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2007北京市朝阳区高三第二次统一考试数学试题理科.doc

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    • 2007 北京市朝阳区高三第二次统一考试数学试题理科2007.5(考试时间 120 分钟,满分 150 分)第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题的 4 个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数 为实数,则 m 的值为 ( 2121 ,34),(2zizRmiz 若)A. B.- C. D.3 8382.不等式 的解集是 ( 17x)A. B.}25|{或 }52|{xC. D.|x或 |3.与函数 的图象关于 y 轴对称的函数图象是 ( 1y)4.已知直线 a 和平面 α、β, ,a 在 α、β 内的射影分别为直al,,线 b 和 c,则 b、c 的位置关系是 ( )A.相交或平行 B.相交或异面C.平行或异面 D.相交,平行或异面5.把函数 的图象向右平移 个单位,所得的图象对应的函数 ( )42sin(xy8)A.是奇函数 B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.是非奇非偶函数6.某电视台连续播放 5 个广告,其中 3 个不同的商业广告和 2 个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且 2 个奥运宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有 ( )A.120 种 B. 48 种 C.36 种 D.18 种7.对函数 (a≠0,b、c∈R)作 x = h(t)的代换,使得代换前后函数的值xxf2)(域总不改变的代换是 ( )A. B. C. D.th10)(2)(thttsin)(tth2log)(8.已知圆 F 的方程是 ,抛物线的顶点在原点,焦点在圆心 F,过 F 引倾02yx斜角为 α 的直线 l,l 与抛物线和圆依次交于 A、B 、C 、D 四点(即在直线 l 上,这四个点从左至右依次为 A、B 、C、D) ,若|AB|,|BC|,|CD|成等差数列,则 α 的值为( )A. B.2arctn4C. D.rt 2arctn2arctn或第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.将答案填在题中横线上.9.已知向量 = .xbaxba则且 ,),4(),3(10.若 的最大值为 .yzyxyx 则满 足 约 束 条 件 .62,10,11.高三某班 50 名学生参加某次数学模拟考试,所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图如右图,则该班得 120 分以上的同学共有 人.12.已知曲线 C 的参数方程是:(θ 为参数) ,则曲线 C 的普通方程是 ;曲线 C 被.sin2,coyx 1,3,5直线 所截得的弦长是 .03yx13.设常数 展开式中 x3 的系数为 ,则 a = ,51,xa815= .)(lim2nn14.在△ABC 中,E、F 分别为 AB、AC 上的点,若 拓.,, mnSnACFmBEABCEF则展到空间:在三棱锥 S—ABC 中,D、E、F 分别是侧棱 SA、SB 、SC 上的点,若,mDAS= .ABCSDEFVpFnEB则,,三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 13 分)△ABC 中,角 A、B 、C 的对边分别为 a,b,c.(I)若 的值;Abcacbos,212求(II)若 的最值范围 .2in]3,[求16. (本小题满分 13 分)一个袋子里装有大小相同,且标有数字 1~5 的若干个小球,其中标有数字 1 的小球有 1 个,标有数字 2 的小球有 2 个,…,标有数字 5 的小球有 5 个.(I)从中任意取出 3 个小球,求取出的小球都有偶数数字的概率;(II)从中任意取出 2 个小球,求小球上所标数字之和为 6 的概率;(III )设任意取出的 1 个小球上所标数字为 ξ,求 Eξ.1,3,517. (本小题满分 13 分)已知:四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, PD⊥底面 ABCD,且PD=1.(I)求证:BC∥平面 PAD;(II)若 E、F 分别为 PB、AD 的中点,求证:EF⊥平面 PBC;(III )求二面角 B—PA—C 的余弦值.18. (本小题满分 13 分)已知函数 .)(23cbxaxf(I)若函数 的图象上存在点 P,使 P 点处的切线与 x 轴平行,求实数 a,b 的y关系式;(II)若函数 时取得极值,且其图象与 x 轴有且只有 3 个交点,31)(xxf和在求实数 c 的取值范围.19. (本小题满分 14 分)已知 O 为坐标原点,点 E、F 的坐标分别为(-1,0) 、 (1,0) ,动点 A、M 、N满足 ./),(2,),(|| EOFANAMmAE(I)求点 M 的轨迹 W 的方程;(II)点 在轨迹 W 上,直线 PF 交轨迹 W 于点 Q,且),2(0yP,求实数 m 的范围.21,若FQ20. (本小题满分 14 分)在下列由正数排成的数表中,每行上的数从左到右都成等比数列,并且所有公比都等于 q,每列上的数从上到下都成等差数列.a ij表示位于第 i 行第 j 列的数,其中.165,,8144224a11 a12 a13 a14 a15 … a1j …a21 a22 a23 a24 a25 … a2j …a31 a32 a33 a34 a35 … a3j …a41 a42 a43 a44 a45 … a4j …… … … … … … … …ai1 ai2 ai3 ai4 ai5 … aij …… … … … … … … …(I)求 q 的值;(II)求 aij的计算公式;(III )设数列 {bn}满足 的前 n 项和为 Sn,试比较}{,nba的大小,并说明理由.)()156*NTSn与 1,3,5参考答案一、选择题1.A 2.B 3.A 4.D 5.B 6.C 7.D 8.D二、填空题9.3 10.5 11.15 12. 2,)(2yx13. 14.21, )1()(pnm三、解答题15.解:(I) ,bcacb22……………………………………5 分.41os.412A(II) CBcsin221coss21os2)o(A, …………………………………………9 分37)8(2].41,327[1)8(cos2].0,[,2A即 的取值范围是 ……………………13 分CBin ].,[16.解:袋子里共装有 1+2+3+4+5=15 个小球.(I)标有偶数字的小球共有 2+4=6 个,1,3,5 取出的 3 个小球都标有偶数数字的概率为 ………………4 分.914356CP(II)2 个小球上所标数字之和为 6 有在三种情况,即( 1,5) , (2,4) , (3,3).所求概率 ………………………………8 分10215234CP(III )取出的小球上所标数字的分布列为ξ 1 2 3 4 55151……………13 分.315E17.方法 1:(I)解:因为 ABCD 是正方形,所以 BC//AD.因为 AD 平面 PAD,BC 平面 PAD,所以 BC//平面 PAD.……………………4 分(II)证明:因为 PD⊥底面 ABCD,且 ABCD 是正方形,所以 PC⊥BC.设 BC 的中点为 G,连结 EG,FG ,则 EG//PC,FG//DC.所以 BC⊥EG ,BC⊥FG. 因为 EG∩FG=G,所以 BC⊥面 EFG.因为 EF 平面 EFG,所以 BC⊥EF. ①…………………… 6 分又设 PC 的中点为 H,且 E 为 PB 中点,连结 DH,所以 EH BC.21又 BC AD,且 EH AD.21所以四边形 EHDF 是平行四边形所以 EF∥DH因为等腰直角△PDC 中,H 为底边 PC 的中点,所以 DH⊥PC ,即 EF⊥PC. ②因为 PC∩BC = C, ③由①②③知 EF⊥平面 PBC ………………………………8 分(②的证明也可以通过连结 PF、FB,由△PFB 为等腰三角形证明)(III)解法 1:设 PA 的中点为 M,连结 MC,依条件可知△PAC 中 PC=AC,所以 MC⊥PA ①又 PD⊥平面 ABCD,∠BAD=90°,所以 AB⊥PA,因为 M、E 均为中点,所以 ME∥AB,所以 ME⊥PA, ②由①②知∠EMC 为所求二面角的平面角 …………………………11 分连结 EC,在△MEC 中,容易求出 ME= .23,6,21ECM所以 ,即所求二面角的余弦值是 ……1336214cosEMC.36分解法 2:过点 C 作 CS⊥平面 ABCD,连结 PS,SB ,因为 PD,AD,DC 两两垂直,且四边形 ABCD 为正方形,故容易证明几何体 PAD—SBC 为三棱柱,(即以 PAD 为底面,以 DC 为高构造三棱柱 PAD—SBC)设 BS 的中点为 Q,PA 中点为 N,连结 NQ,NC,因为 ABSP 为矩形,N、Q 分别为中点,所以 NQ⊥PA,又△APC 中, AC = PC,N 为中点,所以 NC⊥PA所以∠CNQ 为所求二面角的平面角 …………………………………………11 分因为 BS=CS,所以 CQ⊥BS.又面 BCS⊥面 ABSP,所以 CQ⊥面 ABSP,因为 NQ 面 ABSP,所以 CQ⊥NQ,在 Rt△ NCQ 中,容易求出 NQ=1,NC= ,26所以 ,即所求二面角的余弦值是 ……13 分3cosNCQ.36方法 2:如图,以点 D 为原点 O,有向直线 OA、OC、OP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系.(I)证明:因为 ,)0,1(CB平面 PAD 的一个法向量为rPAD=(0,1,0),由 .PADPADr可 得,于是 BC//平面 PAD.……………………4 分(II)证明: ,)0,1(),2,0(CBEF,CPBEFC ,,)1,且所以 EF⊥平面 PBC.……………………………………8 分(III )解:容易求出平面 PAB 的一个法向量为 ,)21,0(PABr及平面 PAC 的一个法向量为 rPAC =(1,1,1).因为 ,3||,2||,12 PACPABPACB rr所以 ,即所求二面角的余弦值是 ……13 分36,cosPAB .3618.解:(I) ,),(,23)( 0yxPbaxxf设 切 点 为则曲线 在点 P 处的切线的斜率 ,y baxfk023由题意,知 有解,)(020xxf………………………………………………5 分.3142baba即(II)由已知可得 的两根,023)(baxxfx是 方 程和…………………………………7 分.9,,3,3, 处取得极大值,在 x = 3 处取得极小值)(1)(xxf 1)(xf在∵函数 的图象与 x 轴有且只有 3 个交点,fy ………………………………………。

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