成考高等数学二考点精解第四章多元函数微分学.doc

word第四章多元函数微分学一、常见的考试知识点1．二元函数的一阶偏导数和全微分、二元函数的二阶偏导数2．复合函数与隐函数的一阶偏导数3．二元函数的无条件极值和条件极值4．试卷内容比例本章内容约占试卷分值的15％，共计22分左右．二、常用的解题方法与技巧1．偏导数的求法设二元函数为z=(x，y)．当求ƒ(x，y)对x的偏导数时，只要将二元函数中的y看成常数，而对x求导数就行了．同理，求ƒ(x，y)对y的偏导数时，要将x看成常数，而对y求导数．这样求出的是偏导函数．如果要求函数ƒ(x，y)在点(x0，y0)处的偏导数，只需在偏导函数中将z=x0，y=y0代人即可．三元函数u=ƒ(x，y，z)对x，y，z的偏导数的定义和求法与此类似．2．全微分及其求法5．复合函数的偏导数4．隐函数的导数和偏导数(1)隐函数的导数．对于方程F(x，y)=0所确定的隐函数y=f(x)，可以由下列公式求出y对x的导数yˊ：(2)隐函数的偏导数．对于由方程F(x，y，z)=0所确定的隐函数z=f(x，y)，可用下列公式求偏导数：5．二元函数无条件极值的计算求二元函数z=(x，y)极值的步骤：(1)(2)对每个驻点求出对应的A，B，C，其中(3)由B2一AC和A(或C)的符号判定该驻点是否为极值点以及是极大值还是极小值．(4)求出极值z=ƒ(xi，yi)．6．二元函数条件极值的计算判定点(x，y)是否为所给条件下的极值点，通常可依据问题的实际意义判定(不能用无条件极值的充分条件来判定)．三、常见的考试题型与评析(一)二元函数的一阶偏导数本部分内容1994--2013年共考了23次，属于必考题.1．典型试题(1)(0114)(2)(0215)(3)(0314)(4)(0508)(5)(0608)(6)(0708)(7)(0808)(8)(0908)(9)(1008)(10)(1108)(11)(1207)A．0B．1/2C．In 2D．1(12)(1309)A．COS 2B．一COS 2C．sin 2 D．一sin 22．解题方法与评析【解析】二元函数z=z(x，y)对x(或y)求偏导时，应将y(或x)当成常数，用一元函数的求导公式求导即可．若求偏导数在一点的偏导数值时，应先求出偏导数，然后再将该点的值代入．由于求偏导数只需用一元函数求导公式计算即可，所以本大题只给出答案，解答过程请考生自行完成．(1)填一e．(2)(3)填0．(4)选A．(5)选A．(6)选A．(7)选B．(8)选C．(9)选D．(10)选D．(11)选B．(12)选D．【评析】二元函数的偏导数属于试卷中的容易题．(二)全微分本部分内容1994——2013年共考了15次，考到的概率为75％，1．典型试题(1)(0221)(2)(0404)A．dx+dyB．2dx+2dyC．2dx+dy D．dx+2dy(3)(0520)(4)(0620)(5)(0719)(6)(0820)(7)(0920)(8)(1119)(9)(1220)(10)(1320)2．解题方法与评析【解析】(1)解法解法2直接对等式两边求微分，得下面各题只给出直接求微分法，其他解法请自行练习．(2)选B．(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(三)隐函数求导本部分内容(含一元函数隐函数求导的试题)1994--2013年共考了14次，考到的概率为70％．1．典型试题(1)(9919)(2)(0125)(3)(0225)(4)(0425)(5)(0528)(6)(0628)(7)(0724)(8)(0824)(9)(1124)2．解题方法与评析【解析】隐函数求偏导的计算方法主要是公式法与直接求导法，笔者建议考生牢记公式法．(1)这里再次选用了一元隐函数的试题，主要是介绍公式法的使用方法，其他一元隐函数的试题请自行练习．(2)解法1直接求导法．解法2公式法．解法3求全微分法．介绍三种不同的解法是供考生学习时参考，以便提高解题能力．准备考试时，笔者建议牢记公式法，因为这种方法简单易记．其余各题只给出公式法，其他方法考生自行练习，必有好处．(4)(5)(6)(7)(8)(9)(2)隐函数求导的试题属于中等难度的题目．(四)二阶偏导本部分内容1994--2013年共考了l3次，考到的概率为65％．1．典型试题(1)(0024)(2)(0305)A．2x+cos yB．-sin yC．2 D．0(3)(0414)(4)(0509)A．x+yB．xC．y D．2x(5)(0519)(6)(0609)A．COS(x+y)B．一COS(x+y)C．sin(x+y)D．一sin(x+y)(7)(0709)A．3(x+y)B．3(x+y)2C．6(x+y)D．6(x+y)2(8)(0809)A．2y2B．4xyC．4y D．0(9)(0909)(10)(1009)(11)(1109)A．2y3B．6xy2C．6y2 D．12xy(12)(1209)(13)(1309)A．exB．eyC．xeyD．yex2．解题方法与评析【解析】先求一阶偏导数，再求二阶偏导数．求二阶偏导数时，若对x(或y)求导，应将y(或x)看成常量，用一元函数求导公式计算即可．(1)(2)选D．(3)填一sin x．(4)选D．(5)填6．(6)选B．(7)选C．(8)选A．(9)选D．(10)选A．(11)选A．(12)选D．(13)选B．(五)二元函数的无条件极值本部分内容1994--2013年共考了3次，考到的概率为15％．1．典型试题(1)(0325)(2)(0928)(3)(1228)2．解题方法与评析【解析】二元函数无条件极值的求解步骤为：①②③(1)(2)(3)(六)二元函数的条件极值1．典型试题(1)(1028)(2)(1328)2．解题方法与评析【解析】条件极值问题通常可化为无约束条件的极值问题，只需构造拉格朗日函数判定点(x，y)是否为所给条件极值的极值点，通常可依据问题的实际意义判定：如果所求的驻点唯一，且实际问题存在最大值(或最小值)，则所求的驻点(x，y)就是极大值点(或极小值点)，也就是所给实际问题的最大值点(或最小值点)．(1)(2)【评析】第(1)题中ƒ(0，2)=4是极(最)大值还是极(最)小值应由实际问题确定．如果由约束条件解出x=4-2y，代入ƒ(x，y)得到为一元函数，此时可用一元函数求极值的方法确定极大值或极小值．但此方法计算量较大，建议考生不采用．第五章概率论初步一、常见的考试知识点1．事件的关系及运算2．概率的加法公式，条件概率，乘法公式及事件的独立性3．离散型随机变量的概率分布的计算，数学期望，方差和标准差的计算4．试卷内容比例本章内容约占试卷分值的8％，共计12分左右．二、常用的解题方法与技巧1．事件的关系和运算(1)事件的包含：．(2)事件的并或和：A∪B或A+B．(3)事件的交或积：A∩B或AB．(4)(5)(6)差事件：A-B或A曰．(7)事件运算的对偶律：2．古典概型的概率3．概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)．4．条件概率、乘法公式及事件的独立性(1)条件概率：(2)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B\A)=P(B)P(A \B)．(3)事件的相互独立：P(AB)=P(A)P(曰)．5．离散型随机变量(1)离散型随机变量的概率分布或分布列．任一离散型随机变量的分布列具有如下性质：①非负性：pi≥0，i=1，2，…．②性质之所以重要，不仅在于可据此确定分布列中的待定系数，而且其逆命题也成立．(2)数学期望、方差和标准差．数学期望三、常见的考试题型与评析(一)概念题1．典型试题(1)(0510)A．O．3B．0．4C．O．6D．O．7(2)(0610)若随机事件A与日相互独立，而且P(A)=0．4，P(B)=0．5，则P(AB)=()．A．0．2B．0．4C．0．5D．0．9(3)(0710)5人排成一行，甲、乙两人必须排在一起的概率P=（　　）．A．1/5 B．2/5C．3/5D．4/5(4)(0810)已知事件A与口为相互独立事件，则P(AB)=（　　）．A．P(A)+P(B)B．P(A)-P(B)C．P(A)+P(B)-P(A)P(B)D．P(A)P(B)(5)(0910)任意三个随机事件A，B，C中至少有一个发生的事件可表示为（　　）．A．A∪B∪CB．A∪B∩CC．A∩B∩C D．A∩B∪C(6)(1010)袋中有8个乒乓球，其中5个白色球，3个黄色球，一次从中任取2个乒乓球，则取出的2个球均为白色球的概率为（　　）．(7)(11 10)随机事件A与B互不相容，则P(AB)=（　　）．A．P(A)+P(B)B．P(A)P(B)C．1 D．0(8)(1210)设事件A，曰互不相容，P(A)=0．3，P(B)=0．2，则P(A+曰)=（　　）．A．0．44B．0．5C．0．1D．0．06(9)(1310)设A，B是两个随机事件，则事件A一B表示（　　）．A．事件A，B都发生B．事件曰发生而事件A不发生C．事件A发生而事件B不发生D．事件A，B都不发生2．解题方法与评析【解析】概念题主要考查事件的并(或事件的和)，事件的交(或事件的积)，互不相容事件(或互斥事件)，对立事件(或逆事件)和事件的相互独立性以及它们相应的概率计算．这里需要注意事件关系中的关键词：“恰有一个发生”——有且只能有一个发生；“至少有一个发生”——一个发生或一个以上都发生；“至多发生一个”——一个都不发生或只有一个发生；“或”与“且”——“A或B”表示A∪B(或A+B)，“A且B”表示A∩B(或AB)．(1)(2)选A．根据事件的独立性有P(AB)=P(A)P(B)=0．4×0．5=0．2．(3)选B．将甲、乙两人排在一起看成1个人，再与另外3人排列，共有种排法．注意到甲、乙两人位置互换也是符合题意的排列，所以(4)选D．依据事件相互独立的定义，可知选项D正确．(5)选A．因为A，B，C三个事件中至少有一个发生的事件为A发生或B发生或C发生，即(6)选B．因为8个球中任取2个球的取法共有取出的2个球均为白色球的取法只能在(7)选D．两个互不相容事件A与B同时发生是不可能事件．(8)选B．因为P(AB)=0．(9)选C．详见计算题(7)(1125)的解析．【评析】概率论初步的内容在试卷中所占比例约为8％，分值为12分，题型应为一个4分的选择题(或填空题)和一个8分的解答题。