第37题 三角形中的不等问题-2018原创精品之高中数学（文）黄金100题系列（解析版）.doc

第第 37 题题 三角形中的不等问题三角形中的不等问题I．题源探究．题源探究··黄金母题黄金母题【例 1】海中一小岛，周围内有暗礁，海轮由西向milen 8 . 3东航行，望见该岛在北偏东 70°，航行以后，望见milen 8这岛在北偏东 60°，如果这艘轮船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？【解析】根据题意作出如图所示，其中设为岛所在位置，C是该轮船航行前后的位置，过作于，根BA,CABCD D据题意知，在△ABC 中，，，8AB20CAB，150ABC ∴=10°，∠CBD=30°，CABABCACB180由正弦定理得，，ACBAB CABBC sinsin∴=≈15．7560，ACBCABABBCsinsin  10sin20sin8∴≈7．878＞3．8，CBDBCCDsin∴没有触礁的危险．答：没有触礁的危险．精精彩解读彩解读【试题来源】人教版人教版 A 版必修版必修 5 第第 24 页复页复习参考题习参考题 A 组第组第 2 题．题．【母题评析】本题考查利用正余弦定理解与本题考查利用正余弦定理解与三角形有关的综合问题，是常考题型．三角形有关的综合问题，是常考题型．【思路方法】根据题意画出图形，根据题意画出图形，为岛为岛C所在位置，所在位置，是该轮船航行前后的位置，是该轮船航行前后的位置，BA,过过作作于于，根据题意知，在，根据题意知，在CABCD D△△ABC 中，中，，，，，8AB20CAB，要判断是否触礁，即需要，要判断是否触礁，即需要150ABC计算计算 C 点到直线点到直线 AB 的距离的距离 CD，在，在△△ABC中利用正弦定理计算出中利用正弦定理计算出 BC，在通过解直角，在通过解直角三角形即可求出三角形即可求出 CD．．II．考场精彩．考场精彩··真题回放真题回放【例 2】【2016 年高考北京文数】在ABC 中，．2222acbac （1）求 的大小；B（2）求 的最大值．2coscosAC【解析】（1）由余弦定理及题设得，22222cos222acbacBacac【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理本题主要考查利用正余弦定理和三角公式求与三角形有关的三角式的范围和三角公式求与三角形有关的三角式的范围问题，考查运算求解问题，考查运算求解能力，是中档题．能力，是中档题．[来源来源:学。

科网][来源:学科网 ZXXK] 【考试方向】这类试题在考查题型上，通常这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等，考查学生利用正余弦定理及相关知度中等，考查学生利用正余弦定理及相关知识解决与三角形有关的综合问题．识解决与三角形有关的综合问题．[来源来源:学学&科科&网网 Z&X&X&K]又∵，∴；（2）由（1）知0B 4B，3 4AC 32coscos2coscos()4ACAA222coscossin22AAA，因为，22cossincos()224AAA304A  所以当时，取得最大值 ．4A2coscosAC1【例 3】【2016 高考山东文数】在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求 cosC 的最小值．【解析】由题意知 ，sinsinsinsin2coscoscoscoscoscosABAB ABABAB化简得，2 sincossincossinsinABBAAB即．2sinsinsinABAB因为，所ABC以．sinsinsinABCC从而．由正弦定理得．sinsin=2sinABC2abc由知，()( ) 2abc2 22 2222cos22abababcCabab，当且仅当时，等号成立．311 842ba abab故 的最小值为．cosC1 2【例 4】【2015 高考湖南，文 17】设的内角，ABCA【难点中心】解答此类问题的关键是熟练学解答此类问题的关键是熟练学三角恒等变形能力，形成解题的模式和套路三角恒等变形能力，形成解题的模式和套路，的对边分别为，，，，且为钝BCabctanabAB角．（1）证明：；2BA（2）求的取值范围．[来源:学&科&网]sinsinAC【解析】（1）由及正弦定理，得tanabA，∴，即sinsin cossinAaA AbBsincosBA，sinsin()2BA又为钝角，因此，故，即B(, )22A2BA．2BA（2）由（1）知，，()CAB，∴，(2)2022AA(0,)4A于是=sinsinsinsin(2 )2ACAAsincos2AA=，22192sinsin12(sin)48AAA  ∵，∴，[来源:学科网]04A20sin2A因此，由此可知221992(sin)2488A 的取值范围是．sinsinAC2 9(, ]28III．理论基础．理论基础··解题原理解题原理考点一考点一 三角形中的不等关系三角形中的不等关系1．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2．任一角都大于 00而小于 1800，任意两角之和也是大于 00而小于 1800；33．．设角 A 是一三角形的内角，则；1sin0A4．在锐角三角形中，任意两角之和也是大于 900而小于 1800；5．在同一三角形中大边对大角，大角对大边考点二考点二 与三角形有关的综合问题类型与三角形有关的综合问题类型常以三角形中的不等和最值问题为载体，考查运用三角变换、正余弦定理、基本不等式、平面向量等知识和方法求取值范围或值域或求值，要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力．对这类问题要认证读题，利用相关知识将条件转化为三角形的边角条件，利用正余弦定理，将问题转化为三角形的纯边或纯角的函数问题，再利用基本不等式或函数求值域的方法处理之．IV．题型攻略．题型攻略··深度挖掘深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般中档题，考查综合运用正余弦定理及相关知识与方法解综合问题的能力．【技能方法】1．与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在中，由ABC．222222 coscos22abcabcCA CBCA CBCabCababuu r uuruu r uur2．与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解．3．三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围．【易错指导】在求与三角性有关的最值（范围）问题时，常先利用正余弦定理将其化为角的三角函数，再利用三角形内角和定理消去角的个数，结合题中的条件和消去角的范围确定留下角的范围，利用三角函数图像与性质求解，最容易出现的错误①没有进一步确定留下角的范围；②在求最值时没有结合三角函数图像求最值而是直接代角范围的端点值，应尽量避免之．V．举一反三．举一反三··触类旁通触类旁通考向考向 1 关于三角形边的代数式的范围（最值）问题关于三角形边的代数式的范围（最值）问题【例 5】【2017 黑龙江哈尔滨九中二模】设函数． 24cos 22cos3f xxx（1）求的最大值，并写出使取最大值时的集合； f x f xx（2）已知中，角的边分别为，若，求的最小值．ABC, ,A B C, ,a b c3,22f BCbca【答案】（1）2， ；（2）1．{ |,}6x xkkZ试题解析：（1） Q 2444cos 22coscos2 cossin2 sin1 cos2333f xxxxxx 13cos2sin21cos 21223xxx 的最大值为 2． f x要使取最大值， ， f xcos 21,2233xxkkZ故的集合为x{ |,}6x xkkZ（2），即．3cos 2132f BCBC 1cos 2232A化简得1cos 232A，只有．50,,2,333AA Q2,333AA在中，由余弦定理， ．ABC22222cos33abcbcbcbc由知，即，当时取最小值 1．，2bc2 12bcbc21a 1bca【例 6】【2017 山西怀仁县一中高二上期开学考】在中，角、、的对边分别为、ABCABCa、，已知．bccos3 sin0bCbCac （1）求；B（2）若，求的取值范围．3b 2ac（2）由（1）得：，22,222sinsin5sin3cos2 7sinsinbRacRACAAAB其中，．352sin,cos0,,2 7sin3,2 732 72 7AAQ【方法总结】对于三角形中边的代数式的最值问题，若是三角形中最大（小）边长问题，先根据角判定三边的大小关系，再用正弦定理或余弦定理求解；若是关于两边以上的齐次代数式，若能求得两边的和或积为常数，可以利用基本不等式求最值，也可以利用正弦定理化为对应角的三角函数式的最值，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围．【跟踪练习】【2016 湖北华中师大一附中高三五月适应性考试】在中，，若最ABC10103cos,21tanBA长为 ，则最短边的长为 ．1【答案】55【解析】由得，由10103cos,21tanBA52 5102sin,cos,sin,sin55102AABC最长为 得，则最短边为由正弦定理可得．学科~网11c, b1105sinsin1052 2cbBC考向考向 2 关于三角形角的三角函数式的范围（最值）问题关于三角形角的三角函数式的范围（最值）问题【例 7】【2017 贵州遵义一联】已知在中，角、、的对边分别为、、，且ABCABCabc．22sin3cos0ABC（1）求角的大小；A（2）若的面积，求的值．ABC5 3,21SasinsinBC【方法总结】对于三角形中角的三角函数式的最值问题，若是三角形某个角余弦的最值问题，常用余弦定理化为边，利用基本不等式求最值；若是含有多个角三角函数式的最值问题，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围．【跟踪练习】【2017 重庆一中高二下学期期中】在ABC中，已知BCAtan2 tan1 tan1，则Bcos的最小值为（ ）A．32B．42C．31D．21【答案】D【解析】由有，通分化简有112。