高考数学一轮复习 第10章 概率 第3讲 几何概型学案-人教版高三全册数学学案.pdf

第3讲几何概型考向预测2019年预计考查：与长度有关：涉及函数、向量、不等式；与面积有关：涉及导数、线性规划；与体积有关：涉及几何体的体积；几何概型与解答题的结合.解题时关犍是找到引起变化的变量，一个变量用长度；两个变量用面积；三个变量用体积.板块一 知识梳理自主学习 必备知识考 点 1 几何概型1 .几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2 .几何概型的两个基本特点考点回顾考纲解读年份卷型考点题号 分值20172016II2015几何概型几何概型4以理解几何概型的概念、几何概型概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、方程的根的存在区间、定积分等知识交汇考查.考点2 几何概型的概率公式p（.构成事件4 的区域长度（面积或体积）”一试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.必会结论几种常见的几何概型（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；（3）与体积有关的儿何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题.考点自测1.判断下列结论的正误.（正确的打“，错误的打“X”）（1）在一个正方形区域内任取一点的概率是零.（）(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(6)从区间 1,1 0 内任取一个数，取 到 1 的概率是 去()答 案 V (2)V (3)V (4)V (5)X (6)X2.2 0 1 7 全 国卷I 如图，正方形力腼内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取 自 黑 色 部 分 的 概 率 是()A11B.C.o ZJID-T答案B解析不妨设正方形4 8 切的边长为2,则正方形内切圆的半径为1,5 正 方 彩=4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得 5*=$百=*=5,JT、.S?2 J i所以由几何概型知所求概率尸=7=k.故选B.正 方 形 4 o3.2 0 1 8 重庆一中模拟 在 -2,3 上随机取一个数x,则(x+l)(x 3)W 0 的概率为)2A-5、1 八 3 、4B.T C.三 D.74 5 5答案D解析4由(x+l)(x 3)W 0,得一1WXW 3.由几何概型得所求概率为4.2 0 1 8 衡水中学调研 已知正方体4 6 必一4 8 G 以内有一个内切球0,则在正方体4 谶45G内任取点M 点 在 球。

内的概率是()JT Ji n JTA-T B-T C-T D.适答 案 c解 析 设正方体棱长为a,则 正 方 体 的 体 积 为 内 切 球 的 体 积 为 等 义 图=制,故必在球内的概H-65.20 1 6 全 国卷I I 从区间 0,1 随机抽取2个 数 X，如，为，y i,及，力，构成刀个数对（乱 为，（如 ，（照，）,其中两数的平方和小于1 的数对共有勿个,则用随机模拟的方法得到的圆周率n的近似值为（）4/7 2/7 4/7 7 2 mA.B.C.D.一1 nml1 n答 案 C0 W x l解析 设由 I1，构成的正方形的面积为S,北+/Q构成的图形的面积为 ,O W y W 11-J IS 4 m 4 m 所以y=-=-，所 以”=一.故选C.Sin n板块二 典例探究考向突破考向”与长度有关的几何概型例1 （1）20 1 6 全国卷H 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待1 5 秒才出现绿灯的概率为（）7 5 3 3A R-一 D 1 0 8 8 1 0答 案 B解析 行人在红灯亮起的25 秒内到达该路口，即满足至少需要等待1 5 秒才出现绿灯,根据几何概型的概率公式知所求事件的概率/=：.故选B.勺 U o（2）20 1 7 江苏高考 记 函 数 f（x）=N 6+x-x?的定义域为在区间-4,5 上随机取一个数x,则 x d 的概率是.答 案 j解析 由 6 +x 才 2 2 0,解得2 WxW3,，=2,3.如图，区间 4,5 的长度为59,定义域的长度为5,./不.-D-_ 111111111M.-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 久触类旁通求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比；(2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.【变式训练i (1)20 1 8 辽宁模拟 在长为1 2 cm的线段4?上任取一点C,现作一矩形，邻边长分别等于线段4G b 的长，则该矩形面积小于32 c m?的 概 率 为()112 4A-6 B,3 C,3 D5答 案 C解析 设 47=x c m(0;r 0,解得0 x 4或 8 K 1 2,在数轴上表示为0 4 8 12 Xo 9由几何概型概率公式，得概率为石=彳.故选C.1.乙 J(2)某路公共汽车每5 分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3 分 钟 的 概 率 是.田自 3答 案 5解析 本题可以看成向区间 0,5内均匀投点，设4=某乘客候车时间不超过3 分钟,n l l l区间 2,5 的 长 度 3人 J PC 4)一区间 0,5 的长度一号考 向 图 与面积有关的几何概型?余 题免度与史面图彩面积有关的问题例2 2 015 陕西高考 设复数z=(x 1)+y i(x,y e R),若|z|WL则的概率为()3,1 1 .1A.T+O-B.+4 2 冗 2 n1 11 1C.7-D.-4 2 n 2 n答 案 C解析.(*-1)2+/W 1,表 示 以 为 圆 心，1 为半径的圆及其内部，该圆的面积为n .易知直线y=x与圆(x 1 y+/=1 相交于0(0,0),川1,1)两点，作图如右：J T 1 J I 1例=9 0,；S 阴 影=彳 一,X 1 X 1=彳一万.n 1故 所 求 的 概 率 等=二 2=;一/.D 0,v 兀 4 2 n?命 题免度2与线性规划交汇的问题例3 2 018 湖北联考 在区间 0,4 上随机取两个实数x,y,使得x+28 的概率为()13 6 3A.-B.-C,D.T4 16 19 4答 案 D解 析 如图所示,八 一 -表示的平面区域为正方形。

筋 及 其 内 部，x+2 j 8(x,0 W Z 414 X 4-X 4 X 2y e 0,4)表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P=%故选D.?能 题角.度3随机模拟估算例4如图，矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为（）A.7.68 B.8.68 C.16.32 D.17.32答 案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为一一=0.68.由几何概 J V V型的概率计算公式，可得 产=0.6 8,而 S矩 彩=6X 4=2 4,贝 ij Sw=0.68X24=16.32.触类旁通落在椭圆内的黄豆数椭圆的面积用落在矩形内的黄豆数一矩形的面积.考 向 国 与体积有关的几何概型例5有一个底面半径为1,高为2 的圆柱，点为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P,则点一到点的距离大于1 的概率为.解析 圆柱的体积%=兀应?=2 n,1 A2半 球 的 体 积/半 球 =可 弘.乙 J O，圆柱内一点尸到点的距离小于等于1的概率为1.点一到点的距离大于1的概率O触类旁通与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.【变式训练2】已 知 正 三 棱 锥4%的底面边长为4,高为3,则在正三棱锥内任取一点P,则点尸满足V:核侏做 夕，tos-w的概率是一7答 案8解析 设 三 棱 锥46c的高为力.由J i姚枫“淞 维s-戚，得 与8处/）：心械3,31解得从5,即点尸在三棱锥的中截面以下的空间.，点尸满足，：斓 一 展,/淞叱-.的概率考向目与角度有关的几何概型例6 2017 鞍山模拟 过等腰RtZVWC的直角顶点。

在 内 部 随 机 作 一 条 射 线,设射线与45相交于点D,求4X4的概率.解 在46上取一点反使AE=AC,连接 四（如图），则当射线位落在N 4 内部时,1次月C67 5易知N 4T=67.5,.ZK/C的概率go：=0.75.触类旁通与角度有关的几何概型的求解方法（1）若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为_ 构成事件/的区域角度 划一试验的全部结果所构成区域的角度.(2)解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算.【变式训练3】如图所示，在4 9 C 中，/6=60 ,/4 5 ,高 4?=小，在NB AC内作射线4 交 8c于点、M,求8帐1的概率.解 因为N 6=60 ,N U 4 5 ,所 以/物75 ,在 R t Z U 勿 中，AD=木,N B=An60 ,所以应亦1，NB AD=30.t a n o O记事件A 为 在/胡 C内作射线4 V 交比1 于点M 使 6放1”，则可得/胡状/胡时事件 发生.由几何概型的概率公式，得 尸(加=3 0祟 -=12.7 5 5/-1 怎幺师爸记 领 悟I-IM I N G S H i n i J I C G U T N A U N G W l l二:核心规律几何概型中的转化思想(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可.(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型.(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.。

满分策略几何概型求解中的注意事项(1)计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题.(2)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.(3)几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包 括“长度”“角度”“面积”“体积”等，但要注意求概率时作比的上下“测度”要一致.板块三 启智培优破译高考数学思想系列11一一转化与化归思想解决几何概型的应用问题2018 珠海模拟 某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5 分钟 到 校 的 概 率 为.(用 数 字 作 答)解题视点 先设出两人到校的时间，得到两变量满足的不等式组，再在平面直角坐标系中画出不等式组表示的区域，最后根据面积型几何概型求概率.解析 设小张和小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第 y 分钟，根据题意可画出图形，如图所示.则总事件所占的面积为(5030)2=400.小张比小王至少早5 分钟到校表示的事件/=(x,y)lr-x 2 5,3 0 xW 50,30W j50,如图中阴影部分所示，阴影部分所2251 225 2 Q占的面积为5 义15X 15=寸，所以小张比小。