数列极限的方法总结.doc

求数列极限的方法总结 数学科学学院数学与应用数学 11级电子 张玉龙 陈进进 指导教师 鲁大勇 摘 要 数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题， 本文通过归纳和总结， 从不同 的方面罗列了它的几种求法 关键词 数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量 极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多 样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法求数列极限的最基本的方法 还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代 换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的 四则运算法则计算夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要 重点注意运用 泰勒公式、 洛必达法则、 黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的 还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了 1.定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设｛Xn｝是一个数列,a 是实数,如果对 任意给定的 ε 〉0,总存在一个正整数 N，当 n〉N 时,都有 Xn ? a < ε ,我们就称 a 是数列{Xn}的极限.记为 lim Xn = a . n→∞ 例 1: 按定义证明 lim 1 = 0. n → ∞ n! 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令 1/n< ε ,则让 n> 即可, ε 存在 N=[ 立, 1 ε ],当 n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε 成 1 = 0. n → ∞ n! 2. 利用极限四则运算法则 对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 1+ a + a2 + L+ an 例 2: 求 lim ,其中 a < 1, b < 1 . n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限 1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以 lim 3. 利用夹逼性定理求极限若 存 在 正 整 数 N, 当 n>N 时 , 有 Xn ≤ Yn ≤ Zn, 且 lim Xn = lim Zn = a , 则 有 n →∞ n →∞ lim Yn = a . n →∞ 例 3:求{ 解: 1+ n }的极限. n2 对任意正整数 n,显然有 1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而 → 0 , → 0 ,由夹逼性定理得 n n 1+ n lim 2 = 0 . n →∞ n 4．换元法 通过换元将复杂的极限化为简单. an ?1 例 4.求极限lim n ，此时 n →∞ a + 2 有 ，令 解：若 5.单调有界原理4. 例 5.证明数列 证： 令 我们用归纳法证明 若 ≤２ 则 则 有极限，并求其极限。

，易知｛ ｝递增，且 ≤2. 显然 中两 故由单调有界原理｛ ｝收敛，设 → ，则在 边取极限得 即 解之得 =２ 或 =-１ 明显不合要求，舍去， 从而5.6. 6.先用数学归纳法,再求极限. 1 ? 3 ? 5 ? L ? (2n ? 1) 例 6:求极限 lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0 < ? ? ? L ? < 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n ? 1 S= ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2 4 2n 设 S * = ? ?L? 则有 S< S * 3 5 2n + 1 1 S2=S*S 0) n → +∞ n p +1 1p + 2 p + 3 p + L +n p 1 n i 解: lim ( p > 0) = lim ∑ ( ) p n → +∞ n → +∞ n n p +1 i =1 n p 设 f ( x ) = x ,则 f (x ) 在[0,1]内连续, 1 i i ?1 i ?x i = , 取 ξ i = ∈ [ , ] n n n n i 所以, f (ξ i ) = ( ) p n 1 1 所以原式= ∫ x p dx = 0 p +1 11. 11.级数收敛的必要条件. 2 x sin x . 2 设 ∑ u n 等于所求极限的表达式 , 再证∑ u n 是收敛的, 据必要条件知所求表达式的 n =1 n =1 ∞ ∞ 极限为 0. 例 11:求 lim n → +∞ n! nn ∞ u 1 1 n! = <1 ,则 lim n +1 = lim n n → +∞ u n → +∞ 1 e n n =1 n (1 + ) n n n! 所以该级数收敛,所以 lim n =0 n → +∞ n 12. 12.对表达式进行展开、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化，三角函数 的恒等变形。

sin 5 x ? sin 3 x 例 12. 求 lim x →0 sin 2 x 解： ? sin 5 x 2 x 5 sin 3 x 2 x 3 ? 5 3 法一：原式= lim ? ? ? ? ? ? = ? =1 x →0 3 x sin 2 x 2 ? 2 2 ? 5 x sin 2 x 2 ? 5 x + 3x 5 x ? 3x 2 cos sin 2 cos 4 x sin x 2 cos 4 x 2 2 法二：原式= lim = lim = lim =1 x →0 x → 0 2sin x cos x x → 0 2 cos x sin 2 x 13. 13.奇数列和偶数列的极限相同，则数列的极限就是这个极限 (?1) x 例 13：求 lim x 的值 x→∞ 2 ?1 解：奇数列为 lim x =0 x→∞ 2 1 偶数列为 lim x =0 x→∞ 2 (?1) x 所以 lim x =0 x→∞ 2 14. 14．利于泰勒展开式求极限 解:设 ∑ u n = 例 14.求 lim(5 x 5 + x 4 ? 5 x 5 ? x 4 ) 1 1 ? 1 1 1 ? 解：原式= lim x ?(1 + ) 5 ? (1 ? ) 5 ? (令 t= ) x → +∞ x x x ? ? 1 ? 1 ? 1 + t + o(t ) ? ?1 ? t + o(t )? 1 1 ? 1? 5 ? 5 ?=2 = lim ?(1 + t ) 5 ? (1 ? t ) 5 ? = t → +0 t t 5 ? ? 15. 15.利于无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限。

利用无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量， 无穷小量与无穷大量互为倒数 的关系，以及有限个无穷小的和仍是无穷小等等 1 例 15：求 lim 2 sin x 的值 x →∞ x 1 是无穷小量，而 lim sin x 是有界变量，所以 x →∞ x 2 x →∞ 1 lim 2 sin x 还是无穷小量，即 x →∞ x 1 lim 2 sin x =0 x →∞ x2 / 2。