《计算方法》实验2-插值法.docx

实验二 插值法实验目的1. 掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法、牛顿前后插值法及分段插值法的原理与算法2. 讨论几种方法的计算精度与误差，分析拉格朗日插值与牛顿插值法的差异3. 学会使用Matlab绘图方法，并以此方法来显示插值函数，使结果更直观更形象算法原理（一）拉格朗日插值法设x0,⋯,xn是互异插值节点，则满足插值条件pxi=yii=0,1,2,⋯,n的插值多项式px=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn 是存在且唯一的那么可以得到n+1个插值方程，求解这个方程组，可以得到n次拉格朗日插值公式：Lnx=i=0nlixf(xi)其中：lix=x-x0⋯x-xi-1x-xi+1⋯x-xnxi-x0⋯xi-xi-1xi-xi+1⋯xi-xn, i=0,1,2,⋯,n其误差估计为：maxa≤x≤bRnx≤hn+14(n+1)maxa≤x≤bf(n+1)x,∀x∈ a,b（二）牛顿插值法把fxi=fxifxi=fxi定义为零阶均差，可得一阶均差为：fxi,xj=fxi-fxjxi-xj同理，k阶均差为：fx0,x1,⋯,xk=fx0,x1,⋯,xk-1-fx1,x2,⋯,xkx0-xk根据插值条件（过插值点），可以构造牛顿插值公式：Nnx=a0+a1x-x0+a2x-x0x-x1+⋯+anx-x0⋯x-xn-1可以发现：a0=f(x0)a1=fx1-fx0x1-x0a2=fx2-fx0x2-x0-fx1-fx0x1-x0x2-x1……所以牛顿插值公式可以改写为：Nnx=fx0+fx0,x1x-x0+fx0,x1,x2x-x0x-x1+⋯+fx0,⋯,xnx-x0⋯x-xn-1 其插值余项即误差为：Rnx=fx-Nnx=fx,x1,⋯,xnωn+1x=f(n+1)ξn+1!ωn+1x（三）牛顿前后插值法当插值节点等距的时候，可将均差变为差分，定义向前差分和向后差分为：∆fk=fk+1-fk∇fk=fk-fk-1将差分代替均差，可将牛顿插值法，对应的变为牛顿前后插值法。

其中牛顿前插法为：Nnx0+th=f0+tΔf0+tt-12!∆2f0+⋯+tt-1⋯t-n+1n!∆nf0牛顿后插法为：Nnxn+th=fn+t∇fn+tt+12!∇2fn+⋯+tt+1⋯t+n-1n!∇nfn程序代码及数据结果拉格朗日 function yi=la(x,y,xi)n=length(x);m=length(y);if n~=m error(the lengths of X and Y must be equal); return;endp=zeros(1,n);for k=1:n t=ones(1,n); for j=1:n if j~=k if abs(x(k)-x(j))

牛顿插值比拉格朗日插值计算量少 ，便于程序设计，适用于一些结构复杂的函数2. 对比牛顿前插和牛顿后插两种方法的差异，讨论分析同一个数值两种方法的计算结果一个是向前差分，一个是向后通常求开头部分插值点附近函数值时使用牛顿前插公式，求插值节点末尾附近函数值时使用牛顿后插值公式向前、向后两种公式只是形式上的差别，其计算结果是相同的，比如x=1.3时向前向后插值计算结果都是1.0902，但是1.3靠近左端区间值，所以向前插值好3. 讨论分段插值法的意义为避免插值多项式的龙格现象，采用分段插值的方法解决这一问题使计算简便，数值稳定性好，易在计算机上编程但其在节点处具有不光滑的缺点总结反思拉格朗日当时在机房插值一直运算不出正确的结果，后来发现和保存途径有关，感觉自己在学习书上的代码时都有很多出错的，因为自己不懂原理，只能将书上的代码敲上去作为初学者，这个过程肯定是要有的，但是这也让我知道只有自己真正会写了，掌握了这门工具，这个工具才能为你带来方便，否则会适得其反。