Sd股票价格有 i+1 种可能，它们是：，j=0,1,…..,ijijdSu图 1：股票价格变动二叉树图期权价格的计算是从树图的末端（时刻 T）向后倒推进行的T 时刻期权的价值是已知的例如一个买权的价值为 max（ST—X，0） ，而一个卖权价值为 max（X—ST，0） ，其中 ST是 T 时刻的股票价格，X 是执行价格。

由于世界是风险中性的，T-∆t 时刻每个节点上的期权价值都可以由 T 时刻期权价值的期望值用利率 r 贴现求得同样，T-2∆t 时刻的每个节点的期权价值可由 T-∆t 时刻的期望值利用利率 r 贴现求得，以此办法向后倒推通过所有的节点就可得到 0 时刻的期权价值如果期权是美式的，则检查二叉树的每个节点，以确定提前执行是否比将期权再持有∆t 时间更有利在这里我们假设世界是风险中性的并利用风险中性定价原理，可以求出以上各个参数的数值，其计算公式为：dududaP1,trtteaedeu其中： r 为无风险利率；指可转债对应股票价格每年波动率；Su1-PSPSdSd2SSu2∆t 期权有效期的时间间隔；u 指二叉树图中股票价格向上运动的幅度；d 指二叉树图中股票价格向下运动的幅度；可以验证，在极限情况下，即∆t→0 时，这种股票价格运动的二叉树模型将符合几何布朗运动模型因此，股票价格二叉树模型就是股票价格连续时间模型的离散形式计算示例计算示例（一） 假设前提1、 利率期限结构是平坦的2、 现金红利支付为零3、 不考虑违约风险对可转换公司债券收益的影响4、 公司理性地执行它的赎回期权（二） 模型中各参数的确定1、实际上，r 通常选择为等于衍生证券到期日相同的零息票债券的收益率；因此，理论上说，中国财政部最近一期发行的三年期国债的收益率为最佳的选择。

最近所发凭证式3 年期国债利率为 2.42%，我们最终选择 2.4%作为无风险利率 r2、指可转债对应股票价格每年波动率，其计算公式为：股价年波动率（Stock Price Volatility）=每交易日股价波动率×每年的交易日数一般来说，数据越多，估计的精度越高但是，太过长远的历史数据对预测可能作用不大实践中通常使用最近 90 天到 180 天的每日股票收盘价格 （具体算法参见 B-S 模型的需求文档） 3、某公司发行期限为 9 个月的可转换公司债券，债券面值为 100，债券可以在存续期内的任何时刻转换为 2 股公司股票，也可以在任何时刻以 115 元的价格赎回可转债发行时，公司股票价格为 50 元，股票波动率为 30％市场无风险收益曲线为水平，年收益率为 10％该公司债券的收益率曲线也为水平，收益率为 15％1） 投资人美式买权价值的计算设定计算步长为 1 年，将下列数据25. 0,75. 0%,4 . 2%,30tyearsTr代入公式，可求得以下参数：5467. 00060. 18607. 0/11618. 125. 03 . 0dudapeaudeeutrt二叉树上每个节点旁边有三个数字，上面的数字代表股票价格，中间的数字代表从后面节点递推得到的折现率，下面的数字代表可转换债券的价格。

根据这些参数和当前股票价格我们可以首先计算出图中所示各个节点的股票价格下面我们来计算各个节点上债券的价格在二叉树末端节点 G、H、I、J 上债券的价格分别记为，则：JIHG、、、   10088.312 ,100max10004.432 ,100max18.11609.582 ,100max84.15642.782 ,100maxJIHG由于在节点 D 之后，投资者肯定会将债券转化为股票，因此 D 点的折现率就是无风 险收益率 10％为了求节点 D 的债券价格，我们需要计算由节点 G、H 递推得到的债券价格，并和节点 D 的赎回价格、债券评价比较我们将由节点 G、H 递推得到的债券价格记为，则：1DQ98.13418.1164533. 084.1565467. 025. 01 . 01eQD50 11.59% A 104.8558.09 11.09% 116.18 B43.03 C 13.51% 98.0067.49 10% 134.98 D37.0 F 15% 96.3250 12.27%E 105.5678.42 10% G 156.8458.09 H 10% 116.1843.04 I 15% 100.0031.88 J 15% 100.00赎回价格记为，则：2DQ1152DQ债券平价记为3DQ98.13449.6723DQ节点 D 的债券价格记为，则：DQ98.134}98.134),115,98.134max{min(}),,max{min(321DDDD由于递推得到的债券价格与平价（转换价值）相等，因此是否将债券转股对投资者 无所谓。

公司对是否赎回债券也无所谓在节点 E，折现率为0.5467×10+0.4533×15=12.27%由节点 H、I 递推得到节点 E 的债券价格记为，则：1EQ56.1051004533. 018.1165467. 025. 0%27.12 1eQE赎回价格记为，则：2EQ1152EQ债券平价记为，则：3EQ1005023EQ节点 D 的债券价格记为，则：EQ56.105}100),115,56.105max{min(}),,max{min(321EEEE显然，在这个价格水平，债券既不会转股，也不会被赎回在节点 F 之后，由于投资者肯定持有债券到其后赎回，因此，F 点的折现率就是债券 的收益率 15％由节点 I、J 递推得到节点 F 债券的价格记为，则：1FQ32.9610025. 015. 01eQF赎回价格记为,则：2FQ1152FQ债券平价记为，则：3FQ08.7404.3723FQ节点 D 的债券价格记为，则：DQ32.96}32.96),115,32.96max{min(}),,max{min(321FFFF在节点 B，折现率应当是节点 D 和 E 折现率的加权平均值，即0.5467×10＋0.4533×12.27=11.03%由节点 D、E 递推得到债券的价格记为，则：1BQ34.118)56.1054533. 099.1345467. 0(25. 0%03.11 1eQB赎回价格记为，则：2BQ1152BQ债券平价（转换价格）记为18.11609.5823BQ节点 B 的债券价格记为，则：BQ18.116}18.116),115,34.119max{min(}),,max{min(321BBBB显然，在 B 节点公司将选择赎回债券，从而强迫投资者立即转股，得到实际价格为 116.18。

在节点 C，折现率应当是节点 E 和 F 折现率的加权平均值，即0.5467×12.27＋0.4533×15＝13.51%由节点 E、F 递推得到债券的价格记为，则：1CQ98)32.964533. 056.1055467. 0(25. 0%51.13 1eQC债券平价（转换价格）记为，则：2CQ1152CQ节点 C 的债券价格记为，则：CQ98}06.86),115,98max{min(}),,max{min(321CCCC显然，在 C 点债券既不会转股，也不会被赎回为了求 A 节点的折现率，我们假设节点 B 的折现率为 10%（因为在节点 B 发生转股） 节点 A 的折现率就是0.5467×10＋0.4533×13.51=11.59%在节点 A 债券的价格为85.104)984533. 0105467. 0(25. 0%59.11eQA我们比较一下，如果这个债券没有转股权和赎回期权，其价值为（对于实际计算时，这部分就是可转债的债底）36.8910075. 0%15e因此，这个可转债债券中期权的价值为：104.85-89.36=15.49。