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高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件课件 北师大版选修21.ppt

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    • 1.2 充分条件与必要条件 1.理解并掌握充分条件、必要条件和充要条件的意义.2.能结合所学知识判断p是否为q的充分条件、必要条件和充要条件. 1.充分条件与必要条件若“p”成立,则“q”一定成立.记作“p⇒q”,称p是q的充分条件,q是p的必要条件.换个角度考虑,p⇒q,就是说,为了使q成立,具备条件p就足够了.反过来说,一旦q不成立,p一定也不成立,q成立对于p成立是必要的.说明:事实上,p是q的充分条件,就是条件p足以能保证结论q成立.这种情况下,也可以理解为:条件p成立,必须q成立,说明对p来说,q是必要的,所以q是p的必要条件.由此可见,判断充分条件或者必要条件实质上就是要判断命题“若p,则q”(或者其逆命题)的真假,即判断条件p能否推出q(或者条件q能否推出p). 【做一做1-1】￿设原命题“若p,则q”为假,而逆命题为真,则p是q的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件解析:原命题为假,则p不能推出q;逆命题为真,则q⇒p.答案:B【做一做1-2】￿设x∈R,则x>2的一个必要不充分条件是(  )A.x>1B.x<1 C.x>3D.x<3解析:首先要分清条件p(此题中是选项A或B或C或D)和结论q(此题中是“x>2”),p是q的必要不充分条件,即p不能推出q,且q⇒p,显然只有选项A满足.答案:A 2.判定定理与性质定理判定定理是数学中一类重要的定理,阐述了结论成立的依据,也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件.性质定理同样是数学中一类重要的定理,阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质,性质定理给出了结论成立的必要条件.3.充要条件如果有p⇒q又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们称p是q的充分必要条件,简称充要条件.如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 【做一做2-1】￿函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数的充要条件是(  )A.b≥0 B.b≤0C.b>0D.b<0答案:A 【做一做2-2】￿指出下列各题中p是q的什么条件:(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.分析:判断p是q的充分条件、必要条件,关键看p能否推出q,q能否推出p.解:(1)∵x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,且“(x-2)(x-3)=0”不能推出“x-2=0”,∴p是q的充分不必要条件.(2)∵“两个三角形相似”不能推出“两个三角形全等”,两个三角形全等⇒两个三角形相似,∴p是q的必要不充分条件. 题型一题型二题型三题型四【例1】￿下列各题中,p是q的什么条件?(1)p:a+b=0,q:a2+b2=0;(2)p:x>1,q:x2>x;(3)p:2a<2b,q:a2b,q:ac2>bc2.分析:判断p是q的什么条件,就是看由p能否推出q,由q能否推出p. 题型一题型二题型三题型四解:(1)∵a+b=0不能推出a2+b2=0,a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0,∴p是q的必要不充分条件.(2)∵当x>1时,x2>x,当x2>x时,x>1或x<0,∴p是q的充分不必要条件.(3)当2a<2b时,a2b,因此a2b不能推出ac2>bc2,而ac2>bc2⇒a>b,∴p是q的必要不充分条件.反思对于充分条件、必要条件的判断,要仔细考虑问题的各种情况,切不可因粗心大意、考虑不全而造成错误. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四解析:对于①,q:y=x2+mx+m+3有两个不同的零点⇔q:Δ=m2-4(m+3)>0⇔q:m<-2或m>6⇔p.对于②,当f(x)=0时,q不能推出p.对于③,若α,β=kπ+ ,k∈Z,此时有cos α=cos β,但不存在tan α与tan β.对于④,p:A∩B=A⇔p:A⊆B⇔q:∁UB⊆∁UA.答案:D反思反思判断p是q的充要条件,既要判断p⇒q,也要判断q⇒p. 题型一题型二题型三题型四A.m>0,n>0B.mn>0C.m<0,n<0D.mn<0 题型一题型二题型三题型四答案:A 答案:A 题型一题型二题型三题型四【例3】￿已知数列{an}的前n项的和Sn=(n+1)2+l.(1)求证:l=-1是{an}是等差数列的必要条件.(2)试问:l=-1是否为{an}是等差数列的充要条件?请说明理由.(1)证明:当n=1时,a1=S1=4+l;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1.∵{an}是等差数列,∴2a2=a1+a3,即2×5=4+l+7,解得l=-1,故l=-1是{an}是等差数列的必要条件. 题型一题型二题型三题型四(2)解:l=-1是{an}是等差数列的充要条件,理由如下:当l=-1时,Sn=(n+1)2-1,a1=S1=3.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1.∵a1=3适合上式,∴an=2n+1(n∈N+).∵an+1-an=2,∴{an}是公差为2,首项为3的等差数列,∴l=-1为{an}是等差数列的充分条件.又由(1),知l=-1是{an}是等差数列的必要条件,∴l=-1是{an}是等差数列的充要条件.反思反思根据充要条件的定义证明充要条件时,要从充分性和必要性两个方面分别证明,首先分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定方向,即充分性是证明“条件”⇒“结论”,必要性是证明“结论”⇒“条件”. 题型一题型二题型三题型四【变式训练3】￿求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明:必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0,∴a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0.充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b,将其代入方程ax2+bx+c=0中可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.故方程ax2+bx+c=0有一个根为1.∴关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 1 2 3 4 51.“(2x-1)x=0”是“x=0”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件故(2x-1)x=0是x=0的必要不充分条件.答案:B 1 2 3 4 52设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件答案:A 1 2 3 4 53.设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:当φ=0时,f(x)=cos x,f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数;若f(x)为偶函数,则f(0)=±1,∴cos φ=±1,∴φ=kπ(k∈Z).故选A.答案:A 1 2 3 4 54一次函数ax+by-1=0的图像同时经过第一、第三、第四象限的一个必要不充分条件是(  )A.a>1,b<-1B.ab<0C.a>0,b<0D.a<0,b<0解析:因为一次函数的图像经过第一、第三、第四象限,答案:B 1 2 3 4 55指出下列各组命题中,p是q的什么条件.(1)p:a=0,且b=0,q:a2+b2=0(a,b∈R);(2)p:|x-2|≤5,q:x≥-1或x≤5;(3)在四边形中,p:四个角均为90°,q:四边形为正方形.解:(1)∵a=0,且b=0⇔a2+b2=0,即p⇔q,∴p是q的充要条件.(2)∵p:|x-2|≤5的解集为{x|-3≤x≤7},q:x≥-1或x≤5就是实数集R,∴p⇒q,q不能推出p,故p是q的充分不必要条件.(3)当四边形为矩形时,p不能推出q.但四边形为正方形⇒四个角均为90°,即q⇒p.∴p是q的必要不充分条件. 。

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