第4章 动量和角动量.ppt

第4章,动量和角动量,本章重点：4.1; 4.2; 4.4; 4.5,4.1.1 动 量,质点动力学问题,度量质点运动的量,动 量,,,与质量和速度有关的状态量,,在直角坐标系中,单位（SI）：千克·米/秒（kg·m/s）,4.1.2 质点的动量定理（动量的变化与作用力的关系）,由牛顿第二定律：,表示力的时间累积，叫时间d t 内合外力 的冲量1）微分形式：,2）积分形式：,若为恒力：,,1、冲量(impulse),冲量是力对时间的积累2、动量定理,1）微分形式：,由 得：,在一个过程中，质点所受合外力的冲量等于质点动量的增量2）积分形式：,对上式积分，,(a) 反映了过程量与状态量的关系3、动量定理的分量形式,即质点所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于质点动量在该方向上分量的增量在直角坐标系中，动量定理的分量式为∶,,,1) 冲力 : 碰撞过程中物体间相互作用时间极短，相互作用力 很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力若冲力很大，其它外力可忽略时，则：,若其它外力不可忽略时, 则 是合外力的平均。

2) 平均冲力 : 冲力对碰撞时间的平均值即：,4、动量定理的应用 增大、减小冲力作用,,由两个质点组成的质点系：,n 个质点组成的质点系：,— 质点系的动力学方程,即∶质点系所受合外力等于系统总动量的时间变化率4.1.3 质点系的动力学方程,1、微分形式：,动量定理的微分式,它表明∶在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于 系统在同一时间内动量的增量2、积分形式：,由 得：,对上式积分，,动量定理的积分式,即：,4.1.4 质点系的动量定理：,内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量 的改变无贡献3 、质点系动量定理的分量形式,即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量 在该方向上分量的增量在直角坐标系中，动量定理的分量式为∶,,对质点系，由,知，当,时,——动量守恒定律,应用动量守恒定律时应注意∶,①,时,系统的动量守恒.并不意味着每个质点的动量不变，,在内力的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量但总的动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性质无关。

② 若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒条件例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽略不计当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量保持不变③ 动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿定律应用的范围更广泛不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象④ 动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒⑤ 动量守恒定律只适用于惯性系例题4- 3 质量为m1 ，仰角为 的炮车发射了一枚质量为m2 的炮 弹， 炮弹发射时相对炮身的速率为u ，不计地面摩擦 求∶ 1）炮弹出口时炮车的速率v1 2）发射炮弹过程中，炮车移动的距离( 炮膛长为L ) 解：1）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图由x 方向的动量守恒可得：,由相对速度：,得：,水平方向合外力为零，系统总动量沿x 分量守恒设炮弹相对地面的速度为v2 解得：,“－”号表示炮车反冲速度与x 轴正向相反２）若以u ( t ) 表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮 车的速率，则此时炮车相对地面的速率,设炮弹经 t 秒出口，在 t 秒内炮车沿水平方向移动了：,负号表示炮身沿x轴负向后退。

4.3.1 质心,质点系运动时，各质点的运动情况可能各不相同，很复杂，为了简洁描述质点系的运动规律，引入质量中心（简称质心：质点系的质量中心）的概念N个质点组成的系统：,位矢分别为,质点系的动量为∶,取质量为,并与质点系具有相同动量的质点C,其位矢为,，其速度为,，则有,C称为质点系的质心，,称为质心的位矢可以证明：质心相对质点系的位置与坐标系的选取无关，即质心相对于质点系本身是一个特定的位置比较得,在直角坐标系下，质心C的坐标为,对质量连续分布的质点系：,(1)几何形状对称的均匀物体，质心就是几何对称中心2)有些物体的质心可能不在所求的物体上，但有明确的物理意义3)重心是重力合力的作用点，尺寸不大的物体，质心与重心重合4.3.2 质心运动定理,为质心运动的加速度———质心运动定理,即：作用于质点系的合外力等于质点系的总质量乘上质心的加速度,说明∶,①质心的运动只由质点系所受的合外力决定，内力对质心的运动不产生影响③当,时，,内力不改变质心的运动状态④质点系受的合外力在某个方向为零时， 在该方向的投影等于恒矢量，该方向动量守恒⑤质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。

②质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单SI 中： kg·m2/s,方向：由右手螺旋法则确定2) 相对性 a). 参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同 b). 原点O选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同 ——质点对参考点的角动量,4.4.1 角动量（动量矩）,大小:,(1) 矢量性,1. 质点的角动量,(3) 的直角坐标系中的分量式,a)、做圆周运动质点 m 对圆心O 的角动量,,方向： 与 同向，垂直于转动平面， 与质点转动绕向成右手螺旋关系,特殊的，做匀速圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量4) 两个特例：,注意不要与向心力表达式混淆！,方向：由右手螺旋定则确定质点对O’点的角动量为：,③ 若O 取在直线上，则：,质量为m 的质点作直线运动t1 时刻质点对O点的角动量为：,b)、作直线运动质点的角动量,① 若物体做匀速直线运动，对同一参考点O，则,② 对不同的参考点，质点有不同的角动量．,,大小：,t2 时刻质点对O点的角动量为：,大小：,方向：与 同向。

结论：,2、质点系的角动量：,质点系的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量矢量和：,4.4.2 质点的角动量定理,对动量，有：,定义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的变化遵守的规律即要找到,将角动量 对时间求导，可得：,定义：作用于质点上的合外力对参考点的力矩,(2)在直角坐标系中,(1)大小：,d 为力臂方向：由右手螺旋定则确定1、力矩：,(4)作用于质点的合外力矩等于合外力的力矩质点的角动量定理,质点所受的合外力矩等于它的角动量的时间变化率力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的各个力的力矩的矢量和（合力矩）等于各个力的合力的力矩和 是对同一惯性系中同一参考点而言的3)相对性：依赖于参考点O 的选择2、质点的角动量定理：,质点角动量定理的微分形式,力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化角动量定理：质点角动量的增量等于质点受到的角冲量表示作用于质点上的力矩在t1到t2时间内的时间积累效应，称为力矩的角冲量或冲量矩表示质点在t1到t2时间内角动量的增量,质点角动量定理的积分形式,例题4-8 质量为m、线长为l 的单摆，可绕点O 在竖直平面内摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。

求: ①摆线与水平线成θ角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O 的角动量； ② 摆球到达点 B 时，角速度的大小解 ①任意位置时受力为：重力；张力由角动量定理：,瞬时角动量：,,重力对O 点的力矩为：,方向：垂直于纸面向里张力对O 点的力矩为零另解：也可以利用机械能守恒定律求出摆球线速度后再求角动量和角速度4.4.3 质点系的角动量定理：,作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零方向：垂直板面向外，大小：,方向：垂直板面向里，大小：,作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零2、积分形式：,质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量1、微分形式：,只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关， 内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的 总角动量质点系所受的合外力矩等于系统角动量对时间变化率 — 质点系的角动量定理4.5.1 质点的角动量守恒定律,若质点所受的合力矩,即：若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变 —质点的角动量守恒定律,例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒2、有心力， 与位矢 在同一直线上，从而 。

3、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒根据,则,匀速直线运动的质点对任一固定参考点的角动量守恒在,例题：用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率圆周运动， 其半径为r0 ，角速度为 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径逐渐减小求当半径缩为r 时小球的角速度解 选取平面上绳穿过的小孔O为原点所以小球对O 点的角动量守恒因为绳对小球的的拉力沿绳指向小孔，则力对O 点的力矩：,4.5.2 质点系的角动量守恒定律：,— 角动量守恒定律,1、角动量守恒的条件是合外力矩等于零合外力为零不一定 合外力矩等于零2、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换3、适用于惯性系，也可适用于微观现象当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量对该参考点守恒例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零4、力偶 力偶矩,大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶合力矩：,小 结,1、质点的动量定理,2、质点系的动力学方程,3、质点系的动量定理,4 、动量守恒定律,5、质心运动定理,7、质点及质点系的角动量定理：,6、质点及质点系的角动量：,8、 质点及质点系的角动量守恒定律,9、碰撞,动力学习题,1、一个小块物体，置于一个光滑的水平桌面上，用一绳一端 连结此物体，另一端穿过桌面中心的小孔， 该物体原以角速度 ω 在距孔为R 的圆周上转动，今将绳从小孔缓慢往下拉，则物体 A）动能不变，动量改变 B）角动量不变，动量不变 C）角动量改变，动量改变．D）角动量不变，动能、动量都改变,√,[分析],2、质量为m 的小球在向心力的作用下，在水平面内作半径R、 速率为v 的匀速圆周运动，小球自 A 点逆时针运动到 B 点 的半周内，动量的增量为：,√,4、在高台上分别沿450仰角方向和水平方向，以同样速率投出两颗小石子，忽略空气阻力，则它们落地时速度 A）大小不同，方向不同． B）大小相同，方向不同． C）大小相同，方向相同． D）大小不同，方向相同．,√,[分析],3、质量为m的质点在外力作用下，其运动方程为， 式中A、B、ω都是正的常数，则在 t = 0 到 t = π/ (2ω) 这段时间内所作的功为,√,5、质量分别为m A 和m B 的两滑块A和B通过一轻弹簧水平连结 后置于水平桌面上，滑块与桌面间的摩擦系数均为μ，系统 在水平拉力作用下匀速运动。

如突然撤消拉力，则刚撤消后 瞬间，二者的加速度a A 和 a B 分别为,6、力 作用在质量 的物体上，使物体由 原点从静止开始运动，则它在3秒末的动量应为：,。