2019-2020年高中数学联赛初赛试卷及详细答案.doc

2019-2020年高中数学联赛初赛试卷及详细答案一. 选择题(本题36分,每题6分)1.如果集合A,B同时满足A∪B=｛1,2,3,4｝,A∩B=｛1｝,A≠｛1｝,B≠｛1｝,就称有序集对(A,B)为”好集对”.这里有序集对(A,B)意指,当A≠B时(A,B)和(B,A)是不同的集对.那么”好集对”一共有________个.A. 64 B. 8 C. 6 D. 22.设函数f(x)=lg(10+1),方程f(-2)=f(2)的解为_______. A. log(lg2)-1 B. lg(log10)-1 C. lg(lg2)+1 D. log( log10)+13.设A=100102102103---499500是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成.那么,A除以126的余数是_________. A. 78 B. 36 C. 6 D. 04.直角⊿ABC中∠C=90,CD为斜边上的高,AD=a,BD=b,CD=a-b=1.设数列{}的通项为=k=1,2,3…,则___________. A. B. C. D. 5.在正整数构成的等差数列1,3,5,7, …中删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新数列{},易见=1, =3, =7, =9, =13, ….那么=____________________. A. 9597 B. 5519 C. 2831 D. 27596.设则A/B=_____________. A. B. C. D. 二.填空题(本题满分54分,每小题9分)7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有_________种.8.设n≥xx,且n为使得=取实数值的最小正整数,则对应此n的=____________.9.若正整数n恰好有4个正约数,则称n为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么,在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个正整数中,奇异数有__________.10.平行六面体ABCD--中,顶点A出发的三条棱AA,AB,AD的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60,那么这个平行六面体的四条对角线AC,BD,DB,CA的长度分别为______________.11.函数f(x),g(x)的迭代函数定义为: 其中n=2,3,4, ….设f(x)=2x-3,g(x)=3x+2,方程组的解为_____________________.12.设平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,BD=2,则平行四边形ABCD绕AC旋转所得旋转体的体积为______________.三.解答题(本题满分60分,每题20分)13.已知椭圆C:和点Q(q,0),直线l过Q且与椭圆C交于A,B两点(可以重合)1)若∠AOB为钝角或平角(O为原点).q=4.试确定l的斜率的取值范围.2)设A关于长轴的对称点为A,F为椭圆的右焦点,q=4,试判断A与F,B三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,q≠4,那么A,F,B三点还能否共线?请说明理由.14.数列{}由下式确定: 试求lg的整数部分k=[ lg].(注[a]表示不大于a的最大整数,即a的整数部分.)15.设给定的锐角三角形⊿ABC的三变长为a,b,c,正实数x,y,z满足其中P为给定的正实数,试求: 的最大值,并求出当S取此最大值时,x,y,z的取值.一、 选择题 1.C. 2.A. 3.C. 4.A. 5.B 6.D.1.逐个元素考虑归属的选择.元素1必须同时属于A和B.元素2必须至少属于A、B中之一个，但不能同时属于A和B，有2种选择：属于A但不属于B，属于B但不属于A.同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A，也不能同时不属于B.所以4个元素满足条件的选择共有种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.2.令，则，且，，，.从而. 令，则题设方程为 ，即 ，故 ，，， ，解得 . 从而 . 答：A.3. 注意 ,2,7和9两两互质. 因为 （mod2）, （mod9）,所以 （mod18）. （1）又因为，（mod7）, 所以（mod7）. (2)由（1），（2）两式以及7和18互质，知（mod126）. 答：C. 另解：，，，，.所以 ，其中B，C为整数.从而，其中D，E为整数.所以A除以63的余数为6.因为A是偶数，所以A除以126的余数也为6. 答：C.4.易见，即，又已知，故，，；，.显然是首项为，公比为的等比数列的前项和.故， .从而 ， .故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见，即，又已知，故，，.解得， .显然是首项为，公比为的等比数列的前项和，故， . 于是数列就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系 . 所以答案为A.5.可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，中不能被2，5或11整除的项的个数为，其中不表示不大于的最大整数，即的整数部分.估值：设，故 .又因为=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=xx，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知. 答：B. 又解：可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于.） 显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，中，不能被2，5，11整除的数有个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第xx个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的. 答：B .6.显然 ； .注意到 ， ,所以 ， .故. 答：D.另解：，， =.因为和是实数，所以， ,.答：D.二、 填空题（满分54分，每小题9分） 7.解：设△ABC三边长为整数，成等差数列，为钝角，则必有，.易解得 ，；，即.因此，即.另外，.易检验都是钝角三角形. 答：4.8.注意到，满足，，故可令，，0＜＜.从而，-，-，故，+. 取实数，当且仅当，当且仅当，Z.满足此条件且的最小正整数为，此时.答：-. 9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方（是质数）；第二类是两个不同质数的乘积（为不同的质数）.由定义可得是奇异数（第一类）；不是奇异数；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第一类）；是质数，不是奇异数；是奇异数（第一类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）；是奇异数（第二类）.答：8.10. 解：将向量，，分别记为，，. 则，，，且易见， ， ， .所以 =55，故. 类似地，可算得，，，=3.答：，，，3.11.令，易见，，；令，易见，，，，.因此，题设方程组可化为 （1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得 所以. 代入（1）得 ，，， , , .所以原方程组的解为. 答：.12.以表示平面图形绕直线所得旋转体体积.记直线为，作，交于，分别交，于.过作，分别交于.由于是的中点，所以分别是的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为.由于，易见，，.显然，.且，.从而由圆锥体积公式得 .又，，，.从而由圆锥体积公式得.从而.答：所求体积为：13.解：I）可设：，与联立得. 这是的一元二次方程，由判别式解得.记，，则 ，.由题设条件， ，即，得 ，即，即 .得， ， ，.故的斜率的取值范围为.因为F(1,0),所以，，从而 .与共线， 即与F、B三点共线.III）假设，过的直线与交于A、B，且A关于长轴的对称点为，如果、F、B三点共线.我们另取点.设直线AP与交于，那么如II）的证明，、F、B三点必共线.故B与重合，从而直线AB和重合，就是AQ与AP重合.所以P与Q重合，，与假设矛盾.这就是说，时，三点、F、B不能共线.14.解：， ， ，.故 ，亦即 ，由得 . （*）由于，且显然，故是递减数列，且，，故 ，由（*）式得 ，，，，，. 15.证明：因为△ABC是锐角三角形，其三边满足，以及 .因此，由平均不等式可知 ，从而 ，亦即 ，.上式取等式当且仅当，亦即.因此所求的的最大值为，当取最大值时，.yoxQyA1B1AAQC1BCMDD1llBQEBAFoxFONPBADCA1（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图） （命题：吴 康，黄宗明. 具体分工：黄宗明命第4，10，13题，吴 康命其余各题）。