理想流体的动力学基础.ppt

第四章 理想流体的动力学基础v本章研究无粘性流体运动参量及所受的 力与动量之间的关系首先导出理想流 体欧拉运动微分方程，然后转变为葛罗 米柯形式，并在特殊条件下积分得到能 量关系式第一节 理想流体运动微分方程在牛顿第二定律基础上给出微分方程式如图：ozxyp-∂p/∂y·dy/2p+∂p/∂y·dy/2QA(x,y,z)在流体中取平行六面微元体，边长dx，dy ，dz 在某时刻t，中心A（x,y,z）处，压 强p（x,y,z,t），中心速度v分量vx，vy，vz 因为是理想流体，无牛顿内摩擦力存在， 只有法向压力先看质量力，FQ分力：再看表面力，按泰勒展开，略去二阶以上 微小量，于是：在y轴方向表面力按第二定律，产生ay加速度，m=ρdxdydz同理得x，z方向即：（4-1）向量： （4-２）(4-1)变形（4-３）向量： （4-４）这就是理想流体运动运动微分方程——欧 拉方程4-3）中未知量：对静止流体变为平衡欧拉方程fx , fy , fz已知，联立连续方程对不可压缩ρ=const，四个方程封闭可解例：对可压流体，加上连续方程，状态方程ρ=f（p，T），封闭虽然理论上可解，但是初始条件，边界条件难以用数学表达给出，一般不可解。

第二节 运动微分方程的葛罗米柯 ——兰姆形式代入（4-3），有：向量： （4-6）假定：（1）质量力是有势力，存在力函数U（x,y,z,t），有 2）ρ=f(p)，p(x,y,z,t)，引入压力函数 微分（4-7）dx,dy,dz 系数相同，于是： 对于ρ=const，展开： 对等温下，可压缩流体： 有对等熵变化 于是（4-5）式变为 即为葛罗米柯——兰姆形式由此可见：运动有有旋、有势之分第三节 恒定有旋流动沿流线的 伯努利方程先做如下假定：v（１）理想流体恒定流动；v（２）质量力有势；v（３）正压流体，v（４）沿流线积分 由条件（1） ； 葛罗米柯形式含有（2），（3）两个条件 于是变为 对恒定流动，迹线与流线重合，沿流线积分 即沿迹线积分由于dl=vdt，dl分量为dx,dy,dz，dx=vxdt,dy=vydt，dz=vzdt.将上式各式左边分乘dx,dy,dz，右边分乘 vxdt，vydt，vzdt，相加，有 对不同流线，Cl 不同，而在同一流线上，势 能，压力能，动能之和为常数积分※我们是在有旋条件下得到，而在结果上却与有旋，无旋无关，只要是理想，正压，质量力有势，恒定沿流线即可。

第四节 恒定有势流动中的欧拉积分恒定流动，有势则：葛—兰方程变成与x,y,z无关，也与t无关，分乘dx,dy,dz，相加，再积分：此为欧拉积分说明：只要理想，正压，流体在有势质量力 作用下做恒定无旋运动，任一微团的三项和 为常数与伯努利积分的不同在于欧拉积分 没有沿流线的限制代入兰姆方程： 第五节 非恒定有势流动的拉格朗日 积分与x,y,z无关，为t的函数，对于有旋，只在同一流线上才成立称拉格朗日或柯西积分对不可压缩流体，若恒定流动，则变为： 转化为欧拉积分对于任一质点都成立 显然伯努利方程只适用于有旋第六节 重力作用下的伯努利方程对不可压缩流体做恒定流动，则均为：则 U=-gz，只不过伯努利方程只对流线适用，有旋 而对 欧拉（拉格朗日）积分，对整个流场适用若质量力只有重力，则fx=0，fy=0，fz=-g为理想不可压缩流体在重力作用下（绝对 运动）恒定流动的伯努利方程或方程简单但重要，注意限制条件： （1）理想流体，恒定流动； （2）不可压缩； （3）只有重力作用； （4）有旋只适用同一流线，无旋对任一质点 均成立。

第七节 伯努利方程的意义每一项均表示单位重力液体具有的水头 （1）z——研究点相对于基准面的几何高度， 称为位置水头； （2）p/ρg——研究点压强对应的高度，表示与 压强相当的液柱高度，称测压管水头； （3）v2/2g——速度对应的高度，称速度水头1.几何意义即：几何高度，测压管高度，测速管高度 之和为常数 若无旋，三项之和为常数，若有旋，沿同 一流线三项之和为常数连接三项和的各 点即为到某基准面一定高度的水平线在 静力学中，速度头为0， z+p/ρg =C；z相同 ，测压管水头为水平线在动力学中，由于v2/2g存在，测压管水头 不是水平线，随速度头变化而变化，该项 也成为动压头2.能量意义每项表示单位重力流体具有的能量z ——位置势能； p/ρg ——压力势能； v2/2g ——动能 而z+p/ρg为总位能，即：三项和为位能与动能之和，即总机械能为常数 若有旋：同一流线机械能相同，不同流线不 同；对于无旋，各处均相同从三项和为常数也可以看出，若其中一项变化，其余的也随着变化，但总和不变，即三种能量可以相互转化，这正是能量守恒原理在流体力学中的表现方式第八节 相对运动中的伯努利方程 流体在流体机械（如：水泵，风机，水轮机 ）中流动时，不是绝对恒定运动，而是相对 恒定。

如图：xyωr1r212Avuwor与绝对恒定相比有如下不同： （1）人观察的是质点相对速度，而非绝对 速度 ；（2）作用在流体上的质量力；除重力外还 有离心力 叶轮以恒定ω转动，若将坐标系xoy固定在 叶轮上，随叶轮转动，此时质点相对叶轮 做绝对运动，因为相对于地面是不恒定的 取流线1-2，流体沿1-2流动，流动恒定，1-2为迹线流线上A点，一方面随叶轮以u=ωr做牵连运动 ，另一方面，又以速度w相对叶轮运动，故伯 努利积分为： v=w，单位质量上离心力为ω2r，于是， fx=ω2x，fy=ω2y，fz=-g，dU=fxdx+fydy+fzdz=ω2xdx+ω2ydy+(-g)dz，U=ω2x2/2+ω2y2/2-gz+C=ω2r2/2-gz+C，伯努利积分变为：对不可压缩ρ=const, 又∵u=ωr,各项除以g， 对任意的1，2两点有：上式称理想流体微小流束相对恒定流动的伯努 利方程，与绝对运动相比，多了（u22-u12）/2g 一项，这一项为单位质量流体在离心力作用下 做的功当r变化时，离心力做功，r不变，不做功 从r1到r2，离心力做功为：设： 则： 当r2﹥ ﹥ r1时，流体沿离心力方向运动，做正功，称水泵工况；此时，流体从中 心进入，从圆周方向切向流出。

当r2﹤ ﹤ r1时，流体沿离心力反方向运动，做负功，称水轮机工况此时，流 体从圆周方向切向进入，从中心流出 第九节 非恒定有旋运动中的 伯努利积分 ∵非恒 定 则葛——兰方程为：假定：流体为正压，设在t时刻，沿流线取dl 微元段，则：同理：故：以三项分乘葛——兰方程左、右端，再相加：对某瞬时（固定t），则：左为全微分，即：从1—2积分，若不可压缩,只有重力，U=-gz，正压流体P=p/ρ令：是由非恒定造成的，称惯惯性能头头，为为当地加 速度 所具有的惯性力对单位重量流体所做 的功 注意， 可正可负，由 决定，对断面不变的流束，任意时刻均有相同的加 速度，即：上式变为：为1——2间流线长注意：可用来解决管内匀加速运动流体的振荡问题本章小结：1、流体运动微分方程——欧拉运动方程2、G—L形式的意义3、伯努利积分、欧拉积分、拉格朗日积分的 条件4、相对运动的水泵、水轮机工况5、伯努利积分的物理意义。